云南红河州一中实验中学2025-2026学年高二下学期3月月考数学试题（含答案）

2025—2026年(下学期)红河州一中实验学校高二年级3月月考·数学(考试时间:120分钟满分:150分)注意事项:1.答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在试卷和答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.小李同学有三件不同颜色的羽绒服以及两条不同颜色的棉裤,如果一件羽绒服和一条棉裤配成一套,则小李同学不同的搭配种数为()A.5B.6C.8D.92.已知集合A={−1,0,1,3,5}，全集UA.B={xC.B={x3.已知复数z满足2+iz=1−iA.85B.−85C.4.在等差数列an中，a2+a4+aA.18B.21C.24D.285.如图,这是一个落地青花瓷,其中底座和瓶口的直径相等,其外形被称为单叶双曲面,可以看成是双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,bA.50 cmB.100 cmC.1106.已知函数fx的定义域为−π2,π2,其导函数是f′x,且满足f′xcosA.π3,π2B.−7.若方程x2+1=ax−A.−1B.−C.−D.−8.过原点O0,0作曲线y=−x2+2x−4的两条切线l1,l2A.16B.15C.10D.5二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9.在公比q为整数的等比数列an中,Sn是数列an的前n项和,若a1aA.q=2B.数列SC.S8=510D.数列log210.已知fx是定义在−∞,0∪0,+∞的偶函数,且当x>()A.fB.当x<0时,C.x=−1是fD.存在实数k,使得直线y=kx与y=f11.如图,在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中,P为线段A1C1A.BB.直线PC与BB1所成角的最大值为C.过点A1,C1,M作该正方体的截面α,则截面D.三棱锥P−ABC外接球半径的取值范围为三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12.设函数fx=log2x+13.已知数列an通项公式an=2n−3,n14.已知离心率为e1的椭圆C1:x2a12+y2b12=1a1>b1>0和离心率为e2的双曲线C2:x2a2四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数fx(1)求曲线y=fx在点(2)求函数fx16.已知数列an中，a(1)证明:1an(2)求数列an4n+1的前n17.已知函数fx(1)求fx(2)若对于任意x1∈−12,1，总存在x2∈[118.如图,四边形ABCD是正方形,四边形ADPQ是梯形,PD//QA,PD⊥AD,平面ADPQ⊥平面(1)求证:QB//平面PDC(2)求平面PCB与平面PBQ夹角的正弦值；(3)已知点H在棱PD上，且异面直线AH与PB所成角的余弦值为7315，求线段DH19.已知双曲线C:x2a2−y2b(1)求双曲线C的标准方程；(2)若点P为双曲线左支上一点，At,0t>0(3)过点F2,0的直线与双曲线C的右支交于M，N两点，求证:1.B根据分步乘法计数原理可得.先选羽绒服有3种情况,再选棉裤有2种情况,根据分步乘法计数原理,共有搭配种数3×故选:B.2.B由集合的运算可得.因为集合A={−所以5∉综合选项判断可得B正确.故选:B.3.C由复数的运算法则计算出答案.因为2+iz=1−i,所以z=1−i4.D应用等差数列项的性质结合等差数列求和公式计算求解.在等差数列an中,a2+a4+a6=3a故选:D.5.B由题意得a=20,根据离心率求得b=205由该花瓶横截面圆的最小直径为40 cm,有a又由双曲线的离心率为6，有c=206，可得双曲线的方程为x2400−y22000=1故该花瓶的高为100 cm.故选:6.A令gx=fxcosx并求导,结合题意可得gx在−π2,π2上单调递减,从而令gx=fxcosx,x∈−π2,π2,则g′x=f′xcosx+fxsinxcos2x,因为f′xcosx故选:A.7.A根据方程两侧对应的曲线性质,数形结合研究临界值即可求参数范围.y=x2+1y=ax−1,表示过1,由题意知y=x2+1即直线与双曲线的两个交点都在x轴上方,当直线与双曲线相切时,由y=x2+1令Δ=−2a22当a=22时,切点为−1,−2当a=−1所以当直线与双曲线有两个交点且都在x轴上方时,实数a的取值范围是−1故选:A.8.A解法一:先设出切点坐标Mx1,y1,再对y=−x2+2x−4求导找到切线的斜率,再根据切点在曲线y=−x2+2x−4上得出y1=−x12+2解法二:先设出切线方程与曲线方程联立通过Δ=0得出切线的斜率进而得到切点坐标,进而可求线段MN及O到MN的距离最后计算出△OMN解法一:因为y=−x2+2x设切点Mx1,y1,所以在M所以在M处的切线方程为y−又点M在曲线y=−x2+2x所以在M处的切线方程为y−因为此切线过点O0,0,所以解得x12=4,即x1=±2,当x1=2时,所以不妨设M2,−4,N−2,−12整理得2x−y−8=0,又MN=45则S△解法二:过原点且斜率不存在的直线为x=0易知它与曲线y=−x2+2x−设切线方程为y=kx,切点为x0,y整理得x2+k−2x+4=0,令由y=−x2+2x−4,得当k=−2时，x0=2,y0=−4不妨设M2,−4,N所以直线MN的方程为y+4=2x又MN=45,O到MN的距离d故选:A9.ABC利用等比数列的性质得到q=2,求出首项,从而求出通项公式和求和公式,利用对数运算得到log2an=n由题意得:a1a4=a解得:a2=4,当a2=4,a3当a2=8,a3故A正确;由于a1=4÷2=2,所以其中Sn+2Sn−1+2=S8=an=2n,则log2故数列log2an是公差为1故选:ABC10.AC将自变量代入求函数值判断A，利用偶函数的性质求函数区间解析式判断B，应用导数研究函数的极值点判断C,根据C的分析判断y=fx由题设f1=若x<0,则−x>0由fx为偶函数,则fx由上x<0时,fx=−x令gx=f′x⇒g′x=又f′−1=−ln1+1−1=0,故在−∞,−1所以fx在−∞,−1上单调递减,在−1,0上单调递增,故x=−1是fx的极小值点,C对,由C分析,x→−∞或x所以−∞,−1、−1,0上fx∈0,+∞f所以直线y=kx与y=fx的图象恒有2故选:AC11.ACD以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,设A1P=λA1C1，求出P2−2λ,2λ,2，求出DB1,BP利用向量法即可判断A；求出BB1,CP以D为坐标原点,DA,DC,DD1则A12,0,设A1P=λA1C1所以点P2又D0所以DB所以DB所以B1D⊥PB,故BB因为C0,2,0所以cosB函数y=8λ−12所以当λ=0时,函数取得最大值12,当λ=所以y=所以cosB当cosBB1,CP=33时，直线因为cosπ4=22≠33,故直线PC与BB1取BC中点N,连接MN,因为M为AB的中点,所以MN//截面α即为四边形MNC又A1C1//AC又因为A1M=NC1如图,作MH⊥A1C1所以A1所以MH=所以等腰梯形MNC1A1即截面α的面积为92，故C取AC的中点Q,因为△ABC为直角三角形，所以Q为△ABC外接圆的圆心，设外接球的球心为O,根据外接球的性质,则OQ⊥平面设球心O1则OB=OP因为OB=OP,所以即h=函数h=2λ−122+12所以当λ=12时,函数取得最小值12,当所以h∈12,1即三棱锥P−ABC外接球半径的取值范围为32,3故选:ACD.12.0根据分段函数解析式,分0<x≤2和当0<x≤2时,fx=log2x+4,易知当x>2时,2x+1故不等式fx<9的解集为13.205由通项公式可得,数列an∵a∴数列an则a2n则数列an的前9项和=故答案为:205.14.1由题意,PF1⊥PF2设半焦距为c,Q为PF1中点，线段PF1的垂直平分线经过坐标原点，O为F1F由OQ⊥则m2所以2a12+2故2e当且仅当2e12e22故答案为:1+15.(1)y(2)极大值为1e2(1)对函数求导，可得到切线的斜率，然后根据点的坐标即可求出切线方程.(2)对函数求导,根据定义域确定函数的单调性,从而确定极值点和极值.(1)因为fx=lnx−所以切线斜率为f′1=2−ln所以曲线在点1,−1处的切线方程为y+1=(2)令f′x=0，则2−ln因为f′x=2−lnxx2,当0<x<e2所以函数fx在0,e2单调递增,在所以函数fx在x=e2所以函数fx的极大值为1e16.(1)因为a1=2,所以而an+1=2即1an+1−1an=12,得到(2)由(1)可得1an=1a1则an得到T==17.(1)函数fx=ex2x则f′令f′x>0,可得x<0或x>32,令f则fx的单调递增区间为−∞,0和32,+∞,单调递减区间为0,(2)由(1)知:fx在−12,0故当x∈−12,1由已知:xlnx−ex−∴a≥exx+x−lnx在[1∴a令t=x−lnx,∴t=x−lnx在[令ht=et+t,t∈[1则htmin=h1∴a的取值范围为[e+18.(1)由平面ADPQ⊥平面ABCD,平面ADPQ∩平面ABCD=AD,PD⊂平面ADPQ,PD⊥AD，得直线PD⊥平面ABCD以点D为原点，直线DA,DC,DP分别为D0依题意,AD=−2,0,0是平面则QB⋅AD=0,而直线QB⊄平面PDC,所以QB(2)PC=0,2,−2,BC=−2,0,0,QB=0,2,−1,PQ=2,0,−1,设平面CPB的法向量为n=a,b,c,则n⋅PC=2b−2c=0n⋅BC=−2a=0,取b=1(3)由点H在PD上,设H0,0,t,0≤t≤2,则AH=−2,0,t,PB=19.(1)因为双曲线C