课时1勾股定理课件人教版八年级数学下册

20.1勾股定理及其应用课时1勾股定理

直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余，对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢？

在《周髀算经》的开篇，商高（约公元前11世纪）构造了一个勾、股、弦分别为三、四、五的直角三角形，并指出“两矩共长二十有五”，意指分别以勾、股为边的正方形的面积之和，恰好等于以弦为边的正方形的面积.商高所指的面积关系可以用图形表示.如图，红色直角三角形的三边长分别为3，4，5，分别以这三边为边向外作正方形.345所得正方形的面积分别为9，16，25，且9+16=25．从边的角度看，这个直角三角形的三边满足：两条直角边长的平方和等于斜边长的平方.91625其他直角三角形的三边是否也满足上述数量关系？+=345【探究】如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形A1，B1，C1的面积之间有什么关系？A2，B2，C2呢？A3，B3，C3呢？C1正方形的面积如何表示？方法一：割方法二：补方法三：拼分割为四个直角三角形和一个小正方形.补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.正方形A1中含有___个小正方形，即A1的面积是____．正方形B1中含有___个小正方形，即B1的面积是___．正方形C1中含有___个小正方形，即C1的面积是____．114455由上可得：SA₁+SB₁=SC₁按照相同的方法：A2的面积是____，A3的面积是____．B2的面积是____，B3的面积是____．C2的面积是____，C3的面积是____．499251334上面三个正方形的面积之间有什么关系？SA₂+SB₂=SC₂SA₃+SB₃=SC₃思考

以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系？由此，你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗？SA4=_________,SB4=_________,SC4=________,面积之间的关系：______________________________.41620SA4+SB4=SC4A4B4C4可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积.

由此我们猜想：

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．ABCabc如何证明呢？证明这个猜想的方法有很多，下面介绍我国古代数学家赵爽（约3世纪）的证法.如图，这个图案是赵爽在注解《周算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”.赵爽根据此图指出，四个全等的直角三角形（红色）可以围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形(黄色).让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.

②这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（绿色）和一个正方形（黄色）③把四个直角三角形移到小正方形的四周就会形成一个以c为边长的大正方形因为这个大正方形都由四个全等的直角三角形（绿色）和一个正方形（黄色）组成，所以它们的面积相等，即a²+b²=c².让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.

②这两个正方形还可以分割成四个全等的直角三角形（绿色）和一个正方形（黄色）这样就证明了前面的猜想．它表明了直角三角形三边之间的关系，我国把它称为勾股定理:如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．在西方，人们称勾股定理为毕达哥拉斯定理.符号语言：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，则

a2+b2=c2.

公式变形：ABCabc

赵爽通过对图形的分割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，这种方法是我国古代数学家常用的“出入相补法”.“赵爽弦图”体现了我国古人的聪明才智和对数学的钻研精神，是我国古代数学的骄傲.2002年在北京召开的国际数学家大会的会标，就是以此图为原型设计的.思考

根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗？

bca例

如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长.

方法总结

首先分清斜边和直角边，然后利用“勾股定理”即可求出未知边的长．在Rt△ABC中，AB＝4，AC＝3，求BC的长.

43ACB43CAB图①图②方法总结当直角三角形中所给的两条边没有指明是斜边或直角边时，其中一较长边可能是直角边，也可能是斜边，这种情况下一定要进行分类讨论，否则容易漏解.勾股定理内容证明如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么

a2+b2=c2.应用利用勾股定理进行计算赵爽弦图1.下列说法中,正确的是（）A.已知a,b,c是三角形的三边，则a2+b2=c2B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方C.在Rt△ABC中，∠C=90°,所以a2+b2=c2D.在Rt△ABC中，∠B=90°,所以a2+b2=c2C2.图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为

.8cm10cm36cm²3.在Rt△ABC中，∠A，∠B，∠C

的对边长分别为a,b,c.(1)若∠C=