2025福建福州市九年级上学期数学模拟试卷 (含答案详解)

福建省福州市2024-2025学年九年级上学期一检数学模拟试卷一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（4分）下列事件中，是必然事件的是（）A．一名运动员跳高的最好成绩是20.1米 B．通常加热到100℃时，水沸腾 C．一人买一张火车票，座位刚好靠窗口 D．购买一张彩票，中奖3．（4分）已知⊙O的半径为6，在⊙O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是（）A．2 B．4 C．6 D．84．（4分）将y＝2x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（）A．y＝2（x+2）2﹣3 B．y＝2（x+3）2+2 C．y＝2（x﹣2）2+3 D．y＝2（x﹣3）2+25．（4分）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（）A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝06．（4分）一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（）A．x+x（x+1）＝121 B．1+x+x（x+1）＝121 C．x+x2＝121 D．1+x+x2＝1217．（4分）若反比例函数y＝的图象过点（a，a﹣2+），则下列说法正确的是（）A．该函数图象位于二、四象限 B．x＝﹣1时，y＜0 C．y随x的增大而增大 D．当a＝1时，k有最小值08．（4分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（）A．100° B．110° C．70° D．109°9．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．10．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③a+b+c＞0；④a﹣b+c＝﹣9a．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为．12．（4分）关于x的方程x2+x﹣k2﹣1＝0的根的情况是．13．（4分）用240厘米的铁丝做一个长方体框架长、宽、高的比为3：2：1．这个长方体框架的体积为立方分米．14．（4分）如图为二次函数y＝﹣x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x+3）2+4的图象．x…﹣4﹣2024…y＝﹣x2…﹣8﹣20﹣2﹣8…x…﹣7﹣5﹣3﹣11…y＝﹣（x+3）2+4……二次函数y＝﹣（x+3）2+4的图象开口，对称轴是；顶点坐标为；当时，y有最值为．15．（4分）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同．多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有个．16．（4分）如图，在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，点P在劣弧AC上，且∠APB＝120°，CH⊥BP于H，当AP＝CH，则＝．三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）解方程：．18．（8分）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，直线l经过点B，过点A作AD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，求证：△ABD∽△BCE；（2）如图2，点D，E是l上的两点，连接AD，CE，∠ADB＝∠BEC＝45°，AD＝，CE＝4，BD＝3，求的值．19．（8分）已知反比例函数．（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；x…﹣4﹣2﹣1124…y…24﹣4﹣1…（2）根据图象回答：当1＜x≤3时，y的取值范围是；（3）根据图象回答：当﹣1≤y＜3且y≠0时，x的取值范围是．20．（8分）一个不透明的袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球．（1）会出现哪些可能的结果？（2）每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？21．（8分）（1）如图①，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为边的圆内接等腰三角形（保留作图痕迹，不写画法）．（2）如图②，若圆O的直径为6，AB＝3，求图中阴影部分的面积．22．（10分）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表a，宽代表b，长方形的面积代表ab．大约于公元830年，阿尔•花拉子米（Al﹣Khuarizmi）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解．（1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解x2+4x﹣12＝0（x＞0），并形成以下操作步骤：第一步：将方程变形成x2+4x＝12；第二步：构造边长为x+2的正方形（如图2）；第三步：求得右下角正方形面积S的值是①；第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积．（x+2）2＝x+2x+2x+S，将x2+4x＝12代入，可得（x+2）2＝②．∵x＞0，∴x＝③．请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；（2）请参照上述方法解方程x2+5x﹣6＝0（x＞0）．23．（10分）如图，点A、B在⊙O上，∠BAO的角平分线交⊙O于点D，点C在OA的延长线上且∠CBA＝∠D．（1）求证：CB是⊙O的切线．（2）若DB∥OA，BD＝3时，求CB的长．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设抛物线上有一个动点P，当点P满足S△PAB＝8时，请直接写出此时点P的坐标．25．（14分）如图1，已知，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D在AB上且，点P，Q分别从点D，B出发沿线段DB，BC向终点B，C匀速移动，P，Q两点同时出发，同时到达终点．设BQ＝x，AP＝y．（1）求AD的值．（2）求y关于x的函数表达式．（3）如图2，过点P作PE⊥AC于点E，连结PQ，EQ．①当△PEQ为等腰三角形时，求x的值．②过D作DF⊥BC于点F，作点F关于EQ的对称点F'，当点F'落在△PQB的内部（不包括边界）时，则x的取值范围为．

福建省福州市2024-2025学年九年级上学期一检数学模拟试卷答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）下列图形中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【考点】中心对称图形．【答案】C【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转180°，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）逐项判断即可得．【解答】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，故选：C．【点评】本题考查的是中心对称图形，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．2．（4分）下列事件中，是必然事件的是（）A．一名运动员跳高的最好成绩是20.1米 B．通常加热到100℃时，水沸腾 C．一人买一张火车票，座位刚好靠窗口 D．购买一张彩票，中奖【考点】随机事件．【答案】B【分析】根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点判断即可．【解答】解：A．一名运动员跳高的最好成绩是20.1米，这是不可能事件，故A不符合题意；B．通常加热到100℃时，水沸腾，这是必然事件，故B符合题意；C．一人买一张火车票，座位刚好靠窗口，这是随机事件，故C不符合题意；D．购买一张彩票，中奖，这是随机事件，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了随机事件，熟练掌握随机事件，必然事件，不可能事件的特点是解题的关键．3．（4分）已知⊙O的半径为6，在⊙O外取一点P，连接OP，则OP的长可以是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】点与圆的位置关系．【答案】D【分析】由⊙O的半径及点P在⊙O外，可得出OP的长大于6，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵⊙O的半径为6，点P在⊙O外，∴OP的长大于6．故选：D．【点评】本题考查了点与圆的位置关系，牢记“①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r”是解题的关键．4．（4分）将y＝2x2先向上平移2个单位，再向左平移3个单位，则所得解析式是（）A．y＝2（x+2）2﹣3 B．y＝2（x+3）2+2 C．y＝2（x﹣2）2+3 D．y＝2（x﹣3）2+2【考点】二次函数图象与几何变换．【答案】B【分析】根据平移规律分析即可．【解答】解：根据题意得，平移后的解析式为：y＝2（x+3）2+2．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求解更简便．5．（4分）如果一个一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，那么这个方程可以是（）A．x2+9＝0 B．x2+6x+9＝0 C．x2＝9 D．x2﹣6x+9＝0【考点】解一元二次方程﹣直接开平方法；一元二次方程的解．【答案】B【分析】根据一元二次方程的解的定义解答即可．【解答】解：∵一元二次方程的根是x1＝x2＝﹣3，∴这个方程是（x+3）2＝0，即x2+6x+9＝0，故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程的解、直接开平方法解一元二次方程，掌握方程的解的定义是解题的关键．6．（4分）一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意可列方程为（）A．x+x（x+1）＝121 B．1+x+x（x+1）＝121 C．x+x2＝121 D．1+x+x2＝121【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【答案】B【分析】由每轮传染中平均一个人传染了x个人，可得出第一轮传染中有x人被传染，第二轮传染中有x（1+x）人被传染，根据经过两轮传染后共有121人患了流感，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：∵每轮传染中平均一个人传染了x个人，∴第一轮传染有x人被传染，第二轮传染有x（1+x）人被传染，依题意得：1+x+x（1+x）＝121．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．7．（4分）若反比例函数y＝的图象过点（a，a﹣2+），则下列说法正确的是（）A．该函数图象位于二、四象限 B．x＝﹣1时，y＜0 C．y随x的增大而增大 D．当a＝1时，k有最小值0【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【答案】B【分析】由题意知，可求k的取值范围，进而可判断反比例函数的图象、性质．【解答】解：由题意知，∴k＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2，∵k≠0，∴k＞0，∴反比例函数图象位于一、三象限，故A错误，不符合题意；当x＝﹣1时，y＝﹣k＜0，故B正确，符合题意；在第一和第三象限中，y随着x的增大而减小，故C错误，不符合题意；a＝1无最小值，k＝a2﹣2a+1＝（a﹣1）2＝0，与k≠0矛盾，故D错误，不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质．解题的关键在于确定k的取值范围．8．（4分）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，若∠D＝70°，则∠B的度数为（）A．100° B．110° C．70° D．109°【考点】圆内接四边形的性质；圆周角定理．【答案】B【分析】根据圆内接四边形的对角互补计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠D＝180°，∵∠D＝70°，∴∠B＝180°﹣70°＝110°，故选：B．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．9．（4分）如图，在△ABC中，DE∥BC，连接CD，若，下列结论中，错误的是（）A． B． C． D．【考点】相似三角形的判定与性质．【答案】C【分析】易证明△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质即可判断A、B选项；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，根据平行线的性质可得，以此即可判断C选项；根据平行线的性质可得h1＝h2，以此即可判断D选项．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∵，∴，∴＝，，故A、B选项正确，不符合题意；设点A到DE的距离为h，点D到BC的距离为h1，点C到DE的距离为h2，∵DE∥BC，，∴，∴，故C选项错误，符合题意；∵DE∥BC，∴h1＝h2，∴，故D选项正确，不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查相似三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握平行线分线段成比例时解题关键．10．（4分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，函数图象经过点（2，0），x＝﹣1是对称轴，有下列结论：①2a﹣b＝0；②4a﹣2b+c＞0；③a+b+c＞0；④a﹣b+c＝﹣9a．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征．【答案】D【分析】利用对称轴方程得到b＝2a，则可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），则当x＝﹣2时，y＞0，则可对②进行判断；利用x＝1，y＞0则可对③进行判断；利用x＝2，y＝0得到c＝﹣8a，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，所以①正确；∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，抛物线与x轴的一个交点坐标为（2，0），∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣4，0），∴当x＝﹣2时，y＞0，即4a﹣2b+c＞0，所以②正确；由图形可知，当x＝1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以③正确；∵x＝2，y＝0，∴4a+2b+c＝0，把b＝2a代入得4a+4a+c＝0，解得c＝﹣8a，∴a﹣b+c＝a﹣2a﹣8a＝﹣9a，所以④正确．故选：D．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）11．（4分）在平面直角坐标系中，点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），则ab的值为﹣12．【考点】关于原点对称的点的坐标．【答案】见试题解答内容【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而代入得出答案．【解答】解：∵点（a+2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b），∴a+2＝﹣4，﹣b＝﹣2，解得：a＝﹣6，b＝2，则ab的值为：﹣6×2＝﹣12．故答案为：﹣12．【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．12．（4分）关于x的方程x2+x﹣k2﹣1＝0的根的情况是有两个不相等的实数根．【考点】根的判别式；非负数的性质：偶次方．【答案】有两个不相等的实数根．【分析】根据方程的系数及根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝4k2+5，由偶次方的非负性可得出k2≥0，进而可得出4k2+5＞0，即Δ＞0，再由“当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根”，即可得出关于x的方程x2+x﹣k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．【解答】解：∵a＝1，b＝1，c＝﹣k2﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣k2﹣1）＝4k2+5．∵k2≥0，∴4k2+5＞0，即Δ＞0，∴关于x的方程x2+x﹣k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．故答案为：有两个不相等的实数根．【点评】本题考查了根的判别式以及偶次方的非负性，利用偶次方的非负性，找出Δ＝4k2+5＞0是解题的关键．13．（4分）用240厘米的铁丝做一个长方体框架长、宽、高的比为3：2：1．这个长方体框架的体积为6立方分米．【考点】认识立体图形；比的应用．【答案】6．【分析】首先求得一条长、宽、高的比，求出长、宽、高的总份数，再求得长、宽、高所占总数的几分之几，最后求得长方体的长、宽、高分别是多少，列式解答即可．【解答】解：3+2+1＝6（份），240÷4＝60（厘米），（厘米），（厘米），（厘米），30×20×10＝6000（立方厘米），6000立方厘米＝6立方分米．即这个长方体框架的体积为6立方分米．故答案为：6．【点评】本题主要考查了比的运算，长方体体积的计算，解题的关键是首先求得一条长、宽、高的比，求出长、宽、高的总份数，14．（4分）如图为二次函数y＝﹣x2的图象，请在同一坐标系中画出二次函数y＝﹣（x+3）2+4的图象．x…﹣4﹣2024…y＝﹣x2…﹣8﹣20﹣2﹣8…x…﹣7﹣5﹣3﹣11…y＝﹣（x+3）2+4……二次函数y＝﹣（x+3）2+4的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣3；顶点坐标为（﹣3，4）；当x＝﹣3时，y有最大值为4．【考点】二次函数的性质；二次函数的最值．【答案】向下，直线x＝﹣3，（﹣3，4），大，4．【分析】利用描点法画出二次函数y＝﹣（x+3）2+4的图象，然后根据二次函数的性质写出二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标和最值．【解答】解：如图，二次函数y＝﹣（x+3）2+4的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣3；顶点坐标为（﹣3，4）；当x＝﹣3时，y有最答值为4．故答案为：向下，直线x＝﹣3，（﹣3，4），大，4．【点评】本题考查了二次函数的性质：二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴为直线x＝﹣，a确定开口方向，a＞0，抛物线开口向上，在对称轴左侧y随x的增大而减小，在对称轴右侧y随x的增大而增大．15．（4分）在一个不透明的口袋中装有3个红球和若干个白球，它们除颜色外完全相同．多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2附近，则估计口袋中白球大约有12个．【考点】利用频率估计概率．【答案】12．【分析】由摸到红球的频率稳定在0.2附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【解答】解：设白球个数为x个，∵摸到红色球的频率稳定在0.2左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.2＝，∴＝，解得：x＝12，即白球的个数为12个，故答案为：12．【点评】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．16．（4分）如图，在⊙O中，点C是劣弧AB的中点，点P在劣弧AC上，且∠APB＝120°，CH⊥BP于H，当AP＝CH，则＝．【考点】圆周角定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．【答案】．【分析】在PB上截取MB＝AP，连接CM，CB，CP，CA，BA，可以证明△APC≌△BMC（SAS），得到CP＝CM，由∠ACB＝∠APB＝120°，得到∠CAB＝∠CBA＝30°，由圆周角定理得到∠CPM＝∠CAB＝30°，因此MH＝PH＝CH＝AP，得到BH＝MH+MB＝（+1）AP，即可求解．【解答】解：在PB上截取MB＝AP，连接CM，CB，CP，CA，BA，∵C是的中点，∴AC＝BC，∵∠PAC＝∠MBC，∴△APC≌△BMC（SAS），∴CP＝CM，∵CH⊥PM，∴PH＝MH，∵∠ACB＝∠APB＝120°，∴∠CAB＝∠CBA＝30°，∴∠CPM＝∠CAB＝30°，∴MH＝PH＝CH＝AP，∴BH＝MH+MB＝（+1）AP，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题考查圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，关键是通过作辅助线构造全等三角形．三．解答题（共9小题，满分86分）17．（8分）解方程：．【考点】解一元二次方程﹣公式法．【答案】见试题解答内容【分析】公式法解一元二次方程，首先把方程化成一般形式，正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2﹣4ac的值，当b2﹣4ac≥0时，代入公式求出方程的根；当b2﹣4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．【解答】解：∵a＝1，b＝，c＝﹣20，b2﹣4ac＝（）2﹣4×1×（﹣20）＝100＞0，∴x＝，x＝，解得x1＝﹣+5，x2＝﹣﹣5．【点评】主要考查了方程的解的意义和一元二次方程的解法．要会熟练运用公式法求得一元二次方程的解．18．（8分）在△ABC中，∠ABC＝90°．（1）如图1，直线l经过点B，过点A作AD⊥l于点D，过点C作CE⊥l于点E，求证：△ABD∽△BCE；（2）如图2，点D，E是l上的两点，连接AD，CE，∠ADB＝∠BEC＝45°，AD＝，CE＝4，BD＝3，求的值．【考点】相似三角形的判定与性质．【答案】（1）证明见解析；（2）．【分析】（1）根据垂线的定义，得出∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，再根据直角三角形两锐角互余，得出∠DAB+∠DBA＝90°，∠ECB+∠EBC＝90°，再根据角之间的数量关系，得出∠DBA+∠EBC＝90°，再根据等量代换，得出∠DAB＝∠EBC，∠ECB＝∠DBA，再根据相似三角形的判定，即可得出结论；（2）过点A作AH⊥DE于点H，过点C作CK⊥DE于点K，则∠AHD＝∠AHB＝90°，∠CKB＝∠CKE＝90°，根据等角对等边，得出AH＝DH，CK＝EK，再根据勾股定理，得出DH＝1，EK＝4，进而得出AH＝DH＝1，CK＝EK＝4，再根据线段之间的数量关系，得出BH＝2，再根据相似三角形的判定，得出△AHB∽△BKC，再根据相似三角形的性质，得出BK＝2，然后把相关数据代入，计算即可得出答案．【解答】（1）证明：∵AD⊥l，CE⊥l，∴∠ADB＝90°，∠BEC＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∠ECB+∠EBC＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBA+∠EBC＝90°，∴∠DAB＝∠EBC，∠ECB＝∠DBA，∴△ABD∽△BCE；（2）解：如图，过点A作AH⊥DE于点H，过点C作CK⊥DE于点K，则∠AHD＝∠AHB＝90°，∠CKB＝∠CKE＝90°，∵∠ADB＝∠BEC＝45°，∴∠DAH＝∠ECK＝45°，在Rt△ADH和Rt△CEK中，∴∠DAH＝∠ADB，∠ECK＝∠BEC，∴AH＝DH，CK＝EK，∵，，AD2＝AH2+DH2，CE2＝CK2+EK2，∴，，∵DH＞0，EK＞0，∴DH＝1，EK＝4，∴AH＝DH＝1，CK＝EK＝4，∵BD＝3，∴BH＝BD﹣DH＝3﹣1＝2，∵∠ABC＝90°，∴∠KBC+∠HBA＝90°，∵∠HBA+∠HAB＝90°，∴∠KBC＝∠HAB，∵∠AHB＝∠BKC＝90°，∴△AHB∽△BKC，∴，∴，∴．【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握直角三角形两锐角互余、相似三角形的判定与性质、等角对等边、勾股定理是解本题的关键．19．（8分）已知反比例函数．（1）补全表格，并在平面直角坐标系中用描点法画出该函数图象；x…﹣4﹣2﹣1124…y…24﹣4﹣1…（2）根据图象回答：当1＜x≤3时，y的取值范围是﹣4＜y≤﹣；（3）根据图象回答：当﹣1≤y＜3且y≠0时，x的取值范围是x＜﹣且x≥4．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的图象；反比例函数的性质．【答案】（1）见解析；（2）；（3）且x≥4．【分析】（1）根据函数解析式可以将表格补充完整，然后描点、连接作图象即可；（2）根据函数图象，写出y的取值范围即可；（3）根据函数图象，写出x的取值范围即可．【解答】解：（1）当x＝﹣4时，y＝1，当x＝2时，y＝﹣2，列表如下：x…﹣4﹣2﹣1124…y…124﹣4﹣2﹣1…描点、连线画出函数图象如图：（2）当x＝3时，，当1＜x≤3时，y的取值范围是；故答案为：（3）当y＝3时，，解得：，当﹣1≤y＜3且y≠0时，x的取值范围是且x≥4．故答案为：且x≥4【点评】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质以及反比例函数的作图方法是解本题的关键．20．（8分）一个不透明的袋中有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球．（1）会出现哪些可能的结果？（2）每个结果出现的可能性相同吗？猜猜它们的概率分别是多少？【考点】列表法与树状图法．【答案】（1）摸到1号球或2号球或3号球或4号球或5号球；（2）可能性相同，．【分析】（1）直接列举出所有可能的结果即可；（2）根据等可能事件的定义判断即可知每个结果出现的可能性相同；根据等可能事件的概率公式可得它们的概率．【解答】解：（1）搅匀后任意摸出一个球，可能的结果有5种：摸到1号球或2号球或3号球或4号球或5号球；（2）∵这些球除号码外都相同，搅匀后任意摸出一个球，∴每个结果出现的可能性相同，它们的概率都为：．【点评】本题考查概率的意义，等可能事件的概率公式，掌握相关概念和公式是解题的关键．21．（8分）（1）如图①，已知圆上两点A，B，用直尺和圆规求作以AB为边的圆内接等腰三角形（保留作图痕迹，不写画法）．（2）如图②，若圆O的直径为6，AB＝3，求图中阴影部分的面积．【考点】作图—复杂作图；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；垂径定理；三角形的外接圆与外心；扇形面积的计算．【答案】（1）见解答；（2）3π﹣．【分析】（1）作AB的垂直平分线交⊙O于点C、D，则△ABC和△ABD满足条件；（2）过O点作OH⊥AB于H点，连接OA、OB，如图2，根据垂径定理得到AH＝BH＝，再利用余弦的定义计算出∠OAH＝30°，则可计算出∠AOB＝120°，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB进行计算．【解答】解：（1）如图1，△ABC和ABD为所作；（2）过O点作OH⊥AB于H点，连接OA、OB，如图2，则AH＝BH＝，OA＝3，在Rt△OAH中，∵cos∠OAH＝＝＝，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝，∵OA＝OB，∴∠OBA＝∠OAB＝30°，∴∠AOB＝120°，∴图中阴影部分的面积＝S扇形AOB﹣S△AOB＝﹣×3×＝3π﹣．【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了等腰三角形的判定、垂径定理、扇形的面积公式．22．（10分）大约于公元前2000年，古巴比伦人用“长”，“宽”及“面积”来代表未知数及它们的乘积．如图1，长代表a，宽代表b，长方形的面积代表ab．大约于公元830年，阿尔•花拉子米（Al﹣Khuarizmi）在《代数学》中介绍了用几何学方式求方程的解．（1）某实践小组对《代数学》的内容进行研习后，也尝试用几何学方式解x2+4x﹣12＝0（x＞0），并形成以下操作步骤：第一步：将方程变形成x2+4x＝12；第二步：构造边长为x+2的正方形（如图2）；第三步：求得右下角正方形面积S的值是①4；第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积．（x+2）2＝x+2x+2x+S，将x2+4x＝12代入，可得（x+2）2＝②16．∵x＞0，∴x＝③2．请补全该实践小组求解过程中①②③所缺的内容；（2）请参照上述方法解方程x2+5x﹣6＝0（x＞0）．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；完全平方公式的几何背景；解一元二次方程﹣公式法．【答案】（1）4；16；2；（2）1．【分析】（1）根据将代数问题转化为几何图形问题的做法即可得出答案；（2）类比例题求解、画图、计算即可．【解答】解：（1）∵（x+2）2＝x2+2x+2x+S，∴S＝（x+2）2﹣x2﹣2x﹣2x＝x2﹣4x+4﹣x2﹣2x﹣2x＝4，∴（x+2）2＝12+4＝16，∵x＞0，∴x+2＝±4，∴x＝﹣2±4，∵x＞0，∴x＝﹣2+4＝2．故答案为：4；16；2；（2）第一步：将方程变形成x2+5x＝6，第二步：构造边长为x+2.5的正方形（如图），第三步：求得右下角正方形面积S的值是6.25，第四步：用两种方法表示图中大正方形的面积（x+2.5）2＝x2+2.5x+2.5x+S，将x2+5x＝6代入，可得（x+2.5）2＝6.25+6＝12.25∵x＞0，∴x＝1．【点评】本题主要考查解一元二次方程，解题的关键是掌握将解一元二次方程的问题转化为几何图形问题求解的方法．23．（10分）如图，点A、B在⊙O上，∠BAO的角平分线交⊙O于点D，点C在OA的延长线上且∠CBA＝∠D．（1）求证：CB是⊙O的切线．（2）若DB∥OA，BD＝3时，求CB的长．【考点】切线的判定与性质；圆周角定理．【答案】（1）详见解答；（2）3．【分析】（1）根据圆周角定理，等腰三角形的性质看得出∠OBA+∠ABC＝∠OBA+∠OBE＝90°，即BO⊥BC，进而得出结论；（2）利用角平分线的定义，平行线的性质以及圆周角定理可得出△AOB是正三角形，再根据直角三角形的边角关系求出答案．【解答】（1）证明：如图，延长AO交⊙O于点E，连接OB，BE，∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE＝90°，即∠OBE+∠OBA＝90°，又∵OB＝OE，∴∠E＝∠OBE，∵∠D＝∠ABC，∠D＝∠E，∴∠OBA+∠ABC＝∠OBA+∠OBE＝90°，即BO⊥BC，又∵OB是半径，∴BC是⊙O的切线；（2）解：∵AD是∠BAO的平分线，∴∠OAD＝∠BAD，∵∠AOB＝2∠E＝2∠D＝2∠ABC＝∠OAB，OA＝OB，∴△AOB是正三角形，∴∠AOB＝60°，∵∠OAD＝∠BAD＝∠D，∴BD＝AB＝OB＝3，∴BC＝OB•tan∠AOB＝3×＝3．【点评】本题考查切线的判定，圆周角定理、直角三角形的边角关系，等腰三角形的性质和判定，掌握切线的判定方法，理解圆周角定理、直角三角形的边角关系，等腰三角形的性质和判定是正确解答的前提．24．（12分）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设抛物线上有一个动点P，当点P满足S△PAB＝8时，请直接写出此时点P