2026年江苏苏州九年级上学期期末数学试卷（含答案解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页2025—2026学年第一学期西附初中初三数学期末模拟卷三一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）1．⊙O的半径为2，同一平面内，若点P与圆心O的距离为2，点P与⊙O的位置关系是（

）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法确定2．对于抛物线，下列说法正确的是（

）A．开口向上 B．对称轴是直线C．与轴交点坐标为 D．函数的最大值是33．在一个不透明的口袋中装有个完全相同的小球，把它们分别标号为，从中随机摸出一个小球，其标号是或的倍数的概率为（

）A． B． C． D．4．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（

）A． B．且C． D．且5．如图，在中，，D是的中点，若，，则等于（

）A． B． C． D．6．如图，点是的重心，若的面积是12，则的面积是（

）A．6 B．4 C．3 D．27．如图，二次函数（，，为常数，）的图象与轴交于点，对称轴是直线，有以下结论：①；②若点和点都在抛物线上，则；③（为任意实数）；④．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个8．如图，在平面直角坐标系中，动点P在直线上，动点Q在半径为3的上（O为坐标原点），过点P作的一条切线，R为切点，则的最小值为（

）A．5 B．6 C．8 D．10二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）9．某飞机在离地面垂直距离1500米的上空处，测得地面控制点的俯角为，那么飞机与该地面控制点之间的距离等于米．（结果保留根号）10．若一组数据的平均数是5，则另一组数据的平均数是11．已知一个圆锥形纸帽的母线长为6，底面圆的半径为2，则纸帽的侧面积为．12．在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别．从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球．两次摸出的球都是红球的概率为．13．已知a，b是一元二次方程的两个根，若以a，b为两条直角边作直角三角形，则斜边c的值是．14．如图，点为外接圆的圆心，点为的内心，连接，，若，则的度数为°．15．如图，在中，，是边上的中线，过点作于点，延长交于点，若，则的长为．16．如图，抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点，点C为第二象限的抛物线上一点，于H，若，则点C的坐标为．三、解答题（本大题共11小题，共82分．）17．（1）计算：；（2）解方程：．18．已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC＝8，sinα＝．求：（1）线段OC的长；（2）cos∠DOC的值．19．某超市计划采购一批荔枝．现从甲和乙两个产地的荔枝中，各随机抽取10颗，测量单颗质量，将测量的数据制成如下统计图：统计量产地平均数中位数众数甲25b乙ma24解答下列问题：(1)填空：______，______，______；(2)测量数据的方差越小，荔枝的大小越匀称，可以判断______产地的荔枝更为匀称．(3)若规定质量不低于25克的为大果，超市购进两箱甲产地的荔枝，净重千克，请你估计其中大果的数量．20．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均在正方形网格的格点上，已知点的坐标为．(1)画出关于原点对称的，并写出点的对应点的坐标；(2)以点为位似中心，在给出的网格内画，使与的相似比为；(3)直接写出与的面积比．21．通过学习化学我们知道，混合物和纯净物在性质和组成上差异较大．为了加深对纯净物和混合物的理解，化学兴趣小组的轩轩和丽丽两位同学做了如下游戏：如图所示，将一个可自由转动的转盘平均分成个相等的扇形，并分别标上A．干冰、B．碘酒、C．海水、D．甲烷、E．生铁，每位同学转动一次转盘，转盘停止后，指针所指扇形对应的物质即为该同学转到的物质（若指针刚好落在分割线上，则重新转动转盘，直到指针指向某一扇形为止；这种物质中，纯净物有干冰和甲烷，混合物有碘酒、海水和生铁）．(1)轩轩转动一次转盘，转盘停止后指针指向D．甲烷的概率为___________；(2)若轩轩和丽丽各自转动一次转盘，请用列表法或画树状图的方法求轩轩和丽丽转到的都是混合物的概率．22．已知，点在二次函数的图象上．(1)当时，求此时二次函数的表达式；(2)若时，求m的取值范围．23．如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，．(1)求证：．(2)求的长．24．杭州亚运会的三个吉祥物“琮琮”“宸宸”“莲莲”组合名为“江南忆”，9月份“江南忆”的销售量为256件，11月份的销售量为400件．已知每件“江南忆”的进价为35元，售价为58元．(1)求该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率；(2)经市场预测，12月份该款吉祥物的销售量将与11月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式．调查发现，该款吉祥物每降价1元，月销售量就会增加20件，当该款吉祥物每件的售价为多少元时，月销售利润能达到8400元?25．如图，在中，，以为直径的交于点，，垂足为．(1)求证：是的切线．(2)若，，求的长和图中阴影部分的面积．26．如图，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点，直线经过，两点．

(1)直接写出该二次函数的表达式______；(2)①若点和点为抛物线上的点，则______（填、、或）②将抛物线向左平移个单位（），然后向下平移个单位，恰好经过点，则的值为______(3)已知为线段上一点，设其横坐标为t，过点作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点，再过点作轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点，当时，求点的横坐标．27．【问题提出】（1）如图①，点均在上，若，则锐角的度数为___________；【问题探究】（2）小聪遇到这样一个问题：如图②，是等边三角形的外接圆，点在上（不与点重合），连接．求证：．小聪发现，延长至点，使，连接，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．请根据小聪的分析思路完成证明过程；【问题解决】（3）如图③是一个圆形的城市广场，广场边缘分布着四个休息亭，四边形内接于，且是连接休息亭之间的步道，若，求步道的长度．答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页1．B【分析】根据点与圆心的距离d，当d=r时，点在圆上即可解答．【详解】解：∵点与圆心的距离d=半径r=2∴点P与⊙O上．故答案为B．【点睛】本题主要考查了对点与圆的位置关系的判断，掌握当圆的半径为r，点到圆心的距离为d时有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当d<r时，点在圆内是解答本题的关键．2．D【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可得开口方向，对称轴和顶点坐标，据此可判断A、B、D，求出时的函数值即可判断C．【详解】解：∵抛物线解析式为，，∴抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，故A和B的说法都错误，∴函数的最大值为3，故D说法正确；当时，，∴与轴交点坐标为，故C说法错误；故选：D．3．C【分析】本题考查了概率公式，利用概率公式直接计算即可，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：从一个不透明的装有个完全相同的小球的口袋中，随机摸出一个小球，共有种等可能结果，其中标号是或的倍数的结果共有种，∴标号是或的倍数的概率为，故选：．4．B【分析】本题考查了一元二次方程有实数根的条件，需同时满足二次项系数不为零和判别式大于等于零．令，，求解出的取值范围即可．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，且，且．故选：B．5．A【分析】先根据直角三角形斜边中线的性质求出，再根据勾股定理求出，最后利用正弦函数的定义即可求出．【详解】解：在中，，D是的中点，是斜边上的中线，，，，．故选A．【点睛】本题考查直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，锐角三角函数等，解题的关键是根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半求出的长度．6．D【分析】本题考查了三角形重心，三角形中线平分面积的知识．三角形的重心：是三角形三条中线的交点，由此得到是的中线，，再根据的面积是12，推出．【详解】解：∵点是的重心，∴是的中线，，∵的面积是12，∴．故选：D．7．B【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，，.，..故①错误；对称轴是直线，点和点都在抛物线上，而，.故②错误；当时，，当时，函数取最大值，∴对于任意实数有：，∴，故③正确；，.当时，，.，即，故④正确.综上所述，正确的有③④.故选：B.【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与坐标轴的交点.8．B【分析】连接，则，由切线的性质，得到，故当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，根据垂线段最短，得到当时，的值最小，等积法求出的长，即可得出结果．【详解】解：连接，则：，，∵是的切线，∴，∴，∴当最小时，均取得最小值，此时的值最小，设直线与轴，轴分别交于两点，∵动点P在直线上，∴当时，的值最小，当时，，当时，，∴，，∴，∴，当时，，即，解得，∴的最小值为，的最小值为，∴的最小值为．故选B．【点睛】本题考查切线的性质，圆外一点到圆上一点的最值，一次函数与坐标轴的交点问题，垂线段最短，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，确定点的位置，是解题的关键．9．【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意正确画出图形是解题的关键．根据题意，飞机离地面垂直距离为1500米，俯角为，通过几何关系可得，在中，利用正弦函数求解即可解答．【详解】解：如图：由题意得：，∴，在中，米，∴（米）．故答案为：．10．8【分析】本题考查了求平均数．根据平均数的定义，原数据之和为50，新数据每个加3，和增加30，再求平均数．【详解】解：由题意，原数据平均数为5，故数据之和为．新数据之和为．新数据的平均数为．故答案为：．11．【分析】本题主要考查了圆锥侧面积．根据圆锥侧面积公式（为底面圆半径，为母线长）进行计算即可．【详解】解：由题意，，，代入公式得：，故纸帽的侧面积为．故答案为：12．【分析】本题考查了列表法与树状图法求概率，画树状图展示所有9种等可能的结果数，再找出两次摸出的小球都是红球的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图为：共有9种等可能的结果数，其中两次摸出的小球都是红球的结果数为4，所以两次摸出的小球都是红球的概率．故答案为：．13．【分析】此题考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．由根与系数的关系得和，再通过恒等变换求，最后利用勾股定理求斜边．【详解】解：根据根与系数的关系，得，，则，在直角三角形中，斜边，故答案为．14．【分析】本题考查三角形的内心和外心的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，内心是三角形角平分线的交点，外心是各边垂直平分线的交点．由点为的内心可得的度数，由点为外接圆的圆心可得的度数，然后根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理即可求解．【详解】解：连接，点为的内心，平分，，，点为外接圆的圆心，，，．故答案为：．15．【分析】过点作，可证，，，利用勾股定理可以求出，根据等腰三角形的性质可知，可证，从而可得．【详解】解：如下图所示，过点作，，，是边上的中线，，，，，，，，，，，是边上的中线，，又，，，，，.故答案为：.【点睛】本题主要考查了勾股定理、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是作辅助线构造相似三角形．16．【分析】首先求出，，过作轴于，过作于，构建直角三角形，证明，列比例式，根据等角的三角函数可得：，设，则，，得，，根据列式可得的值，写出点的坐标．【详解】解：如图所示，过作轴于，过作于，∵抛物线与x轴，y轴分别交于A，B两点∴当时，∴∴∴当时，解得∴∴，∴又∵∴又∵∴，，，，设，则，，，，，设，，，，，，，点为第二象限的抛物线上一点，∴点C的横坐标为，代入．故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数，一次函数和几何综合题，相似三角形的性质和判定，勾股定理，解题的根据是正确作出辅助线构造相似三角形．17．（1）；（2）或．【分析】本题考查了特殊角的三角函数值和一元二次方程的解法，熟练掌握特殊角的三角函数值以及一元二次方程的解法是解题的关键．（1）先算绝对值、零指数幂、负整指数幂和特殊角的三角函数值，再进行加减计算即可；（2）用配方法解方程即可．【详解】（1）解：；（2）解：，，，，，∴或．18．（1）5；（2）【分析】(1)由sinα＝＝，设AB=3x，则AC=5x，由勾股定理得出方程（3x）2+82＝（5x）2，解方程得出AC=10，即可求出OC＝AC＝×10＝5；(2)由直角三角形斜边上的中线性质得出OB＝OC＝OA＝AC＝5，设OD=y，则BD=OB+OD=5+y，由勾股定理得出方程82﹣（5+y）2＝52﹣y2，得出y=，由三角函数定义即可得出答案．【详解】（1）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，∴sinα＝＝，设AB＝3x，则AC＝5x，∵AB2+BC2＝AC2，即（3x）2+82＝（5x）2，解得：x1＝2，x2＝﹣2（不合题意舍去），∴AC＝10，∵点O是AC的中点，∴OC＝AC＝×10＝5；（2）∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，∴OB＝OC＝OA＝AC＝5，设OD＝y，则BD＝OB+OD＝5+y，∵CD⊥OB，∴CD2＝BC2﹣BD2＝OC2﹣OD2，∴82﹣（5+y）2＝52﹣y2，解得：y＝，∴cos∠DOC＝＝＝．【点睛】本题考查了解直角三角形、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握勾股定理和锐角三角函数定义是解题的关键．19．(1)，25，25(2)甲(3)估计其中大果的数量为3200个．【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；（2）根据方差的意义解答即可；（3）先求得甲产地的荔枝总的个数，再利用样本估计总体求解即可．【详解】（1）解：由题意得：；把乙产地的10个荔枝的单果质量从小到大排列，排在中间的两个数分别是25，25，故中位数；甲产地的10个荔枝的单果质量中，25出现的次数最多，故众数．故答案为：，25，25；（2）解：观察两个统计图，甲产地的10个荔枝的单果质量比较集中，可以判断甲产地的荔枝更为匀称．故答案为：甲；（3）解：净重千克有荔枝（个），∴估计其中大果的数量为（个）．20．(1)见解析，点；(2)见解析；(3)．【分析】本题主要考查作图中心对称变换、位似变换以及相似三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．（1）根据中心对称的性质作出图形即可；（2）利用位似变换的性质分别作出的对应点即可；（3）根据相似三角形的性质解答即可．【详解】（1）解：如图所示，点；（2）解：如图，即为所作；（3）解：∵与的相似比为，∴与的面积比为．21．(1)(2)【分析】本题主要考查了概率公式、树状图求概率．(1)利用概率公式求解即可；(2)画树状图，由树状图可知，一共有种等可能的结果，它们出现的可能性相等，其中轩轩和丽丽转到的都是混合物的结果有种，轩轩和丽丽转到的都是混合物的概率为．【详解】（1）解：转盘上个区域的圆心角相等，指针落在每个区域的可能性相等，转盘停止后指针指向D甲烷的概率为；故答案为：；（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有种等可能的结果，它们出现的可能性相等，其中轩轩和丽丽转到的都是混合物的结果有种，轩轩和丽丽转到的都是混合物的概率为．22．(1)(2)【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质：（1）根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解；（2）把点代入，可得到关于m的不等式，即可求解．【详解】（1）解：∵点在二次函数的图象上，且，∴二次函数的对称轴为直线，∴，∴，∴二次函数的表达式为；（2）解：∵点在二次函数的图象上，且，∴解得：．23．(1)见解析(2)【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识的运用，掌握相似三角形的判定和性质是关键．（1）根据矩形的性质，垂直的定义得到，结合相似三角形的判定即可求解；（2）根据线段和差得到，运用勾股定理得到，由相似三角形的性质列式求解即可．【详解】（1）证明：∵四边形是矩形，∴，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：根据题意，，∴，∴，∵，∴，即，解得，．24．(1)(2)当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润能达到8400元．【分析】本题考查了一元二次方程的应用：（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设该吉祥物售价为y元，则每件的销售利润为元，利用月销售利润=每件的销售利润×月销售量，可列出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．【详解】解：（1）设该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为，根据题意，得，解得，（不符合题意，舍去）．故该款吉祥物9月份到11月份销售量的月平均增长率为．（2）设该款吉祥物每件的售价为元，则每件的销售利润为元，则月销售量为件．根据题意，得，解得，（不符合题意，舍去）．故当该款吉祥物每件的售价为50元时，月销售利润能达到8400元．25．(1)见解析(2)，【分析】（1）连接，论证即可；（2）根据等腰三角形的性质结合勾股定理求出，连接，可得是等边三角形，从而得到，进而计算出弧长及阴影部分的面积．【详解】（1）证明：如图，连接，则，，，，，，，，是的半径，是的切线．（2）解：如图，连接，是的直径，，，，，，，，在中，，，解得舍负，，，是等边三角形，，，的长，∴图中阴影部分的面积【点睛】本题考查了圆的切线的判定、勾股定理、等腰三角形的性质、扇形面积、三角形面积等知识点，关键是灵活应用知识点解题．26．(1)二次函数的表达式为(2)①；②(3)的横坐标是或【分析】本题主要考查了二次函数