2026年河南焦作市高三一模高考数学模拟试卷试题（含答案详解）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2026年高三年级第一次模拟测试数学注意事项：1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数，则的虚部为（

）A．3 B． C． D．2．已知全集，集合，则的非空真子集的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．83．已知在中，，则的外接圆半径为（

）A．2 B． C． D．34．设数列是等比数列，数列是等比数列，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知圆的半径为2，直线与圆相交于两点，若，则（

）A． B． C． D．6．（

）A． B． C． D．7．已知双曲线的上、下焦点分别为，点在上，若，则的面积为（

）A． B．4 C． D．28．已知函数若方程恰有2个实根，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知函数，则（

）A．的最小正周期是B．的图象关于直线对称C．当时，的取值范围是D．将的图象向左平移个单位长度，可得到的图象10．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在上，则下列说法正确的是（

）A．的离心率为 B．面积的最大值为C．存在点，使得 D．的最小值为211．某同学用8块全等的三角形薄板（不计厚度），通过拼接得到一个封闭的几何体（薄板均在几何体的表面，且没有剩余），则（

）A．该几何体可能是三棱锥B．该几何体可能是四棱柱C．用8块全等的等腰三角形可能拼接成一个三棱柱D．用8块全等的直角三角形可能拼接成一个三棱柱三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知是定义域为的奇函数，且以1为周期，则在区间内至少有___________个零点．13．已知曲线与的公切线为，则在轴上的截距为___________．14．有5个小朋友进行换座位游戏，他们分别坐在编号为1~5的5个座位上，每一轮游戏开始后，5个小朋友重新选座位，要求第号座位上的小朋友坐到第号座位上，其中是定义域和值域均为的函数，且每轮游戏中每个小朋友只选一次座位．若经过30轮游戏后，每个小朋友的座位与最初一样，则满足条件的函数有___________个．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球．(1)若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望；(2)先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，若已知取出的2个球都是红球，求这2个球来自乙袋的概率．16．已知数列和的各项均为正数，且满足：．(1)若，求；(2)设，数列的前项和为，对任意两个正整数，试比较与的大小．17．如图，在四棱锥中，底面，，，，．(1)求证：平面平面；(2)若点在棱上，且平面与平面夹角的余弦值为，请确定点的位置．18．过抛物线的焦点作直线，交于两点，交轴于点，记过点且垂直于的直线为．(1)证明：直线与相切；(2)若，记直线与的切点为，求面积的最小值．19．已知函数．(1)证明：仅有一个极值点；(2)若有两个极值点，求的取值范围；(3)记的极值点为，若，对任意的恒成立，证明：．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．C【详解】因为，所以，则的虚部为.2．B【详解】由，，得，所以的非空真子集的个数为.3．C【分析】利用余弦定理可求出，进而求出，再利用正弦定理即可求得答案.【详解】由于在中，，故，即，故，结合，得，故的外接圆半径为.4．A【分析】利用等比数列定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即得.【详解】令等比数列的公比为，则，因此，数列是等比数列，即；令，，，即数列是等比数列，令，则，显然，数列不是等比数列，所以是的充分不必要条件.5．C【分析】借助余弦定理可计算出，再利用平面向量数量积公式计算即可得.【详解】，则.6．A【详解】.7．D【分析】法一：设，，利用双曲线定义与余弦定理可计算出，再利用面积公式计算即可得解；法二：利用双曲线焦点三角形面积公式计算即可得.【详解】法一：设，，则由双曲线定义可得，，则，，即，则，故.法二：由双曲线焦点三角形面积公式可得.8．B【分析】画出函数图象，数形结合得到答案.【详解】时，，则，令得，令得，故在上单调递增，在上单调递减，又，时，，故，当时，单调递增，且，画出的图象如下：方程恰有2个实根，即与有2个交点，则，则实数的取值范围是.9．AD【详解】函数可化简为.对于A，，A正确；对于B，对称轴满足，解得，而不在对称轴上，B错误；对于C，当时，令，而，即，故的值域不为，C错误；对于D，将的图象向左平移个单位长度，得，与相同，D正确.10．ABD【详解】椭圆的长短半轴长分别为，半焦距，焦点，设点，，对于A，椭圆的离心率为，A正确；对于B，在中，，则的面积，B正确；对于C，由，得以线段为直径的圆与椭圆无公共点，因此不存在点，使得，C错误；对于D，，则，当且仅当时取等号，D正确.11．AC【分析】先明确各选项中几何体的表面三角形数量特征：因为三棱锥表面有4个三角形面，所以先分析8块全等三角形能否拼接成三棱锥；分析四棱柱的表面构成：因为四棱柱表面是4个四边形和2个多边形底面，若要由三角形拼接，需将四边形面拆分为三角形，结合8块全等三角形的条件，判断是否可行；针对三棱柱的拼接，分别考虑等腰三角形和直角三角形的情况：若用等腰三角形拼接三棱柱，需考虑三棱柱的面的数量和形状匹配度；若用直角三角形拼接，需结合直角三角形的特性，分析能否对应三棱柱的面的拼接需求.【详解】对于A，可用两块含角的直角三角形薄板拼成一块等边三角形薄板，像这样得到4个等边三角形，即可拼成正四面体（三棱锥），A正确；对于B，四棱柱一共有6个面，每个面都是四边形，至少需要12个三角形才能得到，故B错误；对于C，如图，先用6个等腰三角形（腰为a，底为b）拼成三棱柱的三个侧面，要构成三棱柱，将平行四边形和分别沿和折起，必须使A与G重合，B与H重合，只要取合适的值，使侧面展开图中垂直即可，实际上，当时，，在中，，则，则，即可得，即此时即可满足题意，C正确；对于D，由C的分析可知等腰三角形不符合题意，故考虑非等腰的直角三角形，设三角形三边长为，同样先考虑侧面，需要6个直角三角形，假设三棱柱的侧棱为a，因为每个侧面有两条边为侧棱，所以这6个直角三角形的a边都为侧棱，则棱柱的上、下底面就不可能出现a边，因此直角三角形不符合条件，故D错误.12．9【详解】为上的奇函数，所以，因为函数周期为1，所以，又由，且，可得，即函数关于中心对称，则，所以函数在区间内至少有9个零点．13．##【分析】分别设出两曲线的切点，并写出切线方程，因为公切线，对应斜率以及截距相等得到等式进行消元求解即可.【详解】设曲线上的切点为，又因为，所以直线，即设曲线上的切点为，又因为，所以直线，即因为是公切线，所以，解得所以所以在轴上的截距为14．【详解】因为的定义域和值域均为，所以其自变量和函数值是一一对应的，满足该条件的函数个数为．根据题中换座位的规则，我们把只在内部循环的若干个座位称为一个＂圆圈＂，比如，若，，那么第1,2,3号座位上的小朋友都只会按照轮换座位，这就形成3个人的圆圈，其余同理，最多有5个人的圆圈，最少只有1个人的圆圈（即存在，满足，表示号座位上的小朋友总是保持不动）．容易发现，个人的圆圈，最少经过轮游戏恰好与最初一样．每一个都能把5个人拆成若干个圆圈（圆圈人数和为5，如），要想经过30轮游戏，5个人的座位都与最初一样，必须每个圆圈的人数都是30的约数．只有这种组合中，4不是30的约数，故排除，因为个数排成一个圆圈，有种情况，故需要排除的的个数为．综上，符合条件的的个数为．15．(1)012(2)【分析】（1）由题意，的所有取值为，分别求出对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可；（2）设事件为“选中乙袋”，事件为“从袋子中随机一次性取出的2个球都是红球”，根据全概率公式先求得，再根据条件概率公式求解即可.【详解】（1）由题意，的所有取值为，则，，，所以的分布列为：012则.（2）设事件为“选中乙袋”，事件为“从袋子中随机一次性取出的2个球都是红球”，由题意得，，则，所以.16．(1)(2)【分析】（1）根据题干联立两个式子可证明数列为等差数列，然后根据等差数列通项公式即可求解；（2）利用等差数列求和公式即可求解.【详解】（1）因为和的各项均为正数，，

所以，，代入可得，两边同除以可得，所以数列为等差数列，令得，，，把代入方程组解得，所以其公差为，所以.（2）由（1）可知数列为等差数列，设其公差为，则，，所以.17．(1)先证平面，结合面面垂直的判定即可证明；(2)建立空间直角坐标系，设，，再分别求出平面和平面的法向量，列方程求解即可．【详解】（1）底面，底面，，又，且，平面，平面，又平面，平面平面；（2）由（1）知平面，又平面，，，，又底面，故以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，则，设，则，设平面的法向量为，，则，令，则，设平面的法向量为，，则，令，则，平面与平面夹角的余弦值为，，整理得：，解得或（舍去），因此，点为靠近的三等分点．18．(1)证明见解析(2)【分析】（1）设直线的方程为，可得，进而得到直线的方程为，联立直线与抛物线方程，验证即可求证；（2）先求出，结合弦长公式及点到直线的距离公式表示出，令，可得，设，进而利用导数分析其单调性，进而求解即可.【详解】（1）由题意，得，显然直线的斜率存在且不为0，设直线的方程为，令，得，即，因此直线的方程为，联立，得，则，又，则直线与相切.（2）当时，抛物线，直线的方程为，直线的方程为，，联立，解得，则，联立，得，设，则，所以，点到直线的距离即为则，令，则，设，则，令，得，令，得，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，则的最小值为.19．(1)证明见解析(2)(3)证明见解析【分析】（1）求导，分析函数的单调性，进而求解即可；（2）求导，分、两种情况，结合极值点的定义求解即可；（3）转化任意的恒成立为恒成立，设，利用导数分析其单调性，进而得到，设，可得，设，利用导数分析其单调性，进而求证即可.【详解】（1）由，得，因为函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，又，，则存在，使得，当时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，则仅有一个极值点.（2）由，，得，设，则，当时，，则函数在上单调递减，则最