新北师大版七年级上册数学知识点总结

新北师大版七年级上册数学知识点总结七年级上册数学是初中数学的入门与基础，其知识体系承上启下，既巩固小学所学，又为后续更深层次的学习奠定基石。本总结旨在梳理该学期核心知识点，帮助同学们构建清晰的知识网络，提升学习效率。第一章丰富的图形世界本章是几何学的启蒙，旨在培养同学们的空间观念和图形感知能力。1.1生活中的立体图形我们生活在三维空间中，周围充斥着各种立体图形。常见的基本立体图形可分为：*柱体：上下两个底面平行且全等，侧面是平面或曲面。如圆柱（底面为圆形，侧面是曲面）、棱柱（底面为多边形，侧面是长方形，按底面边数可分为三棱柱、四棱柱等）。*锥体：有一个顶点和一个底面，侧面是曲面或三角形。如圆锥（底面为圆形，侧面是曲面）、棱锥（底面为多边形，侧面是三角形，按底面边数可分为三棱锥、四棱锥等）。*球体：由一个连续曲面围成的几何体，球面上任意一点到球心的距离都相等。对于棱柱和棱锥，需能识别其顶点、棱（相邻两个面的交线，分侧棱和底棱）和面（分侧面和底面）。1.2展开与折叠许多立体图形是由平面图形围成的。将立体图形的表面适当剪开，可以展开成平面图形，这样的平面图形称为该立体图形的展开图。反之，某些平面图形也可以折叠成立体图形。*正方体的展开图：共有多种不同的形式，但并非所有由六个正方形组成的平面图形都能折叠成正方体。*圆柱的展开图：通常由一个长方形和两个全等的圆形组成，长方形的一边长等于圆柱底面的周长，另一边长等于圆柱的高。*圆锥的展开图：由一个扇形和一个圆形组成，扇形的半径等于圆锥的母线长，扇形的弧长等于圆锥底面的周长。1.3截一个几何体用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。截面的形状取决于几何体的形状和截面的角度、方向。例如，用一个平面去截正方体，截面可能是三角形、四边形、五边形或六边形。1.4从三个方向看物体的形状为了全面了解一个立体图形的形状，通常会从以下三个方向进行观察，并画出所看到的平面图形：*主视图：从正面看到的图形。*左视图：从左面看到的图形。*俯视图：从上面看到的图形。由这三个视图可以大致还原出立体图形的形状，这是空间想象能力的重要体现。第二章有理数及其运算本章是代数的基础，引入了负数，将数的范围从小学的非负有理数扩展到全体有理数，并系统学习有理数的运算。2.1有理数*正数与负数：大于0的数叫做正数；在正数前面加上“-”（负号）的数叫做负数。0既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。*有理数的定义：整数和分数统称为有理数。整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。*有理数的分类：1.按定义分：有理数分为整数和分数。2.按性质分（符号）：有理数分为正有理数、0、负有理数。*数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示。数轴是理解数的大小关系和绝对值的重要工具。*相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点的两侧，且与原点的距离相等。*绝对值：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。*正数的绝对值是它本身；*负数的绝对值是它的相反数；*0的绝对值是0。绝对值具有非负性，即|a|≥0。2.2有理数的运算*有理数的加法：*同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。*异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。*一个数同0相加，仍得这个数。*加法交换律：a+b=b+a*加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)*有理数的减法：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即a-b=a+(-b)*有理数的乘法：*两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。*任何数与0相乘，积仍为0。*几个不是0的数相乘，当负因数的个数是偶数时，积是正数；当负因数的个数是奇数时，积是负数。*乘法交换律：a×b=b×a*乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)*乘法对加法的分配律：a×(b+c)=a×b+a×c*有理数的除法：*除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。即a÷b=a×(1/b)(b≠0)*两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。*有理数的乘方：求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂。a叫做底数，n叫做指数，aⁿ读作“a的n次幂”或“a的n次方”。*正数的任何次幂都是正数。*负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。*0的任何正整数次幂都是0。*有理数的混合运算顺序：1.先算乘方，再算乘除，最后算加减；2.同级运算，从左到右进行；3.如有括号，先算括号里面的，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行。*科学记数法：把一个大于10的数表示成a×10ⁿ的形式（其中1≤a<10，n是正整数），这种记数方法叫做科学记数法。第三章整式及其加减本章引入代数式，是从具体数的运算向代数式运算过渡的桥梁，是进一步学习方程、函数等知识的基础。3.1字母表示数用字母表示数是代数的基本特点，它能简明地表达数量关系、运算律和计算公式等。例如，用字母表示加法交换律a+b=b+a，用字母表示三角形面积公式S=(1/2)ah等。3.2代数式*代数式的定义：用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或者一个字母也是代数式。*代数式的值：用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果，叫做代数式的值。3.3整式*单项式：由数与字母的积组成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。*系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。*次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。*多项式：几个单项式的和叫做多项式。*项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。不含字母的项叫做常数项。*次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。*整式：单项式和多项式统称为整式。3.4整式的加减*同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。几个常数项也是同类项。*合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项法则：同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变。*去括号法则：*如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；*如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。*整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。第四章基本平面图形本章从具体的立体图形转向抽象的平面图形，学习构成平面图形的基本元素及其性质。4.1线段、射线、直线*线段：线段有两个端点，不能向两端无限延伸，可以度量长度。*射线：射线有一个端点，可以向一端无限延伸，无法度量长度。*直线：直线没有端点，可以向两端无限延伸，无法度量长度。*基本事实（公理）：*经过两点有且只有一条直线（两点确定一条直线）。*两点之间，线段最短。*两点间的距离：连接两点间的线段的长度，叫做这两点间的距离。*线段的中点：点M把线段AB分成相等的两条线段AM与MB，点M叫做线段AB的中点。此时AM=MB=(1/2)AB。4.2角*角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形。*角的表示方法：通常用三个大写字母表示（顶点字母在中间），或用一个大写字母（顶点处只有一个角时），或用一个数字或希腊字母表示。*角的度量：角的度量单位是度、分、秒。把一个周角平均分成360份，每一份就是1度的角，记作1°。1°=60'，1'=60''。*角的比较与运算：角的大小比较方法有叠合法和度量法。角的和、差运算与数的运算类似。*角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。*余角和补角：*如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，即其中一个角是另一个角的余角。*如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角，即其中一个角是另一个角的补角。*同角（等角）的余角相等。*同角（等角）的补角相等。*对顶角：两条直线相交形成的四个角中，相对的两个角叫做对顶角。对顶角相等。4.3多边形和圆的初步认识*多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形。多边形按组成它的线段的条数分成三角形、四边形、五边形等。*正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。*圆：平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆。这个固定的端点叫做圆心。*圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。*扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。第五章一元一次方程方程是解决实际问题的重要数学模型，本章学习一元一次方程的概念、解法及其应用。5.1认识一元一次方程*方程：含有未知数的等式叫做方程。*方程的解：使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解。*一元一次方程：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1（次），等号两边都是整式的方程叫做一元一次方程。其标准形式为ax+b=0(a≠0)。5.2求解一元一次方程*等式的基本性质：*等式两边同时加上（或减去）同一个整式，所得结果仍是等式。*等式两边同时乘（或除以）同一个不为0的整式，所得结果仍是等式。*解一元一次方程的一般步骤：1.去分母：在方程两边都乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的项。2.去括号：先去小括号，再去中括号，最后去大括号。注意括号前是负号时，括号内各项要变号。3.移项：把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边。移项要变号。4.合并同类项：把方程化成ax=b(a≠0)的形式。5.系数化为1：在方程两边都除以未知数的系数a，得到方程的解x=b/a。5.3应用一元一次方程解决实际问题列一元一次方程解决实际问题的一般步骤：1.审：审题，理解题意，明确问题中的已知量、未知量以及它们之间的数量关系。2.设：设未知数，通常设要求的量为x，有时也可间接设未知数。3.找：找出能表示应用题全部含义的一个相等关系。4.列：根据这个相等关系列出方程。5.解：解所列的方程，求出未知数的值。6.验：检验方程的解是否符合实际意义。7.答：写出答案（包括单位名称）。常见的实际问题类型有：行程问题（相遇、追及）、工程问题、利润问题、利息问题、数字问题、调配问题等。关键在于分析题意，找出等量关系。第六章数据的收集与整理本章初步介绍数据处理的基本方法，培养同学们从数据中获取信息、分析问题的能力。6.1数据的收集*数据收集的方式：常用的有问卷调查、查阅资料、实地调查、实验等。*总体、个体、样本、样本容量：*我们所要考察的对象的全体叫做总体。*把组成总体的每一个考察对象叫做个体。*从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本。*样本中个体的数目叫做样本容量。6.2数据的整理*统计表：将收集到的数据按照一定的标准进行分类整理，并用表格的形式呈现出来，这样的表格叫做统计表。*频数与频率：*频数：每个对象出现的次数。*频率：每个对象出现的次数与总次数的比值（或百分比）。频率之和为1。6.3数据的表示*象形统计图：用象形的符号来表示数据的图形，比较直观、形象。*条形统计图：用一个单位长度表示一定的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，然后把这些直条按一定的顺序排列起来。条形统计图能清楚地表示出每个项目