课时1线面角及直线与平面垂直的判定定理+课件2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第四册

第十一章立体几何初步11.4空间中的垂直关系11.4.1

直线与平面垂直

第1课时1.理解异面直线所成的角2.了解直线与平面垂直的定义3.掌握直线与平面垂直的判定定理1.直线与直线所成角习惯上，两条相交直线所成的角的大小，指的是它们相交所得到的不大于直角的角的大小.

用以刻画一条直线相对于另一条直线倾斜的程度例如，直线l与直线m所成角的大小，指的是∠1或∠3的大小.在正方体中，

与异面，与也异面.(1)直观上，你认为这两种异面有什么区别？(2)如果要利用“角”的大小来区分这两种异面，你认为该怎样做？尝试与发现abb′a′O思想方法:平移转化成相交直线所成的角,即化空间图形问题为平面图形问题异面直线所成的角的范围(0,90]oo如果两条异面直线a,b所成的角为直角，我们就称这两条直线互相垂直,记为a⊥ba″一般地，如果

是空间中的两条异面直线，过空间任一点分别作与

平行或重合直线

，我们把

与

所成角的大小叫做异面直线

所成的角的大小异面直线所成的角思考:这个角的大小与O点的位置有关吗?即O点位置不同时,这一角的大小是否改变?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥

a″(基本事实4),解答：如图设a′与b′相交所成的角为∠1,a″与b

所成的角为∠2,又b∥b″,∴∠1=∠2(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2

答:这个角的大小与O点的位置无关.在求作异面直线所成的角时,O点常选在其中的一条直线上(如线段的端点,线段的中点等)当两条直线平行时，我们规定它们所成的角为空间两直线所成的角的范围为[0°,90°]练一练如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，EF分别为棱AB，BB1的中点，求异面直线A1F与AC所成角的余弦值.方法总结求异面直线所成的角的步骤是:一作(找)：作（或找）平行线二证：证明所作的角（或其补角）为所求的异面直线所成的角三求：在一恰当的三角形中求出角作出异面直线所成的角,可通过多种方法平移产生,主要有三种方法:①直接平移法(可利用图中已有的平行线);②中位线平移法;③补形平移法(在已知图形中,补作一个相同的几何体,以便找到平行线).2.直线与平面垂直定义：图形语言m符号语言回顾：直线与平面平行的研究方法与思路定义（充要条件）判定（充分条件）性质（必要条件）尝试与发现利用合适的实物演示，并猜测直线与平面垂直的判定方法1.如果一条直线和一个平面内的一条直线垂直，此直线是否和平面垂直？2.如果一条直线和一个平面内的两条直线垂直，此直线是否和平面垂直？问题根据定义，判定直线与平面垂直，需要验证直线与平面内的所有直线都垂直．类比直线与平面平行的判定定理，有没有判定直线与平面垂直的简单易行的方法呢？直线与平面垂直的判定定理：文字语言图形语言符号语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．三、应用新知三、应用新知画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直画法例1.地面上插有一根直杆，将地面看成平面，直借助于绳子与米尺，你能检测出直杆与地面是否垂直吗？写出你的方案并说明理由判定定理的应用解：方法总结利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤：（1）在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直（2）确定这个平面内的两条直线是相交的直线（3）根据判定定理得出结论证明线线垂直的常用方法：（1）由线面垂直的定义（2）平面几何中的结论，如等腰三角形的底面的中垂线垂直于底边、菱形的对角线互相垂直、勾股定理等证明：SO实际上是四棱锥的高，因此利用线面垂直的判定定理，可以找出几何体的体高.例2.四棱锥S-ABCD中，已知底面ABCD是一个平行四边形，AC∩BD=O，SA=SC，SB=SD.求证：SO⊥面ABCD.由已知可得O为AC的中点.∵在△SAC中，SA=SC，∴SO⊥AC，同理，SO⊥BD，∵AC∩BD=O.∴SO⊥面ABCD.巩固练习如图,已知PA垂直于☉O所在的平面,AB是☉O的直径,C是☉O上任意一点,求证:BC⊥PC.分析：首先利用PA⊥平面ABC得到PA⊥BC,然后根据圆的性质得到AC⊥BC,进而利用线面垂直判定定理证得BC⊥平面PAC,从而得到BC⊥PC.证明:∵PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,∴PA⊥BC.

∵AB是☉O的直径,∴BC⊥AC.

又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC.

∵PC⊂平面PAC,∴BC⊥PC.1.下面叙述中：①若直线垂直于平面内的两条直线，则这条直线与平面垂直；②若直线与平面内的任意一条直线都垂直，则这条直线与平面垂直；③若直线垂直于梯形的两腰所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面；④若直线垂直于梯形的两底边所在的直线，则这条直线垂直于梯形所在平面.其中正确的有（

）A.1个B.2个 C.3个 D.4个B2.如图,在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB,则直线PB与平面ABC所成的角等于

.

【解析】因为PA⊥平面ABC,所以∠PBA为PB与平面ABC所成的角,又PA=AB,所以∠PBA=45°.答案:45°3.如图,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为矩形,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F.(1)求证:PC⊥平面AEF;(2)设平面AEF交PD于G,求证:AG⊥PD.

【解析】(1)因为PA⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以PA⊥BC.又AB⊥BC,PA∩AB=A,所以BC⊥平面PAB,又AE⊂平面PAB,所以AE⊥BC.又AE⊥PB,PB∩BC=B,所以AE⊥平面PBC,又PC⊂平面PBC,所以AE⊥PC.又因为PC⊥AF,AE∩AF=A,所以PC⊥平面AEF