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微专题3与正方形有关的模型第二十一章四边形

图1

2.如图2，在正方形ABCD中，AB=6，动点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=45°，连接EF.若BE=3，求线段DF的长.图2解：如答图1，延长CB至点H，使BH=DF，连接AH.∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADF=∠BAD=90°，AD=AB.∴∠ABH=90°=∠ADF.∴△ADF≌△ABH（SAS）.∴∠DAF=∠BAH，AF=AH.∴∠BAH+∠BAF=∠DAF+∠BAF，即∠FAH=∠BAD=90°.∵∠EAF=45°，∴∠EAH=∠FAH-∠EAF=45°.∴∠EAF=∠EAH.∵AE=AE，∴△FAE≌△HAE（SAS）.∴EF=HE=BE+BH.∴EF=BE+DF.∵四边形ABCD是正方形，∴∠C=90°，BC=CD=AB=6.∵BE=3，∴CE=BC-BE=3.设DF=a，则CF=6-a，EF=BE+DF=3+a.在Rt△CEF中，由勾股定理，得CE2+CF2=EF2，即32+（6-a）2=（3+a）2.解得a=2.∴DF=2.3.（2025广州期末）如图3，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，Rt△EFG的两直角边EF，EG分别交BC，CD于点M，N.若正方形ABCD的边长为2，则重叠部分四边形EMCN的面积为

.

图3

4.如图4，G是正方形ABCD对角线CA延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H.（1）求证：△EAB≌△GAD；图4

图4解：如答图2，过点E作EH⊥BA，交BA的延长线于点H.由题意知AG=AE=3.∵∠GAH=∠CAB=45°，∴∠EAH=∠GAE-∠GAH

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