大学数学教程第2篇 线性代数

第一章行列式§1.1行列式的定义§1.2行列式的性质与计算

线性代数的一个主要部分就是线性方程组，而研究线性方程组时最早得到完美结果的数学工具就是行列式.行列式是线性代数中的基本工具之一.本章主要讨论行列式的定义、性质及计算方法.引子：员工有多少？2008年,由于美国的次贷危机引发了全球的金融危机,不少企业不得不减薪裁员.某企业的员工分为经理和普通员工两类,其月薪分别为5千元和3千元，企业每月工资支出60万元，因金融危机影响经营状况,为将月工资支出减少至39万元,企业决定将经理的月薪降至3千元,并裁减普通员工三分之一，问裁了多少员工？同类型的企业，一般的算法如何呢？等量在哪？解设该企业经理、员工分别有、人，依题意得抽象出来§1.1行列式的定义1、二阶行列式

2、三阶行列式

3、n阶行列式一、二阶行列式行列式概念来源于线性方程组求解，已知：方程组的解为分母由方程组的系数确定.－＋

图1-1第二列第一行主对角线副对角线对角线法则:对于二元线性方程组系数行列式将下式称为二元线性方程组的公式解:二阶行列式：问：(1)当l为何值时D=0，

(2)当l为何值时D

0(2)当l

0且l

3时，D

0

(1)当l=0或l=3时，D=0；令l2-3l=0，则l=0，l=3例如再如例1.求解二元线性方程组解：二、三阶行列式对于三元线性方程组a11a21a31a12a22a32a13a23a33定义1.2用记号表示代数和

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31，将它称为三阶行列式，即三阶行列式的计算:沙路法:

三阶行列式表示的代数和，也可以用下图画线的方法记忆，其中各实线连结的三个元素的乘积是代数和中的正项，各虚线连结的三个元素的乘积是代数和中的负项.

注意：实线上三元素的乘积冠以正号，虚线上三元素的乘积冠以负号.a11a21a31a12a22a32a13a23a33－－＋＋－+++---=

a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31说明：

1．对角线法则只适用于二阶与三阶行列式.2．三阶行列式包括3!项，每一项都是位于不同行，不同列的三个元素的乘积，其中三项为正，三项为负.1-2-3224-41-2例2．=1

2

(-2)+2

1

(-3)+(-4)(-2)4-1

14-2(-2)(-2)-(-4)2(-3)=-4-6+32-4-8-24=-14三阶行列式：a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31

例3．a，b满足什么条件时有=0？a-b1ba0001a-b1ba0001解：=a2+b2给定的行列式等于零若要a2+b2=0

则a与b须同时等于零因此当a=0且b=0时三阶行列式：a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31。a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3用消元法解得方程组三阶行列式：a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31。x3=————————————————————————。x2=————————————————————————，a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31x1=————————————————————————，a11b2a33

b1a23a31

a13a21b3

a11a23b3

b1a21a33

a13b2a31a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31a11a22b3

a12b2a31

b1a21a32

a11b2a32

a12a21b3

b1a22a31a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31b1a22a33

a12a23b3

a13b2a32

b1a23a32

a12b2a33

a13a22b3a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解可表示为方程组三阶行列式：a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31。b1b2b3a12a22a32a13a23a33x1=——————a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31b1b2b3a13a23a33x2=——————a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22a32b1b2b3x3=——————a11a21a31a12a22a32a13a23a33注意：行列式与方程组系数的关系解:由于方程组的系数行列式故方程组的解为：例4．解线性方程组三、n阶行列式

二阶行列式：

首先,上式右端三项,是三阶行列式D中第一行的三个元素分别乘上三个二阶行列式,而所乘的二阶行列式是D中划去该元素所在的第一行与第j列元素后余下的元素所组成,j=1,2,3.其次,每一项之前都要乘一个,1和j正好是元素的行标和列标.按照这一规律,我们可用三阶行列式定义四阶行列式.以此类推,在已定义了n-1阶行列式之后,便可得n阶行列式的定义.第j列第1行

这种用低阶行列式定义高一阶行列式的方法称为递推式定义法.

例5．用定义计算n阶下三角形行列式D的值：其中aii

0(i=1,2,

,n)D=a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

D====下三角形行列式的值：a11a21a31…an1

0a22a32…an2

00a33…an3

000…ann

……………

=a11a22a33

ann上三角形行列式的值：a1100…0a12a220…0a13a14a33…0a1na2na3n…ann

……………

=a11a22a33

ann对角形行列式的值：a1100…00a220…0

00a33…0

000…ann

……………

=a11a22a33

ann结论：下三角形行列式下三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.上三角形行列式：上三角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积.§1.2行列式的性质与计算

1、行列式的基本性质

2、行列式按某一行（列）展开一、行列式的基本性质将行列式D的行与列互换后得到的行列式称为D的转置行列式，记为DT或D.即如果行列式的转置：a11a21…an1

a12a22…an2

a1na2n…ann

…………

D=，a11a12…a1n

a21a22…a2n

an1an2…ann

…………

DT

=则若D=|aij|，D

T=|bij|，则bij=aji(i,j=1,2,

,n)

性质1将行列式转置，行列式的值不变，即D=DT由此性质可知，行列式的行具有的性质，它的列也具有相同的性质.行列式的性质由此可得上三角行列式D==因此

===

推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同,则此行列式的值为零

性质2

互换行列式的两行(列)，行列式的值变号性质3

用数k乘以行列式的某一行(列)，等于用数k乘以此行列式.即a11…ka31…an1

a12…ka32…an2

a1n…ka3n…ann

……………=ka11…a31…an1

a12…a32…an2

a1n…a3n…ann

……………推论3

如果行列式有两行(列)的对应元素成比例，则此行列式的值为零推论2

如果行列式中某一行(列)的所有元素有公因子，则公因子可以提到行列式符号的外面

推论1

一个行列式若有一行（或一列）中的元素皆为零，则此行列式必为零因为由推论1可将行列式中这两行（列）的比例系数提到行列式外面，则余下的行列式有两行（列）对应元素相同，由性质2可知此行列式为零，所以原行列式为零.

性质4

若行列式中的某一行(列)的元素都是两数之和，则此行列式可以写成两个行列式之和,这两个行列式分别以这两个数为所在行（列）对应位置的元素，其它位置的元素与D相同.a11…ai1+bi1…an1a12…ai2+bi2…an2a1n…ain+bin…ann……………a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

=+a11…bi1…an1

a12…bi2…an2

a1n…bin…ann

……………

D=D1D2+推论如果将行列式的某一行（列）的每个元素都写成m个数（m为大于2的整数）的和，则此行列式可写成m个行列式的和.性质5

将行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k后加到另一行(列)对应位置的元素上，行列式的值不变a11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

a11…ai1+kaj1…an1a12…ai2+kaj2…an2a1n…ain+kajn…ann……………=即a11…aj1…an1a12…aj2…an2a1n…ajn…ann……………+ka11…ai1…an1

a12…ai2…an2

a1n…ain…ann

……………

右边=这是因为例1．计算行列式

解：因为第一列与第二列对应元素成比例，所以=0例：计算行列式解因为第一列与第二列对应元素成比例，根据性质3的推论2得=0反对称行列式：

a

ij=-a

ji(i

j)，a

ii=0(i=j)

反对称行列式的特点是：0-a12-a13…-a1n

a120-a23…-a2n

a13a230…-a3n

a1na2na3n…0

……………

解：设例2．证明奇数阶反对称行列式的值为零0-a12-a13…-a1n

a120-a23…-a2n

a13a230…-a3n

a1na2na3n…0

……………

D=则0a12a13…a1n

-a120a23…a2n

-a13-a230…a3n

-a1n-a2n-a3n…0

……………

=(-1)nDTD=(-1)n当n为奇数时，有D=-D，=(-1)n

D，所以D=0(将D的每一行提出一个-1)(DT=

D)

例3．设a11a21a31a12a22a32a13a23a33=1，6a11-3a21-3a31-2a12a22a32-10a135a235a33求6a11-3a21-3a31-2a12a22a32-10a135a235a33解：-3a11-3a21-3a31a12a22a325a135a235a33-2a11a21a31a12a22a32a13a23a33-2

(-3)

5=30=-2

(-3)

5

1(-2)①5③(-3)①提示与分析:对有限阶行列式,利用行列式的性质将其化为上三角形或下三角形行列式,主对角线上元素的乘积即为行列式的值.上三角形行列式

例5．

n

阶行列式xaa…aaaxa…aaaax…aaaaa…xa………………

aaa…axx+(n-1)a

x+(n-1)a

x+(n-1)a

…x+(n-1)a

x+(n-1)a

axa…aaaax…aaaaa…xa………………

aaa…axx+(n-1)aa

a…a

a

0x-a0…0000x-a…00000…x-a0

………………

000…0x-a

=[x+(n-1)a](x-a)n-1

①+②①+③

②+①

(-1)③+①

(-1)

提示与分析:该行列式的特点,各行四个元素之和相等,利用行列式性质将各列加到第一列上,提出第一列的公因子,再将其化为上三角形行列式.上三角形行列式提示与分析:该n阶行列式的特点,

主对角线上n个元素分别是1,2,…,

n,

其他元素均是n.利用行列式性质将其化为上三角形行列式.由前三个行列式的计算看到上三角形行列式是很重要的一种行列式.利用性质若能将行列式化成上三角形行列式,它的值就找到了.同时也看到熟练掌握行列式性质的应用往往是解决问题的关键.

余子式与代数余子式：

定义1.4

在n阶行列式D=|aij|中去掉元素a

ij

所在的第i行和第j列后.余下的n-1阶行列式，称为D中元素aij

的余子式，记作Mij二、行列式按某一行（列）展开令Aij

(

1)i

jMij，Aij称为元素aij的代数余子式a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

例如，求4阶行列式中a13的代数余子式：a21a31a41

a22a32a42

a24a34a44

M13

A13

(-1)1+3M13=M13a11a21a31a41

a12a22a32a42

a13a23a33a43

a14a24a34a44

例如，求4阶行列式中a32的代数余子式：a11a21a41

a13a23a43

a14a24a44

M32

A32

(-1)3+2M32=-M32例如，四阶行列式

的代数余子式是的代数余子式是

定理1.1

n行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积的和，即

定理1.2

n行列式D=|aij|的某一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积的和等于零即行列式按行(列)展开：

ai1Ai1

ai2Ai2

ainAin

(i=1,2,

,n)或D

D

a1jA1j

a2jA2j

anj

Anj

(j=1,2,

,n)

ai1Aj1

ai2Aj2

ainAjn

0(i

j)或

a1iA1j

a2iA2j

ani

Anj

0(i

j)

例3．分别按第一行与第二列展开行列式11-2013-231D=

解：按第一行展开：13311-2311-213

a11A11

a12A12

a1nA1n

D=1

(-1)1+1+0

(-1)1+2

(-1)1+3+(-2)=1

(-8)+0+(-2)

5=-18按第二列展开：1-2311-2-2111-23

=0+1

(-3)+3

(-1)

5=-3-15=-18

(-1)3+2+3

(-1)2+2+1

(-1)1+2=0

a12A12

a22A22

a32A32

D计算行列式时,可以先用行列式的性质将行列式中某一行(列)化为仅含有一个非零元素,再按此行(列)展开,变为低一阶的行列式,如此继续下去,直到化为二阶或三阶行列式.如下面的行列式解：1310-12

20-5A13

(

1)1

31312

1240-5A23

(

1)2

311120242-5A33

(

1)3

311320

1420A43

(

1)4

3=19，=-63，=18，=-10，所以D=3

19=-24+0

(-10)+(-1)

18+1

(-63)因为直接按第三列展开.方法一，

例4．计算行列式

1

2

34

120-5

3-1-10

1

012D=①+③

2④+③

2解：将某行(列)化为一个非零元后展开方法二，=(-1)(-1)3+2

7

14

7-2-5

1

12

6

02

9

0-1

1

12=1

(-1)2+2

692-1=-6-18=-24

7

0

14

70-2-5

3-1-10

1

012

1

2

34

120-5

3-1-10

1

012D=①+②(-1)③+②

2

例5．讨论当k为何值时

0

11

00

002

k

0

0

k2

1

k10

11

00

002

k

0

0

k2

1

k10解：

11

00

002

k

0

0

k2

0k-110=

02

k

0

k2k-110==(k-1)=(k-1)(k2-4)，2

kk2所以，当k

1且k

2时，所给行列式不为0

第二章矩阵

§2.1矩阵的定义

§2.2矩阵的运算

§2.3矩阵的初等变换

以下是2010年8月10日至8月16日昆明到全国一些城市的火车票转让一览表，主表顺序组成一个10行7列的矩形阵列.表2-1终点站08-1008-1108-1208-1308-1408-1508-16昆明-北京

32

0

4

3

2

0

昆明-成都0

2

0

0

0

0

0

昆明-大理1

0

0

0

0

0

0

昆明-广州0

0

0

0

0

0

1

昆明-内江0

0

0

2

0

0

0

昆明-南宁1

0

0

0

3

0

0

昆明-上海0

0

0

0

2

0

0

昆明-石家庄0

0

0

0

0

0

1

昆明-咸阳0

0

0

0

1

0

0

昆明-宜昌0

1

0

0

0

0

0

矩阵这一具体概念是由19世纪英国数学家凯利首先提出并形成矩阵代数这一系统理论的.但是追根溯源，矩阵最早出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项的系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状.在欧洲，运用这种方法来解线性方程组，比我国要晚2000多年

矩阵理论是数学中一个重要内容，也是经济工作中处理线性经济模型的重要基础和工具.随着现代科学技术的发展，矩阵理论越来越广泛的应用于自然科学、工程技术学以及社会科学中的经济管理领域中.本章主要介绍矩阵的概念、运算及其性质，特殊矩阵，矩阵的初等行变换和可逆矩阵及求法.

§2.1矩阵的定义1、矩阵概念的引入及定义

2、矩阵问题举例

例1．设有线性方程组这个方程组未知量的系数及常数项按方程组中的顺序组成一个4行5列的矩形阵列如下：

这个阵列决定着给定方程组是否有解？如果有解，如何求解等问题.因此有必要对阵列进行研究.

§2.1矩阵的定义例2．某企业生产4种产品，各种产品的季度产值(单位：万元)如下表：表2-2这个排成4行4列的产值矩形阵列具体描述了这家企业各种产品各个季度的产值，同时也揭示了产值随季节变化规律的季增长率及年产量等情况.

1234180587578298708584390759090488708280产值产品季度例3．生产种产品需用种材料，如果以表示生产第种产品()耗用第种材)的定额，则消耗定额

料(可以用一个矩形表表示：表2-3线性方程组的解取决于常数项一、矩阵概念的引入及定义系数对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为下面形成矩阵的概念：定义2．1由m

n个数

排成m行n列的矩形数表，称为m行n列矩阵，简称m

n矩阵.记作

或

其中

是矩阵

的第

行，第

列的元素，称为.矩阵的元素.

一般用大写黑体字母

表示矩阵，如上述矩阵也可以记作

，有时也记作

或

.

由矩阵定义可知，矩阵和行列式是两个截然不同的概念，矩阵是一张矩形数表，行列式则是一个算式，当元素是具体的数字时，行列式即是一个数值.如：是一个矩阵,是一个矩阵,是一个矩阵.3阶方阵,行数=列数方阵n阶方阵A=(aij)构成的行列式,记作detA.注意：

矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个数，它的行数和列数相等.而矩阵仅是一个数表，它的行数和列数可以不同.特别地，当m=1时，矩阵只有一行，即

，称为行向量，称为列向量当n=1时，矩阵只有一列，即称为n阶矩阵(或n阶方阵).

n阶矩阵可简记为

当m=n时，矩阵的行列数相同，即

主对角线上的元素是1，其余元素都是零的n阶方阵称为单位矩阵.

记为或，也记为或即

当n=2，3时

分别为二阶、三阶单位矩阵.

零矩阵和单位矩阵是两个非常重要的矩阵，它们在矩阵运算将起着类似于数字运算中0和1的作用

在n阶矩阵中，从左上角到右下角的对角线称为主对角线，从右上角到左下角的对角线称为次对角线.

所有元素都为零的

矩阵称为零矩阵，或

例如

或

记作

两个矩阵的行数相等、列数也相等时，称它们是同形矩阵.可见与不是同形矩阵.

零矩阵可以是方阵，也可以不是方阵.

在矩阵

中每个元素的前面都添加一个

负号得到的矩阵称为的负矩阵，记作即例如这里是的负矩阵，即矩阵问题举例

在对许多实际问题作数学描述时都要用到矩阵的概念，这里我们介绍几个实际问题的例子.例4．设云南省某高校2009级财务管理专业班40名学生第一学期期末考试三门主科成绩，按学号排序可列成下表(为简单起见，这里只列出一部分)：基础会计经济应用数学政治经济学185708529585783908394…………40789574表2-4我们可以将这个表称为该班学生的学习成绩表，此表中每一个数字代表着某个学生在某一学科的考试成绩.如果单将学生各科成绩排列出来，就组成一个矩阵(可以称为成绩矩阵)即

其中每一行表示某一个学生各科的成绩，每一列表示某一科目每个学生的成绩.矩阵中的某个元素表示某个同学某科的考试成绩.

例5.a省三个城市a1,a2,a3

和

b省两个城市b1，b2的交通连接情况如图2-1所示，每条线上的数字表示两个城市的不同通路总数，例如由a1到b2有3条不同的路径.可以将这个信息表以矩阵的形式表示，即其中矩阵的行表示a省的城市，列表示b省的城市，Cij表示ai到bj间的通路数

于是可将这些信息表示如下例6．在市场中，五种食品在四家商场销售，单位量的售价(以某货币单位计)可以用以下矩阵给出：我们称其为价格矩阵，这里行表示商店，列表示食品，其中的元素表示在第i个商店第j种食品的销售价格.实际上，用数表示一些量或关系的方法，在生活和工作技术中是常用的，如银行的利率表，工厂中产量的统计表，通航信息表等等，我们把这种数表的实际意义隐去，抽象出来的就是矩阵.§2.2矩阵的运算1、矩阵的加法

2、数与矩阵相乘

3、矩阵的逆矩阵

对应元素相加一、矩阵的加法

设有两个矩阵

A与B

的和记作A+

B.说明:只有当两个矩阵的行数、列数分别相等时，才能进行加法运算.定义2.2（加法）例1矩阵加法的运算规律：定义

2.3（数与矩阵相乘）二、数与矩阵相乘设A，B

为m×n

矩阵，λ，μ为数乘矩阵的运算规律:元素全为零的矩阵称为零矩阵，零矩阵记作或.已知

且A+2X=B，求X.例4解由定义知数对矩阵的分配律

矩阵对数的分配律

结合律

解

所以

定义2.5（矩阵与矩阵相乘）注意:只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘.乘法无意义+++第

j

列第

i行=例7

解注:1)这说明矩阵的乘法不满足交换律,这与实数运算：ab=ba

不同.2)AB=O，但A≠O，B≠O.这与实数运算：若ab=0，则a，b中至少有一个等于0,截然不同.3)

AB=AC，且A≠O，并不能推出B=C.求AB和BA

解求AB和BA矩阵乘法的运算规律:矩阵乘法不满足交换律、消去律.但在假设运算都可行的情况下，矩阵的乘法仍满足下列运算规律：解在数的运算中，当数时，有在矩阵的运算中，单位阵E相当于数的乘法运算中的1，在矩阵运算中也可引入与数类似的倒数运算.三、矩阵的逆矩阵

定义2.5

对于n

阶矩阵A，如果有一个n

阶矩阵B，使得AB=BA=E，则说矩阵A

是可逆的，并把矩阵B称为A

的逆矩阵.三、矩阵的逆矩阵例12设注：

若A是可逆矩阵，则A

的逆矩阵是唯一的.定理矩阵A可逆的充要条件是detA≠0.

解§2.3矩阵的初等变换定义2.7

下面的三种变换称为矩阵的初等行变换：（1）对换矩阵两行的位置（对换第i行和第j行的位置记为r(i,j)）.（2）矩阵的某行所有元素同乘以一个非零常数（第i行乘以k记为r(i(k))）.（3）把矩阵一行所有元素的k倍加到另一行对应的元素上去［第i行的k倍加到第j行上去记为r(j+i(k))］.

矩阵从每一行的第一个元素到第一个非零元素下面全为零，这些零的排列像一个阶梯，每个阶梯都只有一行，这种矩阵称为一个阶梯形矩阵.阶梯矩阵每行第一个非零元素为1，并且所在列其余元素为零，这种矩阵称为一个最简阶梯形矩阵.一个矩阵一定能通过初等变换化为阶梯形矩阵和最简阶梯形矩阵.解：对A作初等行变换例1化矩阵为阶梯形矩阵和最简阶梯形矩阵求可逆矩阵A的逆矩阵的方法：作n×2n矩阵(A┊E)，用初等行变换把它的左边一半化成E，这时，右边的一半就是A－１

.例2

设求A－１

解对(Ａ┊Ｅ）作初等行变换于是于是得到用初等行变换求逆矩阵，特别是在方阵阶数较高时，要比用伴随矩阵法计算逆矩阵简捷得多，因此这种方法常用于在计算机上计算大型方阵的逆矩阵.

总之，当给定了一个n阶方阵A后，不管其是否可逆，均可用上面求逆矩阵的步骤去做，若进行到一定时候，能看出左面的n阵A成方阵B,B是奇异的,则原来的A

也是奇异的；若是化成了单位矩阵，则右边得到的矩阵就是所求的

例4．解矩阵方程于是第三章线性方程组§3.1解线性方程组的克莱姆法则§3.2解线性方程组的初等变换法m个方程的n元的线性方程组的一般形式是

(3.1)其中aij称为未知量xj的系数，bj是常数项(i=1,2,…,m；j=1,2,…,n)如果存在常数代入线性方程组(3.1)中的，使得方程组两边恒等，即则称为线性方程组(3.1)的一个解，的过程称为解线性方程组．

寻求这样的常数如果线性方程组(3.1)右端的常数项都是零，即

齐次线性方程组可以看出x1=0，x2=0，

，xn=0是齐次线性方程组的解，所以齐次线性方程组总是有解的的矩阵形式为Ax=o对于齐次线性方程组我们所关心的它有没有非零解a11x1a21x1

am1x1a12x2a22x2

am2x2

a1nxna2nxn

amnxn00

0====++++++++++-+(3.2)§3.1解线性方程组的克莱姆法则

当线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等时，在一定条件下，可用克兰姆法则求解线性方程组．行列式概念来源于线性方程组求解，已知：用消元法求未知数x1，x2：先消x2有分母由方程组的系数确定.方程组的解为对于二元线性方程组系数行列式将下式称为二元线性方程组的公式解:对于三元线性方程组三阶行列式：a11a21a31a12a22a32a13a23a33=a11a22a33

a12a23a31

a13a21a32

a11a23a32

a12a21a33

a13a22a31若记它的系数行列式为(3.5)a11x1+a12x2+a13x3=b1a21x1+a22x2+a23x3=b2a31x1+a32x2+a33x3=b3的解可表示为方程组b1b2b3a12a22a32a13a23a33x1=——————a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31b1b2b3a13a23a33x2=——————a11a21a31a12a22a32a13a23a33a11a21a31a12a22a32b1b2b3x3=——————a11a21a31a12a22a32a13a23a33，，注意：行列式与方程组系数的关系则线性方程组(3.5)的解可用行列式表示

定理3.1克拉默法则第

j列其中，定理3.2.个方程的齐次元线性方程组有且只有零解的充分必要条件是：它的系数行列式(3.6)推论1.

个方程的齐次元线性方程组(3.6)有非零解的充分必要条件是：它的系数行列式

若前方程组中等号右端全为

0，即这样的方程组称为齐次线性方程组，而方程组中等号右端不全为0的称为非齐次线性方程组D1=D2=D3=D4=0由前面讨论知道，方程组系数行式.而因方程组等号右端全为0.根据“行列式中若有某一列元素全为0，这个行列式等于0.”的性质可知D1=D2=D3=D4=0,即方程组的解为x1=x2=x3=x4=0

用克拉默法则解方程组需要计算n+1个n

阶行列式，它的计算工作量很大.实际上关于数字系数的线性方程组（包括系数行列式等于零及方程个数和未知量个数不相同的线性方程组）的解法，一般都采用下节介绍的方法来求解.克拉默法则主要是在理论上具有重要的意义，特别是它明确地揭示了方程组的解和系数之间的关系.§3.2解线性方程组的初等变换法当线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，且其系数行列式不等于零时，克兰姆法则可令人满意地求出线性方程组的唯一解．但它的局限性也是显然的：(1)当方程组可以用克兰姆法则求解时，需计算个阶行列式，若较大时，计算量很大(2)若线性方程组中方程的个数与未知量的个数不相等，克兰姆法则不适用(3)即使线性方程组中方程的个数与未知量的个数相等，但其系数行列式等于零时，克兰姆法则也是不适用

由于克兰姆法则的局限性，所以我们须另寻它法.在中学里已学过用消元法求解二元、三元线性方程组.现在我们把它推广到m个方程n个未知量的一般情形，这就是高斯消元法．高斯消元法的基本思想是通过消元变形把线性方程组化为容易求解的同解方程组.我们会立即看到，此方法的消元步骤规范而又简便，因而易在计算机上实现．

为叙述方便，先给出在高斯消元过程中常用到的对方程组消元的三种变换：

(1)互换方程组中某两个方程的位置；

(2)用一个非零常数k乘以方程组中的一个方程；

(3)方程组中一个方程乘以常数k后加到另一个方程上去．

这三种变换统称为线性方程组的初等变换．定理3.3.线性方程组经过初等变换后得到的新方程组与原方程组同解．

下面通过例子来说明高斯消元法原理．

例1解线性方程组解第一步．将方程组(3.7)中第一、二个方程互换位置，得(3.7)(3.8)第二步.将方程组(3.8)中第一个方程乘以-2加到第二个方程，第一个方程乘以-5加到第三个方程，得(3.9)第三步.用常数乘以(3.9)中第二个方程，得

(3.10)第四步将方程组(3.10)中第二个方程乘以-17加到第三个方程，得

(3.11)由定理3.3知，方程组(3.11)与原方程组(3.7)同解．由(3.11)的第三个方程得x3=2，回代第二个方程得x2=3，再回代第一个方程得x1=1．所以原方程组的解为

形如(3.11)的方程组称为阶梯形方程组．从上述的解题过程可以看出,对方程组作消元变换时,实际上是对原方程组施行一系列的初等变换将其化为阶梯形方程组,然后通过回代求出原方程组的解.同时可以发现,对方程组作初等变换消元时,只是对未知量的系数和常数项进行运算．因此，如果我们将方程组(3.1)的系数与常数项合在一起作成一个矩阵(称为增广矩阵)

那么，用消元法解线性方程组就可以在增广矩阵上实现，即将增广矩阵经矩阵的初等行变换后化为阶梯形矩阵，且阶梯形矩阵对应的方程组与原方程组同解．对增广矩阵的行施以第（１）、（２）两种初等变换，分别相当于交换两个方程的次序及用非零数k乘某一方程的两边，显然不会改变方程的解．对增广矩阵的行施以第三种初等变换，如将（Ab

）的第i行的k倍加于第j行，这相当于将原方程组的第i

个方程乘以k加以第j个方程，于是第j个方程显然，满足原方程的解必满足新方程组，反之，满足新方程组的解满足原方程的解于是，新方程组与原方程组是同解方程组，用消元法解线性方程组的一般步骤如下：首先写出方程组（３.１）的增广矩阵（Ab

）第一步，设，否则，将(Ab)第一行与另一行交换，使第一行第一列的元素不为0.(解题时一般使a11=1)

对这个矩阵的第二行到第m行，第二列到第n列再按以下步骤进行，如果有必要，可重新安排方程中未知量的次序，最后可以得到如下形状的阶梯形矩阵从上面讨论易知，方程组（３.４）与原方程组（３.１）是同解的方程组.由（３.４）可见，化为“0=0”形式的方程是多余的方程，去掉不影响方程组的解我们只需要讨论阶梯形方程组的解的各种情形，便可知道原方程组（３.１）的解的情形1.如果(3.4)中，则满足前r个方程的任何一组数，都不能满足这个方程，所以(3.4)无解，从而(3.1)也无解2.如果(3.4)中，又有以下两种情况(1)当r=n时，方程组(3.4)可写成因，所以它有唯一解.从方程组(3.5)中最后一个方程解出xn，再代入第n-1个方程，求出xn-1.如此继续下去，则可求其他未知量，得出它的唯一解.从而得出(3.1)的唯一解.当r<n时，方程组(3.4)可写成它由n-r个自由未知量xr+1,...,xn取不同值而得到不同的解，如果取xr+1=c1，xr+2=c2...xn=cn-r，其中c1，c2，...，cn-r为任意常数，则方程组(3.7)有如下无穷多个解：它是(3.4)的无穷多个解的一般形式，也是(3.1)的无穷多个解的一般形式总之，解线性方程组的步骤是：用初等行变换化方程组(3.1)的增广矩阵为阶梯形矩阵，根据dr+1不等于零或等于零判断原方程组是否有解.如果，则有r(A)=r而r(Ab)=r+1，即,此时方程组(3.1)无解；如果dr+1=0，则有r(A)=r(Ab)=r，此时方程组(3.1)有解.而当

r=n

时有唯一解；当r<n时，有无数多个解.然后，回代求出解.

定理

线性方程组（３.１）有解的充分必要条件是：r(Ab)=r(A).且当r(Ab)=n时有唯一的解，当r(Ab)﹤n时有无穷多解.请同学小结一下由上述讨论可得出以下定理

定理3.1

n元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：r(A

b)=r(A).且当r(A

b)=n时有唯一解,当r(A

b)<n时有无穷多解线性方程组解的情况判定：用消元法解线性方程组的一般步骤：第一步，对增广矩阵施以初等行变换，化成阶梯形矩阵；第二步，根据定理3.1判断方程组是否有解；第三步，如果方程组有解，则对上述阶梯形矩阵继续进行初等行变换，化成行简化的阶梯形矩阵；第四步，写出方程组的解.例2解线性方程组

解对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯形矩阵方程组与下列方程组同解也即例3解线性方程组

解对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯形矩阵方程组与下列方程组同解该方程为矛盾方程，所以原方程组无解．例4解线性方程组

解对方程组的增广矩阵施行初等行变换，化为阶梯形矩阵所以方程组的唯一解为由前面的例题可见，一个非齐次线性方程组可能有唯一解、也可能有无穷多解、也可能无解.方程组与下列方程组同解解：(A

b)=

1

1

1

1

6

3

1

5-2

1

3-1-3

3

7-1-3

3

7-1

0

1-1-2-2

0-2

2

4

4

0-4

4

8

8

1

5-1-1-1

-1

0

1-2-2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

5-1-1-1

0

1-1-2-2

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

0

4

9

9例5．解线性方程组x1x1x1x15x26x23x2x25x32x3x33x3x43x43x47x41337=-=-==++++--++--++解：于是，得与原方程组同解的方程组方程组的解可表示为这种用自由未知量表达其他未知量的表达式称为方程组的一般解.在上述情况下，方程组有无穷多个解.(A

b)=

1

1

1

1

6

3

1

5-2

1

3-1-3

3

7-1-3

3

7-1

0

0

0

1

1

0

0

0-1

0

0

4-2

0

0

9-2

0

0

9

x1x1x2x24x3x39x42x492==-+-+-x1x24x3x39x42x492==--+-+其中x3与x4可取任意值，称为自由未知量其中c1，c2为任意常数方程组的全部解可以表示为方程组的一般解为(x3，x4为自由未知量)x1x24x3x39x42x492==--+-+x1x2x3x44c1c1c19c22c2c1c292=-=-==-+-+例6．解线性方程组x1

x12x1x2x2x23x22x3x33x3x33x44x4x4x41146====-++++++-+---解：

0

1

1

1

1

1

3

4

2

3-1-6

1

1

2

1-4-1-1

3(A

b)=

0

1

1

1-4

0

1

1

3-4

0

0-5-8-7

1

1

2

1

3

0

1

1

1-4

0

0

0

2

0

0

0-5-8-7

1

1

2

1

3

0

1

1

1-4

0

0

5

8

7

0

0

0

2

0

1

1

2

1

3

阶梯形矩阵的第四行对应于“0=2”，此等式不论各未知量取什么值都不可能成立，所以原方程组是无解的一般地，如果在阶梯方程组中存在等式“0=d”，则方程组无解，否则方程组有解在例1中，方程组是3元的，r(A

b)=r(A)=3，方程组有唯一解；

定理

n元线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是：r(A

b)=r(A).且当r(A

b)=n时有唯一解；当r(A

b)<n时有无穷多解线性方程组解的情况判定：在例2中，方程组是4元的，r(A

b)=r(A)=2<4，方程组有无穷多解；在例3中，r(A

b)

r(A)，方程组无解例7．a取何值时，线性方程组并求其解x1ax1x1x2x2x2x3x3ax3a11===++++++有解，解：

a

1

1

1

1

1

a

1

1

1

1

a(A

b)=

0

1-a

1-a

1-a2

1

1

1

a

0

0

a-1

1-a当a

1时，r(A)=r(A

b)=3，方程组有唯一解，此时(A

b)

0

1

1

1+a

0

0

1

-1

1

1

1

a

0

1

0

a+2

1

1

0a+1

0

1

-1

0

0

1

0a+2

0

0

1

-1

1

0

0

-1

x1x2x31a+21=-==-方程组的解为当a=1时，r(A

b)=r(A)=1<3，方程组有无穷多个解(A

b)

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

此时方程组的全部解为x1x2x31-c1-c2c1c2===(c1，c2为任意常数)第四章线性代数的应用§4.1行列式的应用§4.2矩阵的应用§4.3线性方程组的应用§4.1行列式的应用员工有多少？

2008年，由于美国的次贷危机引发了全球的金融危机，不少企业不得不减薪裁员.某企业的员工分为经理和普通员工两类，其月薪分别为5千元和3千元，企业每月工资支出60万元，因金融危机影响经营状况，为将月工资支出减少至39万元，企业决定将经理的月薪降至3千元，并裁员三分之一，问裁了多少员工？同类型的企业，一般的算法如何呢？即该企业原有经理30人，普通员工150人，将裁减普通员工50人.1．某工厂有三个车间，某月份各种原材料的消耗量（单位：吨）如表1-1所示表1-1211516105301312432110各种原材料每吨的价格和加工费（单位：元）如表1-2所示表1-2原料费1214820加工费542.53§4.2矩阵的应用

求各车间该月份支出原料费和加工费各为多少元？

解表1-1用矩阵A表示表1-2用矩阵B表示则所以，A1,A2,A3三个车间的原料为790、760、824，即C矩阵的第一行元素，A1,A2,A3三个车间的加工费为235、300.5、275.5，即C矩阵的第二列元素

2．某单位准备建一电脑机房，需购买指定型号的计算机30台，激光打印机5台，电脑桌椅20套，已问得三家公司的报价：表2-1计算机（元/台）打印机（元/台）电脑桌椅（元/台）甲60003500420乙58004000500丙59003800450解表1-3用矩阵表示为计算机、激光打印机、电脑桌椅各需要数量用矩阵表示为则

3．假设我们记录4名学生甲、乙、丙、丁的3门课程（数学、语文、英语）的期末、期中、平时成绩，如各科的总成绩中，期末、期中、平时成绩分别占70%、20%、10%.则每个学生的总成绩分别为多少？表3-1期末考试成绩表数学语文英语甲908695乙788070丙929396丁667475表3-2期中考试成绩表数学语文英语甲949097乙838576丙989597丁607072表3-3平时成绩表数学语文英语甲908090乙808070丙9090100丁708080解可归为矩阵问题求解设期末、期中、平时考试成绩矩阵分别为A、B、C设总成绩矩阵为D

则从上述矩阵看出，甲、乙、丙、丁的语、数、外总评成绩依次为矩阵的一、二、三、四行元素4．某航空公司在四城市间开辟了若干航线，有航班，则用箭头连接,四城市间的航班图还可用表格表示图4-1表示了四城市间的航班图，若从ABCDA∨∨B∨∨∨C∨∨∨D∨发站DCAB图4-1其中∨表示有航班，为了便于研究记∨为1，空白处为0解：则得一数表，该数表反应了四城市间交通连接情况，即

5.二人零和对策问题.两儿童玩石头-剪子-布的游戏，每人的出法只能在{石头，剪子，布}中选择一种，当他们各选定一个出法（亦称策略）时，就确定了一个“局势”，也就得出了各自的输赢.若规定胜者得1分，负者得-1分，平手各得0分，则对于各种可能的局势（每一局势得分之和为零即零和），试用赢得矩阵来表示A的得分B策略→A石头剪子布策石头01-1略剪子-101↓布1-10图4-20-1110-1-110

解：A赢的得分用图4-2中的矩阵可表示§4.3线性方程组的应用1、交通流量模型2、在解析几何中的应用3、人口迁移模型

1.问题的提出已知某一地区的局部工路交通网络图如下图所示，图中的道路都是单向车道（箭头方向）,且道上不能停车，图中所标示的数字为高峰期进出该网络的车辆数，当进入和流出的车辆数相同（均为800辆/小时）时，试设计一个数学模型描述此交通网络的平衡状态.一、交通流量模型200200300100300200300DCBAE图