浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷

浙江省宁波市2024－2025学年高三下学期高考模拟考试数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(共8题；共0分)1．（0分）（2025·宁波模拟）已知集合，则（）A． B． C． D．2．（0分）（2025·宁波模拟）下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递减的是（）A． B． C． D．3．（0分）（2025·宁波模拟）已知向量，满足，，则（）A．3 B．4 C．6 D．74．（0分）（2025·宁波模拟）设，则（）A．0 B． C．1 D．5．（0分）（2025·宁波模拟）已知数列中，，记为的前项和，，则的值为（）A．2023 B．2024 C．2025 D．20266．（0分）（2025·宁波模拟）已知点，到同一直线的距离分别为2，3，若这样的直线恰有2条，则的取值范围为（）A． B． C． D．7．（0分）（2025·宁波模拟）一个长方体墨水瓶的长、宽、高分别为10cm、8cm、15cm，内部装有400毫升墨水.将墨水瓶倾斜，使其一条长边（10cm）置于水平地面，高边（15cm）所在直线与水平地面成45度角，则此时墨水与墨水瓶接触部分的面积为（）A．180 B．220 C．260 D．3008．（0分）（2025·宁波模拟）已知函数，其中，5为的极小值点.若在内有最大值，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.(共3题；共0分)9．（0分）（2025·宁波模拟）下面说法正确的是（）A．若数据，，…，的方差为8，则数据，，…，的方差为4B．若是等差数列，则这些数的中位数与平均数相等C．已知是随机变量，则D．若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的值越接近于110．（0分）（2025·宁波模拟）国家知识产权局信息显示，华为技术有限公司申请一项名为“三进制逻辑门电路、计算电路、芯片及其电子设备”的专利，该项专利可以实现大幅度减少二进制逻辑电路的晶体管数量，降低电路的功耗，提高计算效率.该专利蕴含的数学背景是一种以3为基数，以，，为基本数码的计数体系（对称三进制）：三进制数对应的十进制数为，其中，，为了记号的方便，我们用表示数码，比如，，.下面选项正确的是（）A．B．C．若，，，则D．存在唯一的，使得成立11．（0分）（2025·宁波模拟）如图，在平行六面体中，，，，，，为中点，在线段上（包含端点），则下列说法正确的是（）A．存在点，使得平面B．存在点，使得平面平面C．不存在点，使得D．不存在点，使得四棱锥有内切球三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.(共3题；共0分)12．（0分）（2020·日照模拟）展开式中的常数项为．13．（0分）（2025·宁波模拟）在中，，，则.14．（0分）（2025·宁波模拟）关于的方程（且）有唯一实数解，其中为自然对数的底数，则实数的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(共5题；共0分)15．（0分）（2025·宁波模拟）如图，在直三棱柱中，，，.是的中点，是与的交点.（1）（0分）若是的中点，证明：平面；（2）（0分）求与平面所成角的正弦值.16．（0分）（2025·宁波模拟）在1，2，3，…，7这7个自然数中，任取3个数.（1）（0分）求这3个数中恰有1个是偶数的概率；（2）（0分）设为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时的值是2）.求随机变量的分布列及其数学期望.17．（0分）（2025·宁波模拟）已知函数.（1）（0分）当时，讨论的单调性；（2）（0分）当时，恒成立，求的取值范围；（3）（0分）求证：当时，.18．（0分）（2025·宁波模拟）已知椭圆，点到椭圆上点的距离的最大值为.（1）（0分）求椭圆的方程；（2）（0分）若过定点的直线交椭圆于点，，设点，直线与直线交于直线上一点，求直线的方程.19．（0分）（2025·宁波模拟）设维向量，，定义运算：.（1）（0分）当时，若且，，试比较与的大小；（2）（0分）已知，记且和均为的某一排列}.（ⅰ）求，；（ⅱ）若，求.（提示：.）

答案解析部分1．【答案】A【知识点】补集及其运算；一元二次不等式及其解法【解析】【解答】解：不等式，解得或，

即集合或，则.故答案为：A.【分析】解一元二次不等式求得集合A，再利用集合的补集运算求解即可.2．【答案】B【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的单调性【解析】【解答】解：A、函数的最小正周期为，故A不符合；B、函数的最小正周期为，且在区间上单调递减，故B符合；

C、函数的最小正周期为，且在上单调递增，故C不符合；

D、函数的最小正周期为，故D不符合.故答案为：B.【分析】根据三角函数的性质逐项判断函数的最小正周期、区间单调性判断即可.3．【答案】D【知识点】平面向量的数量积运算【解析】【解答】解：，，则，则.故答案为：D.

【分析】由题意，利用向量数量积的运算求得，再求即可.4．【答案】C【知识点】复数代数形式的混合运算；复数的模【解析】【解答】解：，则.故答案为：C.【分析】根据复数代数形式的除法、减法运算法则，化简复数为，再求即可.5．【答案】B【知识点】数列的前n项和【解析】【解答】解：数列中，为的前项和，满足①，

当时，②，①-②可得，即，即，因为，所以.故答案为：B.【分析】利用与的关系，推得，结合累乘法求的值即可.6．【答案】B【知识点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】【解答】解：易知以为圆心，2为半径的圆为；以为圆心，3为半径的圆为，由题意可知：两圆相交，因为，所以，

则，整理可得，即，解得，

则的取值范围为.故答案为：B.【分析】由题意可知：以，为圆心的圆分别为、，问题转化为两圆相交求参数范围即可.7．【答案】C【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；柱体的体积公式及应用【解析】【解答】解：若截面为等腰直角三角形，腰长为，如图所示：则，可得，不符题意；若截面为直角梯形，上底长为，如图所示：则，得，符合题意，此时墨水与墨水瓶接触部分的面积.故答案为：C.【分析】分情况讨论截面的形状，由题意结合棱柱的体积公式求截面相关边长，再求墨水与墨水瓶接触部分的面积即可.8．【答案】D【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：函数定义域为，，因为，所以，令，解得，函数单调递增，令，解得，函数单调递减，则极小值点为，极大值点为，，且，所以只需，即，则，即的取值范围为.故答案为：D.【分析】求函数的定义域，再求导得，结合研究的区间单调性，确定极值点，再由区间存在最大值得，求范围即可.9．【答案】B,C【知识点】等差数列的性质；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；样本相关系数r及其数字特征【解析】【解答】解：A、数据，，…，的方差为8，根据方差的性质可知：数据，，…，的方差为，故A错误；B、数列为等差数列，若正整数，则，若正整数，则，等差数列的平均数为，结合中位数定义及等差数列的性质，易知中位数为，故B正确；C、随机变量的方差，且，则，

故C正确；D、若两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数的绝对值越接近于1，故D错误.故答案为：BC.【分析】利用方差的性质即可判断A；根据等差数列的性质及中位数定义即可判断B；根据即可判断C；由相关系数的实际意义即可判断D.10．【答案】A,C,D【知识点】进位制【解析】【解答】解：A、，故A正确；B、，，，故B错误；C、，因为，若全取1时，，若全取时，，由，则，故的绝对值小于，故C正确；D、，，，由，则，，要使，即，所以，则，且，则，此时，即有唯一解，故D正确.故答案为：ACD.【分析】根据新定义即可判断A、B；

由，结合确定的最值即可判断C；由，确定的对应值即可判断D.11．【答案】A,B,D【知识点】球内接多面体；直线与平面平行的判定；用空间向量研究平面与平面的位置关系【解析】【解答】A、连接交于点，

则分别为中点，当与重合时，有，即，因平面，平面，故平面，即平面，A正确；B、因，则，而，，则，由且都在平面内，故平面，如下图所示，

在平面内过作，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面一个法向量为，则，取，有，设且，，设平面的一个法向量为，则，取，有，若平面平面，则，可得，所以存在点，使得平面平面，B正确；C、同B分析，可得，若，所以，可得，所以，则，所以，可得，C错误；D、假设存在球与平面、平面、平面都相切，设且，如下左视图，

则，，，则，俯视图角度，球心在下底面投影为的内心，则，要使四棱锥有内切球，则在内有解，所以，整理得，所以，显然无解，D正确.故答案为：ABD.【分析】当与重合时，应用线面平行的判定定理判断A；构建空间直角坐标系，求出平面、平面的法向量，根据垂直关系求参数值判断B；同B分析，应用空间向量模长的坐标表示列方程求参数判断C；根据棱锥内切球在侧面上投影圆的半径相等列方程求参数判断D.12．【答案】15【知识点】二项式定理【解析】【解答】通项公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展开式中的常数项15．【分析】由已知利用通项公式解得r＝4，即可得出展开式中的常数项.13．【答案】9【知识点】两角和与差的余弦公式；同角三角函数间的基本关系；三角函数诱导公式二~六【解析】【解答】解：在中，①，②，

①-②可得：，则，即.故答案为：9.【分析】由题意，逆用两角和的余弦公式、三角形内角的性质整理得，即可求的值.14．【答案】或【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值【解析】【解答】解：令，显然，易知是方程的唯一解，，令，则，当，即，则，即函数在R上单调递增，满足题设；当时且，此时使得，时，，函数在上单调递减，时，，函数在上单调递增，且，时，，当时，，满足题设；当时，，则使，故方程有两个解，不满足；当时，，则使，故方程有两个解，不满足；综上，或.故答案为：或.【分析】由题意，构造函数，易知是方程的唯一解，应用分类讨论，利用导数研究的单调性、最值，结合研究方程根的个数求实数的范围即可.15．【答案】（1）证明：以坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示：则，，

设平面的法向量，则，令，则，

因为，且平面，所以平面；（2）解：由（1）得，设直线与平面所成角为，

则，

即与平面所成角的正弦值为.【知识点】用空间向量研究直线与平面的位置关系；用空间向量研究直线与平面所成的角【解析】【分析】（1）以坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得，即可证明平面；（2）由（1）中的坐标系，利用空间向量法求线面角的正弦值即可.（1）由题意，以原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，所以，所以，设平面的法向量，则，令，则，故，且平面，则平面；（2）由（1）得，若直线与平面所成角为，所以.16．【答案】（1）解：记事件为选取的3个数中恰有1个是偶数，

从7个自然数中任选三个数，有种取法；恰有一个偶数的情况有种，

则这3个数中恰有1个是偶数的概率；（2）解：由题意可知：随机变量的可能值为，

时，、、、、共有5种，

时，、、、、、、、、、共有10种，

时，有种，

则，，，

的分布列如下，012.【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；排列、组合的实际应用【解析】【分析】（1）利用组合数求任选三个、恰有一个偶数的选法数，再根据古典概型的概率公式求解即可；（2）由题意可得：随机变量的可能值为，求出对应概率写出分布列，再求期望即可.（1）从7个自然数中任选三个有种，恰有一个偶数的情况有种，所以这3个数中恰有1个是偶数的概率；（2）由题设，的可能值为，有、、、、共有5种，有、、、、、、、、、共有10种，有种，所以，，，的分布列如下，012.17．【答案】（1）解：当时，函数定义域为，

，令，解得或，

当时，，函数在上单调递增，

当时，，函数在上单调递减，

当时，，函数在上单调递增；（2）解：函数定义域为，，

令，则，

当时，恒成立，且，只需，即，

当时，，

所以在上单调递增，则，

所以在上单调递增，则，满足题设，综上，；（3）证明：由（2）取，在上，

令，，则，即，

则，则，得证.【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性【解析】【分析】（1）将代入，求定义域，再求导，利用导数研究函数的区间单调性即可；（2）应用导数探讨时，恒成立有，再判断所得范围的充分性，即可得；（3）根据（2）的结论，令，得，即可证.（1）由题设，则且，当，，即在上单调递增，当，，即在上单调递减，当，，即在上单调递增；（2）由题设，令，则，对时，恒成立，且，只需，即，另一方面，时，，所以在上单调递增，则，所以在上单调递增，则，满足题设，综上，；（3）由（2）取，在上，令，，则，即，所以，则，得证.18．【答案】（1）解：设点为椭圆上一点，满足，

点，则，

设，，

因为，所以对应的抛物线开口向下，对称轴为，

所以，解得，

则椭圆的方程为；（2）解：由题意，设直线，，由对称性，不妨设，此时，直线和的斜率分别为，

联立方程组，整理得，

则，解得，

由韦达定理可得：，

又由直线和，

联立方程组，整理得，

因为直线与直线交于直线上一点，

所以，化简得，即，

化简得，即，

由求根公式可得：，

代入得，

整理可得，即，解得，即，

当时，直线方程为，

由对称性知，当时，也满足题意，此时直线方程为，

综上可得，直线方程为或.【知识点】平面内两点间的距离公式；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】（1）设点为椭圆上一点，根据两点间距离公式可得：，设，

利用二次函数的性质，求得，求得，即可得到椭圆的方程；（2）由题意，设直线，直线和的斜率分别为，联立方程组，得到且，再由和，联立方程得到，根据直线与直线的交点在上，得到，化简得到，利用求根公式，求得，代入化简，求得，进而得到直线方程.​​​​​​​（1）解：设椭圆上的点满足椭圆的方程，则，可得，设，其中，由，可得对应的抛物线开口向下，对称轴为，所以，解得或（舍去），所以椭圆的方程为.（2）解：设直线，且，由对称性，不妨设，此时，直线和的斜率分别为，联立方程组，整理得，则，解得，且，又由直线和，联立方程组，整理得，因为直线与直线交于直线上一点，所以，化简得，即，化简得，所以，又由求根公式可得，代入得，整理得，平方得，解得，所以或（舍去），当时，直线方程为，由对称性知，当时，也满足题意，此时直线方程为，综上可得，直线方程为或.19．【答案】（1）解：当时，向量，，，

则，

即；（2）解：（i）设，，其中为的排列，

则，

因为可能取值有，所以；

设，，其中为的排列，

当，，可能取值有，

则可能值为；

当，，可能取值有，

则可能值为；

当，，可能取值有，

则可能值为；

当，