专题函数的应用（零点与方程的根、函数模型）期末复习讲义10大重难题型+3阶分层过关高一数学上学期人教A版

专题08函数的应用（零点与方程的根、函数模型）（期末复习讲义）核心考点复习目标考情规律7.1函数零点的概念与求法能理解零点的定义，会求简单函数的零点（令f(x)=0求解）。概念理解题。7.2零点存在性定理的理解与应用能判断函数在区间[a,b]上是否连续，并验证f(a)·f(b)<0，从而判断零点存在性。高频考点，易错在“连续”条件的忽视。7.3判断函数零点（方程根）的个数能通过图象法（两个函数图象的交点）或单调性法判断零点个数。常见中等题，数形结合思想的典型应用。7.4二分法求方程近似解的原理与步骤能叙述二分法的原理和操作步骤，理解其“逐步逼近”的思想。了解性考点，通常不要求具体计算。7.5一次、二次函数模型的应用能根据实际问题建立直线或二次函数模型解决最优值等问题。基础应用模型。7.6指数函数、对数函数模型的应用（增长、衰减、复利等）能识别指数增长/衰减的特征，并建立相应模型解决实际问题。期末应用题压轴题型，符合当前命题趋势。7.7函数模型的选择与评价能根据数据特征或散点图选择适当的函数模型，并对结果进行合理性分析。考查数学建模核心素养的最高层次知识点01函数零点的定义一般地，对于函数y=fx，把使叫作函数y=fx的零点.函数y=fx的零点就是方程fx=0的实数解，也就是函数y=fx方程、函数、函数图象之间的关系：方程fx=0有实数解⇔函数y=fx的图象⇔函数知识点02函数零点存在性定理如果函数y=fx在区间a,b上的图象是的一条曲线，且有，那么函数y=fx在区间a,b内零点，即存在c∈a,b，使得fc=0，这个知识点03函数单调性对零点个数的影响如果一个连续函数是单调函数，那么它的零点至多有一个。因此分析一个函数零点的个数前，可尝试判断函数是否单调知识点04几个“不一定”与“一定”（假设在区间连续）（1）若，则“一定”存在零点，但“不一定”只有一个零点。要分析的性质与图象，如果单调，则“一定”只有一个零点（2）若，则“不一定”存在零点，也“不一定”没有零点。如果单调，那么“一定”没有零点（3）如果在区间中存在零点，则的符号是“不确定”的，受函数性质与图象影响。如果单调，则一定小于0知识点05零点与单调性配合可确定函数的符号是一个在单增连续函数，是的零点，且，则时，；时，知识点06证明零点存在的步骤（1）将所证等式中的所有项移至等号一侧，以便于构造函数（2）判断是否要对表达式进行合理变形，然后将表达式设为函数（3）分析函数的性质，并考虑在已知范围内寻找端点函数值异号的区间（4）利用零点存在性定理证明零点存在知识点07三种函数模型的性质函数性质y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与y轴平行随x的增大逐渐表现为与x轴平行随n值变化而各有不同知识点08常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)反比例函数模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b为常数且k≠0)指数函数模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)对数函数模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)幂函数模型f(x)＝axα＋b(a，b，α为常数，a≠0，α≠0)知识点09解函数模型问题的步骤(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型．(2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型．(3)解模：求解数学模型，得出数学结论．(4)还原：将数学问题还原为实际问题．以上过程用框图表示如下：题型一求函数的零点及零点个数解｜题｜技｜巧函数零点即函数值为0时的自变量值，解方程(f(x)=0)可得零点。（2）结合区间端点、特殊点的函数值，辅助确认零点是否存在及个数（如端点值异号则区间内有零点）。【典例1】（25-26高一上·江苏淮安·期中）函数的零点为（

）A．、 B．、C．、 D．、【典例2】（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的零点为，的零点为，则.【典例3】（24-25高一上·新疆·期末）函数的零点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．3【典例4】（24-25高一上·福建福州·期末）函数的零点个数是（

）A．3 B．4 C．5 D．6【变式1】（24-25高一上·云南昭通·期末）已知函数，则函数的零点是.【变式2】（24-25高一上·上海嘉定·期末）函数的零点是.【变式3】（24-25高一上·云南昆明·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【变式4】（24-25高一上·江苏无锡·期末）函数的零点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3题型二用零点存在性定理判断零点所在区间解｜题｜技｜巧确认函数在区间([a,b])上连续（如多项式、指对数函数等基本函数的组合通常连续）。计算区间端点的函数值(f(a))和(f(b))，若(f(a)f(b)<0)，则区间内至少有一个零点。（3）结合函数单调性，可进一步判断区间内零点的唯一性。【典例1】（24-25高一上·江苏盐城·期末）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·广东茂名·期末）“函数满足”是“函数在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【变式1】（24-25高一上·江西吉安·期末）已知函数，则的零点所在大致区间为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·河南开封·期末）已知是函数的零点，且，，则（

）A． B． C． D．【变式3】（25-26高一上·全国·期中）已知函数的图象在上是连续不断的，则“”是“方程在内至少有两个解”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件题型三二分法及其应用【典例1】（24-25高一上·安徽宣城·期末）已知函数，利用二分法求的零点的近似值，若零点的初值区间为，精确度为，则可以是（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山东淄博·期末）下列函数零点不能用二分法求出的是（

）A． B．C． D．【典例3】（2025高三下·全国·专题练习）下列函数图象与轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

【变式1】（24-25高一上·山东济宁·期末）已知函数，现用二分法求函数在内的零点的近似值，则使用两次二分法后，零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【变式2】（23-24高一上·湖北·期末）下列函数图象与x轴均有交点，且已知其解析式，不能用二分法求图中函数零点的是（

）A．

B．

C．

D．

题型四求方程的根及根的个数解｜题｜技｜巧将方程变形为(f(x)=0)，方程的根等价于函数(f(x))的零点。分析函数(f(x))的单调性、根据极值（跨章节）的正负判断函数与x轴的交点数。（3）结合函数定义域和极限趋势，综合判断根的个数。【典例1】（24-25高一上·广东潮州·期末）方程的根的个数是（

）A．5 B．4 C．3 D．2【典例2】（24-25高一上·河南濮阳·期末）已知函数，若，且，则方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例3】（24-25高一上·上海·期末）函数，其中是一个常数，计算知，则方程的根所在的区间是（

）A． B． C． D．无法确定【典例4】已知是方程的根,是的根,则（

）A．1 B． C．2 D．4【变式1】（24-25高一上·河南·期中）方程的根的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式2】（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（

）A．0 B．1C．2 D．3【变式3】（23-24高一上·江西吉安·期末）下列区间内存在方程的根的是（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·山东烟台·月考）设方程的根为，方程的根为，则的值为．题型五求图象的交点及交点个数【典例1】（24-25高一上·湖南衡阳·期末）函数的图象与x轴的交点个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【典例2】（25-26高一上·广东深圳·开学考试）函数与的图像有四个交点，则（

）A． B．C． D．【典例3】（24-25高一上·四川泸州·期中）已知函数，若函数的图象与函数的图象有3个交点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1】（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·月考）函数的图象与函数的图象交点个数为.【变式2】（25-26高一上·辽宁·期中）设函数，当时，曲线与恰有一个交点，则（

）A．－1 B． C．1 D．2【变式3】（25-26高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数，曲线和恰有一个交点，则（

）A．1 B．-1 C． D．0【变式4】（24-25高一上·福建厦门·期末）设函数，，若曲线与恰有3个交点，则（

）．A． B．1 C．或1 D．2题型六函数与方程的综合应用【典例1】（24-25高一上·山西晋中·期末）已知函数有唯一零点，则（

）A． B．C． D．【典例2】（24-25高一上·天津·期末）若函数恰有3个零点，则的取值范围为（）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·上海·期末）已知函数是定义在上偶函数，当时，，若函数仅有4个零点.则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【典例4】（24-25高一上·天津河北·期末）已知函数方程有四个不同的实数根，从小到大依次为，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式1】存在实数使得函数有唯一零点，则实数的取值范围是（

）．A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·广东佛山·期末）若关于的方程有两相异实根，且，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·广东江门·期末）已知函数若方程有个实数解，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【变式4】（24-25高一上·北京密云·期末）已知函数函数．若有四个不同的零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式5】（24-25高一上·江苏连云港·期末）已知函数，若存在实数，使得方程有个不同的实数根、、、，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【变式6】（24-25高一上·重庆江北·期末）已知函数若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围是（

）A． B． C． D．题型七分段函数模型【典例1】（24-25高一上·安徽马鞍山·期末）茶叶是中国文化元素的重要象征之一，饮茶习俗在中国源远流长．茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，已知某种茶叶的茶水温度（单位：）和泡茶时间（单位：）满足关系式，若喝茶的最佳口感水温大约是，则需要等待的时间为（

）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·山东滨州·期末）某厂生产某种产品的年固定成本为300万元，每年生产万件，需增加投入成本为万元．当年产量不足9万件时，；当年产量不小于9万件时，．通过市场分析，每件产品售价定为500元，且该厂年内生产的产品能全部销售出去，获得的年利润为万元．（利润＝销售收入一总成本）(1)求年利润的函数解析式；(2)求年产量为多少时，该厂的年利润最大？【变式1】（24-25高一上·河南信阳·期末）数学建模，就是根据实际问题建立数学模型，对数学模型进行求解，然后根据结果去解决实际问题．小明和他的数学建模小队现有这样一个问题：提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，那么，怎样才可以提高呢？我们理想化地建立这样一个关系，在一般情况下，大桥上的车流速度单位：千米/小时是车流密度单位：辆/千米的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明，当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．问：当车流密度多大时，车流量单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时可以达到最大？（

）A．60 B．100 C．140 D．180【变式2】（24-25高一上·贵州黔南·期末）在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本万元，且.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.(1)写出年利润（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润销售收入成本）(2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润最大？最大年利润是多少？【变式3】（24-25高一上·江西抚州·期末）曾经的广告词“喝临川贡酒，扬才子豪情”响彻大半个中国．如今再次重新出发，抚州市打造以产业经济振兴文化抚州．临川贡酒公司决定将一款高端贡酒大量投放市场，已知临川贡酒公司生产此款高端贡酒年固定研发成本为万元，每生产一瓶此高端贡酒需另投入元．设该公司一年内生产该款高端贡酒万瓶且全部售完，每万瓶的销售收入为万元．且．(1)写出年利润（万元）关于年产量（万瓶）的关系式：（利润销售收入成本）(2)当年产量为多少万瓶时，该公司这款高端酒获得的利润最大，并求出最大利润．题型八指数函数模型【典例1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）一种药在病人血液中会以每小时的比例衰减，这种药在病人血液中低于时病人就有危险，现给某病人的静脉首次注射了这种药，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（

）（，精确到）A． B． C． D．【典例2】（24-25高一上·河南驻马店·期末）某放射性物质在衰减过程中，其质量与年数满足关系式（为初始质量，，为常数，）．已知该放射物质经过4年，其质量变为初始质量的，若再经过8年，该放射性物质的质量变为初始质量的（

）A． B． C． D．【典例3】（24-25高一上·福建三明·期末）牛顿冷却定律描述物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度为，经过分钟后的温度满足，称为半衰期，其中是环境温度．若，现有一杯的热水降至用时2分钟，那么水温从降至，用时为（

）（参考数据：）A．3分钟 B．4分钟 C．5分钟 D．6分钟【变式1】（24-25高一上·四川绵阳·期末）将甲桶中的溶液缓慢注入空桶乙中，经过后甲桶中剩余的溶液量符合指数衰减曲线.假设经过甲桶和乙桶中的溶液量一样，则乙桶中的溶液达到共需要注入的时间约为（

）（参考数据：）A． B． C． D．【变式2】（24-25高一上·广东广州·期末）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是，空气的温度是，那么后物体的温度（单位：）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有的物体，放在的空气中冷却，以后物体的温度降为.若将的物体放在的空气中冷却，则物体温度降为所需要的冷却时间为（

）A． B． C． D．【变式3】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存、投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率与时间（月）近似满足关系（其中，），经过24个月，这种垃圾的分解率为,经过48个月，这种垃圾的分解率为，则这种垃圾完全分解大约需要经过（

）个月.（参考数据：）A．80 B．90 C．100 D．120题型九对数函数模型【典例1】（25-26高一上·上海·期中）中国的5G技术领先世界，在5G技术中，最大数据传输速率取决于信道带宽，与满足，其中称为信噪比（单位：）．若不改变带宽，初始信噪比为1000，那么为了使增加，需要将信噪比从1000提升至大约（

）A．5000 B．6000 C．7000 D．8000【典例2】（24-25高一上·广东阳江·期末）大部分大西洋蛙鱼每年都要逆流而上游回出生地产卵.研究蛙鱼的科学家发现蛙鱼的游速单位：可以表示为，其中表示鱼的耗氧量的单位数.若蛙鱼的游速每增加，则它的耗氧量的单位数是原来的（

）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍【变式1】（24-25高一上·河南许昌·期末）假设在不考虑空气阻力的条件下，某型号火箭的最大速度v（单位：）和燃料的质量M（单位：）、火箭（除燃料外）的质量m（单位：）的函数关系是（k为大于0的常数）．已知当燃料质量是火箭质量的15倍时，火箭的最大速度，则当燃料质量是火箭质量的63倍时，火箭的最大速度（

）A． B． C． D．【变式2】（25-26高一上·上海·期中）在有声世界里，声强级是表示声强度相对大小的指标，其值[单位：（分贝）]定义为，其中为声场中某点的声强度，其单位为（瓦/平方米），为基准值.则声强级为时的声强度是声强级为时的声强度的（

）倍A．10 B．100 C．1.2 D．12【变式3】（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（

）（，）A． B． C． D．题型十建立拟合函数模型解决实际问题【典例1】（24-25高一上·广东深圳·期末）近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020年起，每年统计其芯片的年销售数量.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：年份20202021202220232024时间年01234年销售数量万片100150225337.5506.25(1)在平面直角坐标系中，以为横轴，为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；(2)为了描述年销售数量与时间的关系，现有以下三种数学模型供选择：①②③（i）根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式；（ii）根据（i）中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？（参考数据：）【典例2】（24-25高一上·山西运城·期末）为了振兴乡村经济，某地政府利用电商平台为乡村进行直播带货，既方便了人们购物和交流，又有效地解决了农产品销售困难的问题．为了支持家乡的发展，越来越多的人注册成为某电商平台的会员进行购物和交流．已知该平台建立前3年的会员人数如下表所示：建立平台年数x123会员人数y（千人）142029为了描述建立平台年数与该平台会员人数（千人）的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③．(1)根据表中数据选出最恰当的函数模型，并说明理由，同时求出该函数的解析式；(2)根据第（1）问选择的函数模型，预计平台建立年的会员人数将超过2002千人，求的最小值．参考数据：，，．【典例3】（24-25高一上·山东济宁·期末）为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下表：第年1234观看人次（十万）35405867为了描述年数与第年该视频号观看人次（单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①；②；③.(1)由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：十万）；(2)为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：十万）（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被评为“优秀文化传播集体”？（参考数据：，，.）【变式1】（24-25高一上·上海长宁·期末）某企业投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的近似图像如图所示；现有以下三个函数模型供企业选择：①；②；③(1)请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由：(2)根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？【变式2】（24-25高一上·广东·期末）舆论场指数是一个反映特定时间内社会舆论关注热点和趋势的指标，它通常通过大数据分析技术，对来自不同媒体平台的信息进行收集、整理和分析，从而得出一个量化的指数，以揭示公众对某些事件或话题的关注程度.对于舆论事件出现起的前天，若某次舆情过程中至少有一天的舆论场指数大于，则认为本次舆情是严重的.某购物平台利用舆论场指数就某次舆情进行分析，将舆论事件出现起第1，2，3天的舆论场指数整理成如下表格：天数123舆论场指数1248156为研究舆论场指数的变化情况，技术人员提出了三种函数模型用以刻画数据：①；②；③其中含的项的系数均不为0.(1)请从①，②，③中选择一个最合适的函数模型（直接写结果，不用证明）；(2)运用（1）中选取的函数模型，预测第4天时的舆论场指数；(3)若本次舆情不是严重的，求的最小值.【变式3】（24-25高一上·贵州黔东南·期末）近年来，国内多个城市纷纷加码布局“夜经济”，以满足不同层次的多元消费，并拉动就业、带动创业，进而提升区域经济发展活力.某夜市的一位工艺品售卖者，通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去的一个月内（以30天计），每件的销售价格（单位：元）与第天的函数关系近似满足（为常数，且，，），日销售量（单位：件）与第天的部分数据如表所示：5101520254550555045已知第5天的日销售收入为459元.给出以下三个函数模型：①；②；③.(1)请你根据表中的数据，从中选择你认为合适的一种函数模型来描述日销售量与的变化关系，并求出该函数的解析式；(2)设该工艺品的日销售收入为（单位：元），求的解析式；(3)该工艺品的日销售收入哪天最低？最低收入是多少？期末基础通关练（测试时间：20分钟）一、单选题1．（24-25高一上·安徽合肥·期末）已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：12345136.13615.55210.88则不一定包含的零点的区间是（

）A． B． C． D．2．（24-25高一上·广东广州·期末）函数在下列哪个区间必有零点（

）A． B． C． D．3．（25-26高一上·西藏拉萨·期末）已知函数的图象在上连续不断，则“”是“在区间上有零点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件4．（25-26高一上·辽宁·月考）已知函数的零点在区间内，且，则的值为（

）A．0 B．1 C．2 D．35．（23-24高一上·黑龙江齐齐哈尔·月考）小丁同学用二分法求方程在内近似解的过程中，由计算可得，则小丁同学在下次应计算的函数值为（

）A． B． C． D．6．（24-25高一上·四川内江·期末）在下列区间中，方程的解所在的区间为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·上海杨浦·期末）近年来纯电动汽车越来越受消费者的青睐，新型动力电池迎来了蓬勃发展的风口，Peukert于1898年提出蓄电池的容量C（单位：），放电时间t（单位：）与放电电流I（单位：）之间关系的经验公式：，其中为Peukert常数.为测算某蓄电池的Peukert常数，在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间；当放电电流时，放电时间，则该蓄电池的Peukert常数n大约为（

）A．1.19 B．2.19 C．3.19 D．4.198．（24-25高一上·湖南常德·期末）在房屋装修时常需要喷洒药剂消毒.已知某种药剂的平衡浓度为（单位：摩尔/升），喷洒后的浓度与滞留时间（单位：天）满足关系式.现用该种药剂进行室内消毒，则其浓度从降至所需要的时间大约为（

）（参考数据：）A．0.46天 B．0.56天 C．0.73天 D．0.88天9．（24-25高一上·河北张家口·期末）某公司2020年全年投入某项技术的研发资金为120万元，并且计划以后每年投入的研发资金比上一年增长，则该公司全年投入该项技术的研发资金开始超过200万元的年份是（

）参考数据.A．2028年 B．2029年 C．2030年 D．2031年10．（24-25高三下·北京·开学考试）“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收”（明•《增广贤文》）是勉励人们专心学习的.如果每天的“进步”率都是1%，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1%，那么一年后是.那么大约经过（

）天后“进步”的是“退步”的2倍.请选出最接近的一项.（，，）（

）A．25 B．30 C．35 D．4011．（24-25高一上·江苏苏州·期末）按照《中小学校教室换气卫生要求》，教室内空气中二氧化碳浓度不高于，经测定，刚下课时，空气中含有的二氧化碳，若开窗通风后教室内的二氧化碳浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数（）描述，则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准需要的时间（单位：分钟）的最小整数值为（

）（参考数据：）A．1 B．3 C．5 D．1012．（24-25高一上·河南郑州·期末）某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P（单位：）与时间t（单位：h）间的关系为，其中，k是正的常数，如果在前5h消除了的污染物，那么污染物减少到需要花（

）h（精确到1h，参考数据：）A．5 B．6 C．15 D．18二、填空题13．（2025·山东·模拟预测）函数的零点为.三、解答题14．（22-23高一上·辽宁大连·期中）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为300万元，最大产能为100台，每生产台，需另投入成本万元，且，由市场调研知，该产品每台的售价为200万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完．(1)写出年利润万元关于年产量台的函数解析式（利润＝销售收入－成本）；(2)当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？15．（24-25高一上·江西景德镇·期末）现代研究成果显示，茶水的口感与水的温度有关.经实验表明，用100°C的水泡制，待茶水温度降至60°C时，饮用口感最佳.某中学学生利用课余时间探究室温下刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔测量一次茶水温度，得到茶水温度随时间变化的数据如下表：时间/min012345水温/℃1009284.878.3272.4967.24设茶水温度从100°C经过后温度变为°C，现给出以下三种函数模型：①；②；③.(1)从上述三种函数模型中选出最符合上述实验的函数模型，并根据前3组数据求出该解析式；(2)根据（1）中所求函数模型，求刚泡好的茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.01）（参考数据：，）；期末重难突破练（测试时间：40分钟）一、单选题1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）酒驾是严重危害交通安全的违法行为，为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20~79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.9mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（

）（结果取整数，参考数据：，）A．4 B．5 C．6 D．72．（24-25高一上·贵州铜仁·期末）美国生物学家和人口统计学家雷蒙德·皮尔提出一种能较好地描述生物生长规律的生长曲线，称为“皮尔曲线”，常用的“皮尔曲线”的函数解析式可以简化为．已知描述的是某一种树木的高度随着栽种时间（单位：年）变化的规律．若刚栽种时该树的高度为，经过一年，该树的高度为，则该树的高度超过至少需要（附：）（

）A．4年 B．5年C．6年 D．7年3．（24-25高一上·山东德州·期末）教室通风的目的是通过空气的流动，排出室内的污浊空气和致病微生物，降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度，送进室外的新鲜空气.按照国家标准，教室内空气中二氧化碳最高容许浓度为0.15%.经测定，刚下课时，空气中含有0.35%的二氧化碳，若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为，且随时间（单位：分钟）的变化规律可以用函数描述，又测定，当时，教室内空气中含有0.2%的二氧化碳，则该教室内从刚下课时的二氧化碳浓度达到国家标准，所需要时间（单位：分钟）的最小整数值为（参考数据，）（

）A．6 B．7 C．8 D．94．（24-25高一上·吉林长春·期末）华为手机的大部分零件已实现国产化，5G技术更是遥遥领先，5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道带宽，信道内信号的平均功率以及信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，香农公式中真数中的1可以忽略不计.按照香农公式，若不改变带宽，而将信噪比从1000提升至5000，则最大信息传递速度大约增加了（

）（参考数值：）A． B． C． D．5．（24-25高一上·江苏南京·期末）根据国际标准，室内二氧化碳浓度应不超过1000ppm，在这个范围内，室内空气质量良好，人体健康不受到影响.已知某室内二氧化碳浓度与开窗通风的时长（分钟）之间的关系式为.经测定，该室内初始时刻的二氧化碳浓度为2000ppm，要使该室内的二氧化碳浓度达到国际标准，则需要开窗通风的时长至少约为（

）（参考数据：，）A．6分钟 B．8分钟 C．10分钟 D．12分钟6．（24-25高一上·海南·期末）若函数没有零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·江苏泰州·期末）已知是函数的零点，是函数的零点，则的值所在的区间为（

）A． B． C． D．8．（24-25高一上·江西宜春·期末）已知函数的零点分别是，则的大小关系为（

）A． B．C． D．9．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（）A． B．C． D．10．（24-25高一上·浙江杭州·期末）已知函数，若函数有7个不同的零点，则实数m的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题11．（24-25高一上·广东佛山·期末）某机构根据逻辑斯蒂增长模型结合过去15年的数据，对2010~2040年我国新能源汽车的市场渗透率进行了模拟和预测，得到我国新能源汽车的市场渗透率与时间（单位：年，规定表示2010年初）的函数关系为，则下列结论正确的是（

）参考数据：.A．的图象关于点中心对称B．的图象关于直线对称C．2022年初，我国新能源汽车的市场渗透率不足D．预计2030年初，我国新能源汽车的市场渗透率超过12．（2