吉林省长春五十二中赫行实验中学2025-2026学年九年级上学期1月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年吉林省长春五十二中赫行实验中学九年级上学期1月月考数学试卷一、选择题：1.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. B. C. D.2.若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2-4=0的一个根是x=0，则a的值为（）A.2 B.-2 C.2或-2 D.3.如果2a=5b，那么下列比例式中正确的是（）A.= B.= C.= D.=4.如果两个相似多边形的面积的比为1：5，则它们的周长的比为（）A.1：25 B.1：5 C.1：2.5 D.5.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大3倍，则sinA的值（）A.放大3倍 B.缩小3倍 C.不变 D.无法确定6.“清明时节雨纷纷”这个事件是（）A.必然事件 B.确定性事件 C.不可能事件 D.随机事件7.平移二次函数y=x2的图象，其顶点刚好经过点（2，3），则平移后的函数解析式为（）A.y=（x-2）2+3 B.y=（x+2）2-3 C.y=（x-2）2-3 D.y=（x+2）2+38.如图，Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，P为DE上一点，且满足∠EAP=∠ABP，则PE=（）​A.

B.

C.

D.1二、填空题：9.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______．10.已知关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x-3=0有实数根，则m的取值范围是

.11.已知圆锥的底面半径为5cm,它的侧面积是35πcm2，则这个圆锥的母线长为

cm.12.如图，平面直角坐标系中，A（2，0），B（1，2），C（-1，1），以A为位似中心，把△ABC在点A同侧按相似比1：3放大，放大后的图形记作△AB1C1，则C1的坐标为

.

13.如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=10m,则迎水坡AB的长度是

.

14.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点D是边BC上（不与B，C重合）一动点，∠ADE＝∠B＝a，DE交AC于点E，下列结论：①AD2＝AE．AB；②1.8≤AE＜5；⑤当AD＝时，△ABD≌△DCE；④△DCE为直角三角形，BD为4或6.25．其中正确的结论是____．（把你认为正确结论序号都填上）

三、解答题：15.计算：sin230°-2cos30°•tan60°•sin245°.16.解方程：

（1）x2-8x-1=0；

（2）2x-9x+10=0.17.小明参加某超市的“翻牌抽奖”活动，如图，4张背面完全相同的卡片，正面分别对应着四句“国是家，孝为先，善作魂，知礼仪”的讲文明树新风的宣传语.

（1）如果随机翻1张牌，那么翻到“孝为先”的概率为______.

（2）如果四张卡片分别对应价值为25，20，15，10（单位：元）的4件奖品.如果小明随机翻2张卡片，且第一次翻过的牌不再参加下次翻牌，求小明两次所获奖品总值不低于35元的概率？18.如图所示，小明和小华想测量楼顶的避雷针顶端A的高度AB.小明先在竖起的标杆CD上的点N处，测得A点的仰角α为45°；然后，小华适当调整位置，竖起标杆EF，使点E，C，A在同一直线上，并测得ND=1m,FD=1.7m.已知CD=2.6m,EF=1m,F，D，B三点在同一水平直线上，AB，CD，EF均垂直于FB，求避雷针顶端A的高度AB.19.如图，在△ABC中以AB为直径作圆，圆心为O，交AC于点F，连接OF，延长CB至D，连接OD.已知∠C=∠D，∠A=∠BOD.

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若AB=6，BD=4，求CF的长度.20.图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，△ABC的三个顶点A、B、C均在格点上.每个小正方形的顶点称为格点，小正方形边长为1.在如图中，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图，保留作图痕迹.

（1）在图①中的AB上画出△ABC的高线；

（2）在图②中的AC上找一点E，连接BE，使△ABE与△CBE面积比为3：7；

（3）在图③中的BC上找一点F，连接AF，使得∠C=2∠BAF.21.观察下列各式及其验证过程.

；.

验证：；

.

（1）按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：

=______，=______；

（2）通过上述探究，猜想=______（n＞0，且n为整数），并验证你的结论；

（3）计算：.22.【操作与发现】

如图①，在正方形ABCD中，点N，M分别在边BC、CD上．连接AM、AN、MN．∠MAN=45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而可得：DM+BN=MN．

（1）【实践探究】在图①条件下，若CN=6，CM=8，则正方形ABCD的边长是______．

（2）如图②，在正方形ABCD中，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN、MN，∠MAN=45°，若tan∠BAN=，求证：M是CD的中点．

（3）【拓展】如图③，在矩形ABCD中，AB=12，AD=16，点M、N分别在边DC、BC上，连接AM、AN，已知∠MAN=45°，BN=4，则DM的长是______．23.如图，面积为15的菱形ABCD，AB=5，点E从点B出发沿折线B-C-D向终点D运动.过点E作点E所在的边（BC或CD）的垂线，交菱形其它的边于点F，在EF的右侧作矩形EFGH.

（1）如图1，点G在AC上.求证：FA=FG.

（2）若EF=FG，当EF过AC中点时，求AG的长.

（3）已知FG=4，设点E的运动路程为S，当S满足什么条件时，以G，C，H为顶点的三角形与△BEF相似（不包括全等）？请直接写出答案.

24.如图，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A（-1，0），B（3，0）两点.点P为抛物线上任意一点，其横坐标为m（m≠0），过点P作PQ⊥y轴，点Q的横坐标为-2m.

（1）求a,b的值；

（2）当点Q在抛物线上时，求m的值；

（3）当线段PQ与抛物线有两个公共点时，直接写出m的取值范围；

（4）过点P作PM⊥x轴，点M的纵坐标为m+1，且点M与点P不重合.连接MQ，当抛物线在△PQM内的部分对应的函数值y随x的增大而减小时，直接写出m的取值范围.

1.【答案】B

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】D

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】x≥9

10.【答案】m≥且m≠1

11.【答案】7

12.【答案】（-7，3）

13.【答案】10m

14.【答案】①②④

15.【答案】解：sin230°-2cos30°•tan60°•sin245°

=（）2-2×××（）2

=-

=-．

16.【答案】，

17.【答案】解：（1）；（2）画树状图如下：

由树状图可知共有12种等可能结果，其中所获奖品总值不低于35元的有8种，∴所获奖品总值不低于35元的概率为

.

18.【答案】解：过点N作NH⊥AB于H，过点C作CK⊥AB于K，连接EN，如图所示：

∵ND=EF=1m,AB，CD，EF均垂直于FB，

∴点E，N，H在同一条直线上，四边形EFDN，四边形EFBH，四边形NDBH，四边形CNHK均为矩形，

∴CK∥EH，

∵点E，C，A在同一直线上，

∴∠ACK=∠AEH，

设AK=x,

∵CN=KH=CD-ND=2.6-1=1.6（m），

∴AH=AK+KH=（x+1.6）m,

在Rt△ANH中，∠ANH=α=45°；

∴tanα==1，

∴NH=AH=（x+1.6）m,

∴CK=NH=AH=（x+1.6）m,EH=FB=FD+NH=（x+3.3）m,

在Rt△ACK中，tan∠ACK==，

在Rt△AEH中，tan∠AEH==，

∵∠ACK=∠AEH，

∴=，

整理得：0.1x=2.56，

∴x=25.6，

检验后知道x=25.6是分式方程=的根，

∴AK=25.6，

∴AB=AK+CD=25.6+2.6=28.2（m），

答：避雷针顶端A的高度AB为28.2m.

19.【答案】（1）证明：∵∠C=∠D，∠A=∠BOD．

∴∠ABC=∠OBD，

∵∠ABC+∠OBD=180°，

∴∠ABC=∠OBD=90°，

∴AB⊥CD，

∵AB为直径，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：∵AB为直径，AB=6，

∴OB=AB=3，

∵AB⊥CD，BD=4，

∴OD==5，

∵∠C=∠D，∠A=∠BOD．

∴△OBD∽△ABC，

∴，即，

∴BC=8，

∴AC==10，

连接BF，

∵AB为直径，

∴∠AFB=∠BFC=90°，

∴BF=，

∴CF==．

20.【答案】如图①：CD即为所求；

如图②：BE即为所求

如图③：点F即为所求

21.【答案】2-

-

-

22.【答案】（1）12；

（2）证明：设BN=m，DM=n，

由（1）可知，MN=BN+DM=m+n，

∵∠B=90°，tan∠BAN=，

∴tan∠BAN==，

∴AB=3BN=3m，

∴CN=BC-BN=2m，CM=CD-DM=3m-n，

在Rt△CMN中，由勾股定理得：（2m）2+（3m-n）2=（m+n）2，

整理得：3m=2n，

∴CM=2n-n=n，

∴DM=CM，

即M是CD的中点；

（3）8．

23.【答案】（1）证明：如图1中，

∵四边形ABCD是菱形，

∴BA=BC，

∴∠BAC=∠BCA，

∵FG∥BC．

∴∠AGF=∠ACB，

∴∠AGF=∠FAG，

∴FA=FG；

（2）解：设AC的中点为O．

①如图2中，当点E在BC上时，过点A作AM⊥CB于点M．

∵面积为15的菱形ABCD，AB=5，

∴AM=3，

在Rt△ABM中，AM=3，

∴BM===4，

∴FG=EF=AM=3，CM=BC-BM=1，

∵OA=OC，OE∥AM，

∴CE=EM=CM=，

∴AF=EM=，

∴AG=AF+FG=．

②如图3中，当点E在CD上时，过点A作AN⊥CD于N．

同法FG=EF=AN=3，CN=1，AF=EN=CN，

∴AG=FG-AF=3-=，

综上所述，满足条件的AG的长为或；

（3）过点A作AM⊥BC于点M，AN⊥CD于点N．

①当点E在线段BM上时，0＜S≤4，设EF=3x,则BE=4x,GH=EF=3x,

a、若点H点C的左侧，S+4＜5，即0＜S＜1，如图4，

CH=BC-BH=5-（4x+4）=1-4x,

由△GHC∽△FEB，可得，即，

∴，解得x=，

经检验x=是分式方程的解，

∴S=4x=；

由△GHC∽△BEF，可得，即，

∴，解得x=，

∴S=4x=；

b、若点H在点C的右侧，S+4＞5，即1＜S≤4，如图5，

CH=BH-BC=（4x+4）-5=4x-1，

由△GHC∽△FEB，可得，即，

∴，方程无解，

由△GHC∽△BEF，可得=，即，

∴，解得x=，

∴S=4x=；

②当点E在线段MC上时，4＜S≤5，如图6，

EF=3，EH=4，BE=S，

∴BH=BE+EH=S+4，CH=BH-BC=S-1，

由△GHC∽△FEB，可得，即=，

∴，方程无解，

由△GHC∽△FEB，可得，即，

∴，解得S=（舍弃），

③当点E在线段CN上时，5＜S≤6，如图7，过点C作CJ⊥AB于点J，

在Rt△BJC中，BC=5，CJ=3，BJ=4，

∵EH=BJ=4，JF=CE，

∴BJ+JF=EH+CE，即CH=BF，

∴△GHC≌△EFB，不符合题意，

④当点E在线段DN上时，6＜S＜10，

∵∠EFB＞90°，

∴△GHC与△BEF不相似．

综上所述．满足条件的S的值为或或．

24.【答案】解：（1）把A（-1，0），B（3，0）代入y=ax2+bx-3，得：

，

解得：，

∴抛物线的解析式y=x2-2x-3；

（2）抛物线y=x2-2x-3的对称轴是：

，

∵PQ⊥y轴，且点Q在抛物上，

∴点P和点Q关于抛物线对称轴对称，

∴，

解得：m=-2；

∴m的值为-2；

（3）∵点P的横坐标为m,

∴点P关于对称轴的对称点P′的横坐标为2-m；

①当m＜1时，

2-m≤-2m,

解得：m≤