提分微课(2)二次函数对称性和增减性的应用

二次函数对称性和增减性的应用提分微课(一)典/例/精/析已知二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值1,则a,b的大小关系为(

)A.a>b B.a<b C.a=b D.不能确定例[解析]∵二次函数y=a(x+1)2-b(a≠0)有最小值,∴该二次函数图象开口向上,即a>0.又∵最小值为1,即-b=1,∴b=-1,∴a>b.A变式探究1

对称轴确定,取值范围确定(1)已知0≤x≤0.5,那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是 (

)A.-10.5 B.2 C.-2.5 D.-6[解析]∵y=-2x2+8x-6=-2(x-2)2+2,∴该二次函数图象开口向下,对称轴是直线x=2,∴当x<2时,y随x的增大而增大.又∵0≤x≤0.5,∴当x=0.5时,y取最大值,y最大=-2×(0.5-2)2+2=-2.5.C(2)已知二次函数y=ax2+4ax+3a(a>0),若-3≤x≤1,则函数y的最大值为

(用含a的代数式表示).

[解析]

易知抛物线y=ax2+4ax+3a的对称轴为直线x=-2.∵a>0,∴抛物线开口向上.∵(-2)-(-3)<1-(-2),∴若-3≤x≤1,则当x=1时,y有最大值8a.8a

D变式探究3

对称轴确定,取值范围不确定(1)已知y=-x2+4x-3,当-1≤x≤m时,此函数的最小值为-8,最大值为1,则m的取值范围是 (

)A.0≤m<2 B.0≤m≤5 C.m>5 D.2≤m≤5[解析]∵y=-x2+4x-3=-(x-2)2+1,∴该函数图象开口向下,对称轴是直线x=2,顶点坐标为(2,1),∴当x=-1时,y=-8,且x=-1和x=5对应的函数值相等.∵当-1≤x≤m时,此函数的最小值为-8,最大值为1,∴2≤m≤5.D(2)若当t-1≤x≤t时,二次函数y=-x2+4x-4的最大值为-1,则t的值为

.

[解析]∵y=-x2+4x-4=-(x-2)2,∴函数图象的顶点坐标为(2,0),对称轴为直线x=2.①当t<2时,∵a=-1<0,∴图象开口向下,∴当t-1≤x≤t时,y随x的增大而增大,∴当x=t时,y取得最大值-1,即-(t-2)2=-1,解得t1=1,t2=3(舍去);②当t-1>2,即t>3时,∵a=-1<0,∴图象开口向下,∴当t-1≤x≤t时,y随x的增大而减小,∴当x=t-1时,y取得最大值-1,即-(t-1-2)2=-1,解得t3=4,t4=2(舍去).综上所述,t的值为1或4.1或4(3)(2025龙泉一模)已知二次函数y=ax2-2ax+4,其中a≠0.①求该二次函数图象的对称轴;②无论a取任意非零实数,该二次函数图象都经过A(x1,y1),B(x2,y2)两个定点,其中x1<x2,求x1+2x2的值;③若a=1,当t-1≤x≤t时,该二次函数的最大值与最小值的差为2,求t的值.解:①∵y=ax2-2ax+4=a(x-1)2+4-a,∴该函数图象的对称轴是直线x=1.(3)(2025龙泉一模)已知二次函数y=ax2-2ax+4,其中a≠0.②无论a取任意非零实数,该二次函数图象都经过A(x1,y1),B(x2,y2)两个定点,其中x1<x2,求x1+2x2的值;②y=ax2-2ax+4=a(x2-2x)+4.∵无论a取任意非零实数,该二次函数图象都经过A(x1,y1),B(x2,y2)两个定点,∴x2-2x=0,解得x=0或x=2.又∵x1<x2,∴x1=0,x2=2.∴x1+2x2=0+2×2=4.(3)(2025龙泉一模)已知二次函数y=ax2-2ax+4,其中a≠0.③若a=1,当t-1≤x≤t时,该二次函数的最大值与最小值的差为2,求t的值.

[通性通法]二次函数y=ax2+bx+c(a>0)在m≤x≤n上的最值:1.结合图象确定最值:设图象的对称轴为x=h.(1)如图①,若n<h,则当x=m时,y取得最大值;当x=n时,y取得最小值.(2)如图②,若m>h,则当x=m时,y取得最小值;当x=n时,y取得最大值.(3)如图③,若m≤h≤n,n-h>h-m,则当x=h时,y取得最小值;当x=n时,y取得最大值.2.借助对称性确定最值:(1)先确定a的符号,再通过与对称轴的距离确定函数的最值:①当a>0时,越靠近对称轴,函数值越小;②当a<0时,越靠近对称轴,函数值越大.(2)当a的符号不确定时,进行分类讨论.1.二次函数y=2(x+1)2+3的最小值是 (

)A.-1 B.1 C.2 D.32.设M=-x2+4x-4,则 (

)A.M<0 B.M>0C.M≤0 D.M≥0D巩/固/训/练C

C4.已知二次函数y=2x2-4x-1,在0≤x≤a时,y的最大值为15,则a的值为 (

)A.1 B.2 C.3 D.4[解析]易知抛物线的对称轴为直线x=1,顶点坐标为(1,-3),开口向上,当x=0时,y=-1,∴在直线x=1的右侧,y随x的增大而增大.∴当x=a时,y=15,即2a2-4a-1=15,解得a1=4,a2=-2(舍去).故a的值为4.D5.若二次函数y=-x2+6x-5在x的一定取值范围内,最大值为4,最小值为-5,则满足条件的x的取值范围可以是 (

)A.x≥0 B.0≤x<3C.1≤x≤6 D.x≤6[解析]∵y=-x2+6x-5=-(x-3)2+4,∴抛物线开口向下,对称轴为直线x=3,当x=3时,函数取得最大值4.把y=-5代入y=-x2+6x-5,得-5=-x2+6x-5,解得x1=0,x2=6.结合函数图象可知,选项C符合题意.C6.已知二次函数y=x2-2x+2,当0≤x≤t时,函数的最大值为M,最小值为N.若M=5N,则t的值为 (

)A.0.5 B.1.5 C.3 D.4

C7.当函数y=-(x-2)(x-3)取得最大值时,x=

.

8.已知二次函数y=x2-2x+k,当-3≤x≤2时,y的最大值为9,则k的值为

.

[解析]∵y=x2-2x+k=x2-2x+1+k-1=(x-1)2+k-1,∴抛物线开口向上,对称轴是直线x=1.又∵-3≤x≤2,∴当x=-3时,y取得最大值,最大值为16+k-1=15+k.∴15+k=9,解得k=-6.-69.已知二次函数y=x2-2x(-1≤x≤t-1),当x=-1时,函数取得最大值;当x=1时,函数取得最小值,则t的取值范围是

.

[解析]∵y=x2-2x=(x-1)2-1,∴该函数图象的对称轴为直线x=1,且顶点坐标为(1,-1).∵1-(-1)=3-1,∴x=-1和x=3时的函数值相等.∵-1≤x≤t-1,当x=-1时,函数取得最大值,当x=1时,函数取得最小值,∴1≤t-1≤3,解得2≤t≤4.2≤t≤410.(2024枣庄)在平面直角坐标系xOy中,点P(2,-3)在二次函数y=ax2+bx-3(a>0)的图象上,记该二次函数图象的对称轴为直线x=m.(1)求m的值;(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和.

(2)若点Q(m,-4)在y=ax2+bx-3的图象上,将该二次函数的图象向上平移5个单位,得到新的二次函数的图象.当0≤x≤4时,求新的二次函数的最大值与最小值的和.(2)∵点Q(1,-4)在二次函数y=ax2-2ax-3的图象上,∴a-2a-3=-4,解得a=1,∴二次函数的表达式为y=x2-2x-3=(x-1)2-4.将该二次函数的图象向上平移5个单位,得到的新图象对应的函数表达式为y=(x-1)2-4+5=(x-1)2+1.∵0≤x≤4,1>0,∴当x=1时,新的函数有最小值,为1,当x=4时,新的函数有最大值,为(4-1)2+1=10,∴新的二次函数的最大值与最小值的和为10+1=11.11.(2024温州瓯海区二模)已知抛物线y=ax2-(b+2)x-a+b+6(a<0,a,b均为常数)过点(3,4).(1)求a,b之间的数量关系及该抛物线的对称轴;(2)若函数y的最大值为5,求该抛物线与y轴的交点坐标;(3)当自变量x满足0≤x≤3时,记函数y的最大值为m,最小值为n.求证:3m+n=16.

(2)若函数y的最大值为5,求该抛物线与y轴的交点坐标;(2)∵b=4a-2,∴y=ax2-4ax+3a+4=a(x-2)2-a+4.∵a<0,∴函数y的最大值为-a+4.∵函数y的最大值为5,∴-a+4=5,解得a=-1,∴3a+4=1,∴该抛物线与y轴的交点坐标是(0,1).(3)