第2节代数式与整式

第2节代数式与整式一、代数式1．代数式：用_____________把数或表示数的字母连接而成的式子叫作代数式．特别地，单独一个数或字母也是代数式．2．代数式求值(1)直接代入法：给定字母的值，可直接将值代入代数式中求解．(2)整体代入法：当单个字母的值不能或不易求时，可把已知条件作为一个整体，代入到所求的代数式中，这种方法常要先对已知条件或者所求代数式进行变形，如找倍数关系、因式分解、配方等．基本运算符号积数字因数指数的和(2)多项式①概念：几个单项式的_________叫作多项式．如x＋2，3x2＋y＋1，2x＋3y．②项：一个多项式中的每一个单项式叫作多项式的项．③次数：多项式中，次数_________的次数叫作多项式的次数．和最高项2．同类项：所含字母相同，并且相同字母的_________也相同的项叫作同类项．3．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项．其法则是：几个同类项相加，把它们的系数相加，字母和字母的_________都不变．指数指数三、整式的运算1．幂的运算幂的运算性质符号表示文字表述性质1am·an＝_________(m，n为整数)同底数幂相乘，底数不变，指数相加am＋n幂的运算性质符号表示文字表述性质2(am)n＝_________

(m，n为整数)幂的乘方，底数不变，指数相乘性质3(ab)n＝_________(m，n为整数)积的乘方等于各因式乘方的积性质4am÷an＝am－n(a≠0，m，n为整数)同底数幂相除，底数不变，指数_________amnanbn相减2．整式的加减几个整式相加减，有括号的先去括号，然后再合并同类项．3．整式的乘法(1)单项式乘单项式：系数相乘，其他不相同的字母连同它的指数一起作为积的因数，相同字母的指数相加后再作为积的因数．如3xy·4x2z＝_________．12x3yz(2)单项式乘多项式：单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．如a(b＋c－d)＝___________．(3)多项式乘多项式：多项式中的项两两相乘，再把所得积相加．如(a＋b)(c＋d)＝___________________．(4)乘法公式①平方差公式：(a＋b)(a－b)＝___________．几何背景：ab＋ac－adac＋ad＋bc＋bda2－b2②完全平方公式：(a＋b)2＝____________；(a－b)2＝____________．几何背景：a2＋2ab＋b2a2－2ab＋b2四、因式分解1．因式分解：把一个多项式化成几个_________的积的形式，这种变形叫作因式分解．整式(2)公式法①平方差公式：a2－b2＝______________．②完全平方公式：a2±2ab＋b2＝___________．(3)十字相乘法：x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)．提示

(1)因式分解的结果一定是积的形式．(2)因式分解一定要分解到每个因式都不能再分解为止．(a＋b)(a－b)(a±b)24．因式分解的步骤(1)先看各项有无公因式，有公因式的先提取公因式．(2)提取公因式后看多项式的项数：①若多项式中只含有两项，则考虑用平方差公式分解；②若多项式中只含有三项，则考虑用完全平方公式分解；③若多项式中含有四项或四项以上，就考虑综合运用上面的方法．(3)若上述方法都不能分解，则考虑把多项式重新整理、变形，再按上面的步骤进行分解．(4)检查因式分解是否彻底，必须分解到每一个多项式都不能再分解为止．×√×××√3．式子n2－1与n2＋n的公因式是(

)A．n＋1 B．n2C．n D．n－1解析：因为n2－1＝(n＋1)·(n－1)；n2＋n＝n(n＋1)，所以式子n2－1与n2＋n的公因式是n＋1．√√5．(2025·西宁一模)因式分解：n2(x－y)＋y－x＝____________．解析：n2(x－y)＋y－x＝n2(x－y)－(x－y)＝(x－y)(n2－1)＝(x－y)(n－1)(n＋1)．答案：(x－y)(n－1)(n＋1)考点一代数式√√4．(2025·西宁一模)若a，b是方程x2＋2022x－2024＝0的两个实数根，则a2＋2023a＋b－ab的值为________．解析：因为a，b是方程x2＋2022x－2024＝0的两个实数根，所以a2＋2022a－2024＝0，a＋b＝－2022，ab＝－2024，所以a2＋2022a＝2024，所以a2＋2023a＋b－ab＝a2＋2022a＋a＋b－ab＝2024－2022－(－2024)＝2026．答案：2026运用整体代入法求代数式值的三种方法(1)直接整体代入求值：如果已知代数式与要求代数式之间都含有相同的式子，只要把已知代数式的值直接代入到要求的代数式中，即可得出结果．(2)把所求代数式变形后再将已知代数式的值代入求值：如果题目中所求代数式与已知代数式成倍数关系，或适当变形后含有已知代数式，就可以先把所求代数式变形，再把已知代数式的值代入变形后的要求的代数式中，计算得出结果．(3)把所求代数式和已知代数式都变形，再代入求值：将已知代数式和所求代数式同时变形，使它们含有相同的式子，再将变形后的已知代数式的值代入变形后的要求的代数式中，计算得出结果．考点二整式的有关概念及运算√√√4．单项式5mn2的次数是________．答案：35．(2025·西宁一模)若单项式3xm+1y与－x4y2+n是同类项，则nm的值是________．6．(2024·西宁)先化简，再求值：(3a－1)2－2a(4a－1)，其中a满足a2－4a＋3＝0．考点三因式分解√解析：A．因为(x＋3y)(x－3y)＝x2－9y2，所以A错误；B．因为x3－2xy＋xy2＝x(x2－2y＋y2)，所以B错误；C．因为x2－2xy－8y2＝(x＋2y)(x－4y)，所以C错误；D．xy2－6xy＋9x＝x(y－3)2，所以D正确．2．(2024·陕西)分解因式：a2－ab＝______________________________．答案：a(a－b)3．(2025·周口三模)对于任意整数m，多项式(4m＋5)2－9都能被________整除．(填符合题意的最大整数)解析：(4m＋5)2－9＝(4m＋5－3)(4m＋5＋3)＝(4m＋2)(4m＋8)＝8(m＋2)(2m＋1)．因为对任意整数m，8(m＋2)·(2m＋1)都能被8整除，所以多项式(4m＋5)2－9都能被8整除．答案：8考点四规律探究

[解析]

数字的序号为n，其值为y，由已知得n＝1，y＝3；n＝2，y＝8；n＝3，y＝13；n＝4，y＝18；…仔细观察发现，序号每增加1，y值就增加5，与第1个数相比，第n个数应增加5(n－1)，所以第n个数应为5(n－1)＋3，即y＝5n－2，当n＝2006时，y＝5×2006－2＝10028．[答案]

5n－2

10028[练习1]按一定规律排列的单项式：－a，4a2，－9a3，16a4，－25a5，…，则第n个单项式为(

)A．(－n)2an B．(－1)n2nanC．(－1)nn2an D．(－1)n+1n2an+1解析：第n个单项式为(－1)nn2an．√①

②

③

④[练习]

(2025·西宁一模)如图是由圆圈摆成的图案，按此规律摆放，第n个图案中圆圈的个数是________．(1)

(2)

(3)

(4)解析：观察题中图案的变化可知：第1个图案中圆圈的个数为3×0＋2＝2；第2个图案中圆圈的个数为3×1＋2＝5；第3个图案中圆圈的个数为3×2＋2＝8；第4个图案中圆圈的个数为3×3＋2＝11；……观察发现规律，第n个图案中圆圈的个数为3(n－1)＋2＝3n－1．答案：3n－1第二步：数图形个数：对应的图形个数用a1，a2，a3，…，an表示；第三步：观察：a1，a2，a3，…，an与序数n之间的关系：①图形个数与图序数是倍数或平方关系；②图形个数与图序数关系不明确时，按照以下步骤找寻关系：步骤一：列表表示an－an－1的值；步骤二：将所列等式左右相加，得到(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝an－a1的值；步骤三：表示an；第四步：验证：代入序号检验所得式子是否正确．1．(2025·菏泽模拟)如图，依次输入数x，y，经过“数值转换机”后会输出新数．若依次输入数a，b，输出的新数是0；若依次输入数b，a，输出的新数是－3，则a，b的值分别为(

)新情境、跨学科融合A．2，1 B．1，2C．2，3 D．3，2√2．(2024·重庆)烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物质，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原子，白球代表氢原子．第1种如图①有4个氢原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图③有8个氢原子，……按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(

)A．20B．22C．24 D．26√√√3．(2024·西宁二模)下列运算正确的是(

)A．a4÷a4＝0 B．(－2a2)3＝－6a6C．a2a3＝a6 D．4a2－a2＝3a2解析：A，a4÷a4＝1，故本选项运算错误；B，(－2a2)3＝－8a6，故本选项运算错误；C，a2a3＝a5，故本选项运算错误；D，4a2－a2＝3a2，故本选项运算正确．√√√6．若a2－1＝b，则代数式－2a2－2＋2b的值为(

)A．4 B．0C．－4 D．－2解析：因为a2－1＝b，所以a2－b＝1，所以－2a2－2＋2b＝－2(a2－b)－2＝－2×1－2＝－2－2＝－4．故选C．√7．(2024·河南)请写出2m的一个同类项：________．答案：m(答案不唯一)8．(人教七上例题改编)端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市以每盒x元购进一批肉粽，按进价增加20%作为售价，则肉粽的售价为________元．(用含x的代数式表示)答案：1．2x9．(2024·常州)分解因式：x2－4xy＋4y2＝________．解析：x2－4xy＋4y2符合完全平方公式a2－2ab＋b2＝(a－b)2的形式，因此可分解为(x－2y)2．答案：(x－2y)210．(2024·西宁二模)先化简，再求值：(x－2y)2＋2(x－y)(x＋y)－3x(x－2y)，其中x＝2，y＝－1．解：原式＝x2－4xy＋4y2＋2x2－2y2－3x2＋6xy＝2xy＋2y2，当x＝2，y＝－1时，原式＝2×2×(－1)＋2×(－1)2＝－4＋2＝－2．√12．(2025·邯郸二模)已知矩形的两条邻边分别为2m，2m＋2，如果m为整数，则关于矩形的面积S，下列说法正确的是(

)A．S可能是24 B．S可能是15C．S可能是12 D．S可能是6解析：由题意得S＝2m(2m＋2)＝4m(m＋1)，因为m为整数，所以m，m＋1中一定有一个数为偶数，所以S是8的倍数，所以S可能是24．√14．(2024·宁夏)观察下列等式：第1个：1×2－2＝22×0；第2个：4×3－3＝32×1；第3个：9×4－4＝42×2；第4个：16×5－5＝52×3；…按照以上规律，第n个等式为______________________．答案：n2(n＋1)－(n＋1)＝(n＋1)2·(n－1)15．用火柴棒按图中的方式搭图形．图形标号12345火柴棒的根数5913ab请解决下列问题：(1)a＝________；b＝________；解：根据规律后一个比前一个多4得，a＝17，b＝21，故答案为：17，21．(2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为________(用含n的代数式表示)；解：第1个图形火柴棒有5根；第2个图形火柴棒有(5＋4)根；第3个图形火柴棒有(5＋4×2)根；第4个图形火柴棒有(5＋4×3)根；第5个图形火柴棒有(5＋4×4)根；……第n个图形火柴棒有[5＋4(n－1)]＝(4n＋1)根．故答案为：4n＋1．(3)按照这种方式搭下去，求搭第2025个图形需要的火柴棒根数．解：由(2)得，4×2025＋1＝8101，所以搭第2025个图形需要的火柴棒根数为8101．16．已知A＝(x－1)(x2＋x－3)，B＝(2x＋1)(2x－1)－(x－1)2．(1)化简