第17讲三角形与全等三角形

第四章三角形第17讲三角形与全等三角形知识点一：三角形的概念及其性质关键点拨及对应举例1.概念同一平面内，不在同一直线上的三条线段首尾顺次相连组成的图形例：等腰三角形两边长分别是4和8，则该三角形的周长为

20

2.分类（1）按角分类：

（2）按边分类：

20

知识点一：三角形的概念及其性质关键点拨及对应举例3.性质（1）边：三角形任意两边之和

大于第三边.（2）角：三角形内角和为

180

°，外角和为

360

°.外角性质：①三角形的一个外角等于

不相邻的两个内角之和；②三角形的一个外角大于任意一个不相邻的内角.（3）整体：三角形具有稳定性常常利用三角形外角性质和三角形内角和定理列方程求角度.有时也会结合平行、折叠、等腰三角形性质求角度大于180

360

不相邻的知识点一：三角形的概念及其性质关键点拨及对应举例4.重要线段四线性质当同一个三角形出现两条高线时，注意运用面积法或勾股定理解决问题角平分线三角形的三条角平分线交于一点（内心），内心到

三边的距离相等中线将三角形面积分成相等的两部分高线锐角三角形的三条高线相交于三角形内部；直角三角形的三条高线相交于直角顶点；钝角三角形的三条高线相交于三角形的外部中位线平行于第三边，且等于第三边的

一半三边一半知识点一：三角形的概念及其性质5.三角形中内外角平分线的规律总结如图1所示，BO，CO分别是∠ABC，∠ACB的平分线，则有∠O＝

∠A＋90°

；如图2所示，BO，CO分别为∠ABC，∠ACD的平分线.则∠O＝

∠A

；如图3所示，BO，CO分别为∠CBD，∠BCE的平分线，则∠O＝

90°－

∠A

.

图1

图2

图3

关键点拨及对应举例注意：两条角平分线常用整体思想.对于解答选择、填空题，可以直接通过结论解题，加快解题速度知识点二：全等三角形的性质与判定关键点拨及对应举例6.全等三角形的性质（1）全等三角形对应边

相等，对应角

相等.（2）全等三角形对应边上的角平分线、中线、高线相等.（3）全等三角形的周长、面积相等注意：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边7.全等三角形的判定（1）一般三角形：SSS，SAS，ASA（AAS）.（2）直角三角形：HL注意：SSA，AAA不能判定两三角形全等相等相等知识点三：角平分线、垂直平分线的性质定理关键点拨及对应举例8.角平分线性质定理及逆定理角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的

距离相等.逆定理：在角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的角平分线上注意：角平分线＋互补模型有着广泛的运用9.线段垂直平分线性质定理及逆定理中垂线性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的

距离相等.逆定理：到线段两端距离相等的点，在这条线段的中垂线上距离距离

1.

如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框（形状不限），不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依次为3，4，5，7，且相邻两木条的夹角均可调整.若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任意两个螺丝间的距离的最大值为（

D

）A.6B.7C.8D.9第1题图D2.

工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC＝OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB的平分线.这里构造全等三角形的依据是（

D

）A.

SASB.

ASAC.

AASD.

SSS第2题图D3.

将正三角形、正四边形、正五边形按如图所示的位置摆放.如果∠3＝32°，那么∠1＋∠2＝

70

°.第3题图70

4.

某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中∠A＝

36

°.第4题图36

5.

如图，在△ABC中，D为边BC的中点，过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.

（1）求证：△BDE≌△CDA.

第5题图（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE