数学 综合与实践 音乐与数学 教学设计 2025-2026学年人教版数学八年级下册

综合与实践音乐与数学教学设计教学目标课题综合与实践音乐与数学授课人素养目标1.培养获取信息和资料的能力，加强自主学习和合作探究的能力.2.根据信息和资料设计数学问题或方案，强化数学思维和实际应用能力.3.提升撰写研究报告的能力和语言表达能力.活动目标1.认识音乐与数学的关系：数学在音乐律制发展中的作用.2.从函数角度分析五线谱，分析乐器结构中蕴含的数学知识等.活动重点了解数学在音乐律制发展中的作用，从函数角度分析五线谱.活动难点从函数角度分析五线谱、乐器中蕴含的数学知识.教学活动教学步骤师生活动活动一：创设情境，新课导入【情境引入】我们常说，丝竹之声，天籁之音，是指音乐能给人听觉上的享受.唐代诗人白居易在千古名篇《琵琶行》中，对琵琶女弹奏琵琶有过精彩的描述：大弦嘈嘈如急雨，小弦切切如私语.嘈嘈切切错杂弹，大珠小珠落玉盘.间关莺语花底滑，幽咽泉流冰下难.冰泉冷涩弦凝绝，凝绝不通声暂歇.别有幽愁暗恨生，此时无声胜有声.银瓶乍破水浆迸，铁骑突出刀枪鸣.曲终收拨当心画，四弦一声如裂帛.人们经过漫长的研究，制定了多种音律规则，即音乐律制，如三分损益法、五度相生律以及目前普遍采用的十二平均律.这些音乐律制的原理是什么?背后有哪些数学知识?让我们从这些问题开始，探究音乐与数学的关系，用数学描述音乐吧.【教学建议】教师可利用多媒体教具播放琵琶弹奏的古典乐曲，让学生亲身感受音乐的动听与和谐，适时抛出音乐与数学能否有所关联这样的提问，使学生对接下来的探究活动充满期待.设计意图通过引入白居易的《琵琶行》调动学生探索热情，为进入正课进行铺垫.活动二：问题引入，自主探究探究点1探究音乐律制中蕴含的数学原理任务1我们知道，有些声音混合在一起，听上去十分悦耳，也有些声音混合在一起听着非常刺耳.查阅资料回答什么样的声音合奏起来比较和谐，你能从数学角度解释吗?答：小提琴的协奏、钢琴的和弦等合奏起来比较和谐.和谐的声音组合通常具有简单的整数频率比(如纯八度2∶1、纯五度3∶2)，例如小提琴协奏中，当两根琴弦长度比为简单整数时(如2∶1纯八度、3∶2纯五度)，其振动频率形成的谐波叠加会产生协和音程，这样简单比例的音程组合具有“悦耳”效果.任务2古代音律学家很早就知道声音悦耳的秘密.由此，音乐家发明了各种制定音乐律制的方法，著名的有中国古代的三分损益法，利用这种方法可以生成“宫、商、角、徵、羽”五声音阶.而西方的五度相生律可以生成被命名为“毕达哥拉斯音阶”的七声音阶.查阅资料了解这两种音乐律制的制谱方法，它们有什么共通之处吗?答：①数学比例生律：两者均以数学比例为基础确定音高关系.三分损益法通过弦长的“三分损－一”(乘以23或“三分益一”(乘以3②五度循环逻辑：两者均以纯五度(3：2)和纯四度(4：3)为核心和谐音程，认为这些简单比例的音程组合具有“悦耳”效果.例如，三分损益法生成的五声音阶(宫一商一角一徵一羽)与五度相生律的七声音阶，均以纯五度为间隔连续生律，这种循环生律方式是中西方古代律学的共同特征，符合人类对音高和谐性的早期认知.③八度不完美性：两种方法均存在“八度不精确”问题：生律循环一周后，无法精确回归基音的高八度(频率比2：1)，导致“黄钟不能还原”.例如，三分损益法生成的十二律中，高八度音的频率比约为2.003，而非精确的2；五度相生律同样存在“毕达哥拉斯音差”，需通过调整律数(如增加律数或平均律修正)解决.任务3三分损益法、五度相生律这一类制谱方法，有个共同的问题：它们所生成的音阶都不能回归本律，即所得到的音和最初的音不能形成八度关系.这给音乐作品的转调带来了困难.以三分损益法为例，你能从数学角度解释为什么存在上述不足吗?答：三分损益法通过“三分损一”(弦长乘23和“三分益一”(弦长乘43生律.生成十二律时，经12次损益后，弦长比为23任务4为了弥补上述不足，中国历代音律学家不断探索，直到明代律学家朱载堉(1536－1611)创立了十二平均律，上述问题才得以彻底、完整的解决.(1)查阅资料，了解十二平均律的制谱方法.(2)由前面的研究可知，十二平均律中相邻两个音的频率之比相等，朱载堉称之为“密率”(见《律吕精义》).事实上，“密率”是一个无理数.朱载堉通过他自制的一个81档双排位大算盘(如图)成功地算出了“密率”的估计值，将其精确到了25位有效数字，这在当时条件下是难以想象的.他是世界历史上将数学与音乐完美结合的杰出律学家.试列式计算十二平均律中相邻两个音的频率之比的值.答：(1)十二平均律的制谱方法主要基于将一个八度音程均分为12个半音的音律体系，即自然音阶(CDEFGAB)与变化音共同构成12个半音级，简谱用数字1~7表示自然音阶，采用升降号(#，b)表示变化音(如#5，b3)，相邻两半音的频率比相同，且1全音=2半音，如图所示：(2)将一个八度(频率比2∶1)均分为12个半音，设相邻半音频率比为r，连续12次乘以r应达到2倍频率，所以r¹²=2,所以r=12【教学建议】学生相互交流分享查阅到的信息和资料，信息收集越多，了解越深刻，越有利于开展后面的实践学习.在开展本活动的探究之前，要求学生查阅资料，或请教音乐老师了解相关音乐知识，包括但不限于：①了解乐音的四个基本要素－－－－音强、音高、音值、音色；②乐音的音高与声波的振动频率有关，并了解两者之间的关系(频率越高音调越高)；③了解弦的振动频率与弦长的关系(反比例关系，弦长越短，弦的振动频率越高).设计意图以和谐与嘈杂的声音作为切入点展开讨论，提出问题引导学生查阅资料，并从数学角度解答问题，将数学与音乐进行融合.学生在收集资料和汇总的过程中，不仅学习了乐理知识，还认识到数学在音乐律制发展中的作用.设计意图探究点2从函数角度分析乐谱音乐律制建立之后，人们发明了多种记录乐谱的方式，目前最常用的方法是简谱和五线谱两种.简谱中音符、节拍的记法都采用了数学元素；而五线谱则是一种接近于数学图形的语言，这是因为在五线谱中，我们能清楚地看到音的高低位置.以歌曲《保卫黄河》(光未然词，冼星海曲)的片段为例(如图)，如果将音符的符头顺次连接，就能得到一条反映乐曲的音高及音值(时长)变化的旋律线.这条旋律线与刚刚学过的函数图象是不是有异曲同工之妙?能不能用函数的眼光分析五线谱呢?尝试一下吧！任务1图象由点组成，在画函数图象时，需要在平面直角坐标系中描出点的位置，这就需要先确定点的横、纵坐标.类似地，人们在记谱时，也是通过记录乐音的音高和音值这两个基本要素来记录乐音.查阅资料，分析五线谱是如何记录乐音的上述两个要素的?五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置有什么相似性?答：五线谱通过音符在五条平行线(五线谱)及线与线之间的空隙(间)中的垂直位置来记录音高，位置越高，音高越高；位置越低，音高越低.音值通过音符的形状来记录，不同的音符形状(如全音符、二分音符、四分音符等)对应不同的持续时间，例如全音符为四拍，二分音符为两拍，四分音符为一拍，以此类推，音符的符头、符干、符尾等组成部分共同决定了音值的长短.五线谱中记谱的方式和在平面直角坐标系中刻画点的位置的相似性：二者均通过两个维度的信息来精确定位元素(点或音符)，本质上是“二维坐标”思想的应用：在平面直角坐标系中，点的位置由横坐标和纵坐标来确定，是通过两个独立的坐标参数来定位一个点；在五线谱中，音符的垂直位置(对应坐标系的“纵坐标”)决定音高，水平顺序及音符形状(间接对应坐标系的“横坐标”，表示时间先后顺序)决定音值的时长和演奏顺序，通过“垂直位置+水平/形状信息”两个维度，共同确定一个音符的完整属性，与平面直角坐标系中用横、纵坐标确定点的位置的逻辑一致.任务2能否用函数刻画乐曲的旋律?以图中的乐曲片段为例，思考上述五线谱中，在乐谱刻画的时间段内，音符的音高和时长有什么关系?你能在平面直角坐标系中将图中的乐曲片段刻画出来吗?和你的同伴一起尝试一下吧！音符的音高随时间的变化而变化.在平面直角坐标系中将图中的乐曲片段刻画出来如图所示(答案不唯一).(本任务注意：内容见左侧)任务3通过上述步骤，可以在平面直角坐标系中作出刻画音乐旋律的图象.和你的同伴交流以下问题：(1)看看画出的曲线是否一致?如果不一致，分析其中的原因.(2)任务2中在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律是否可以视为函数图象?为什么?答：(1)学生根据自己的作图，交流作答.(2)可以视为一条函数曲线，理由：由图可以看出，音高随时间的变化而变化，对于每一个时刻，都有唯一确定的音高与之对应，所以在平面直角坐标系中刻画的音乐旋律可以视为一条函数曲线.任务4把五线谱看作平面直角坐标系，为我们用数学的眼光欣赏音乐旋律提供了工具.自选一首歌(乐)曲，把其中一段旋律的五线谱表现在你建立的平面直角坐标系中，分析所画的曲线是否可以视为函数图象.答：学生自主作答，以下是举例：如图是歌曲“大鱼”的部分曲谱，将音乐旋律刻画在平面直角坐标系中如图所示.由图可以看出，音高随时间的变化而变化，对于每一个时刻，都有唯一确定的音高与之对应，所以所画曲线可以视为函数图象.【教学建议】在开展本活动探究之前，学生需通过查阅资料事先掌握一定五线谱相关乐理知识，或请教音乐老师，然后对乐谱进行两个维度(音高、音值)的拆解.提示学生可通过下面几步完成任务：①结合乐音的记谱方法，在平面直角坐标系中刻画乐曲的旋律时，确定横轴和纵轴各自表示的意义(横轴表示时间，纵轴表示音高)；②根据五线谱中记录的音符的位置和时长，在平面直角坐标系中找到音符对应点的位置(每个音符首尾对应两个点)；③用实线表示每一个音符的时长，用虚线连接相邻的两个不同音高的点.【教学建议】注意横轴和纵轴虽然表示时间和音高，但它们的单位和单位长度可以根据情况自由选择.如左栏任务2中画出的平面直角坐标系的纵轴是以第二线对应的g1音为基准音，但也可以高音谱号上的“do”为基准音，其位置为下加一线，或者以其他线(间)为基准音均可，所以学生画出来的图象会有所区别，这是由纵轴上原点位置的选取不一造成的，只要符合题意的答案均可.【教学建议】图中曲谱下面的4表示以四分音符为1拍，设时间的单位长度为1拍，曲谱为高音谱号，“do”的位置在下加一线，不妨设其音高为0，每提高1次音阶记为音高多1个单位.曲谱中第一个音符是八分音符，音值为0.5拍，位于第4间，比下加一线音高多9，所以它的首尾两点的坐标分别为(0，9)，(0.5，9)；第二个音符是八分音符，音值为0.5拍，位于第4线，比下加一线音高多8，所以它的首尾两点的坐标分别为(0.5，8)，(1，8)；以此类推……探究从函数的角度分析乐谱，用函数图象刻画音符的音高与音值，将音乐知识与数学知识相融合.提升学生的抽象能力与实践操作能力，并感受数学建模思想在音乐中的应用.答：图中曲谱下面的4表示以四分音符为1拍，设时间的单位长度为1拍，曲谱的谱号为G，代表基准音为g1，对应五线谱中的第二线，不妨设其音高为0，每提高1次音阶记为音高多1个单位.曲谱中第一个音符是四分音符，音值为1拍，位于第3间，比第二线音高多3，所以它的首尾两点的坐标分别为(0，3)，(1，3)；第二个音符是八分音符，音值为0.5拍，位于第3间，比第二线音高多3，所以它的首尾两点的坐标分别为(1，3)，(1.5，3)；以此类推……设计意图探究点3乐器的分析与制作(选做)各种乐器的制作离不开数学知识，例如，笛子等管乐器的开孔位置、三角钢琴的外形轮廓线等都有数学依据作支撑，体现了数学与音乐的密切联系.任务1选择一种乐器，借助活动一中学过的音乐律制的知识，分析乐器结构中蕴含的数学知识.学生自主作答，以下是举例：答：以古筝为例，其结构中蕴含的数学元素主要体现在以下几个方面：①古筝的弦长与音高严格遵循反比例关系，通过精确计算弦长比例实现不同音高的划分.例如，相邻弦长比约为1.0594(十二平均律的2的12次方根)，确保半音阶的均匀分布.②共鸣箱内的音梁采用黄金分割比例(约0.618)排列，以增强低频共振.例如，主音梁与侧板距离通常设置为箱体长度的61.8%，这种设计能最大化声音的丰满度.③古琴面板上的13个徽位暗合斐波那契数列(5，8，13的组合)，其中第5，8，13徽位分别对应泛音列的关键节点，这些位置通过弦长分数比如1任务2尝试自制一个小乐器，和同学比较一下看谁制作的乐器音准更好.答：学生自主动手操作，交流作答.【教学建议】这部分属于选做内容，学生根据自己的实际经验，或查阅搜集资料后作答，或动手操作制作乐器，完成后可邀请音乐老师参与点评.将音乐知识与数学知识相融合，以及锻炼学生动手操作方面的能力.活动三：课堂总结，作业布置【课堂总结】师生一起回顾本节综合与实践课的主要内容，请学生回答问题：1.音乐律制中蕴含了哪些数学原理?以三分损益法为例进行说明.2.你能从函数角度分析某段乐谱，并将其用函数图象刻画出来吗?举例说明.3.乐器中蕴含哪些数学知识?你能制作简易乐器吗?(选做)【作业布