立体几何中的距离探究性问题课件-高三数学二轮复习

第5讲立体几何中的距离、探究性问题专题三

立体几何(2025·天津，T17)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为4，E，F分别为A1D1，C1B1的中点，CG=3GC1.(1)求证：GF⊥平面FBE；探究真题明确方向

证明

证明(2)求平面FBE与平面EBG夹角的余弦值；

解(3)求三棱锥D-FBE的体积.

解命题热度：本讲是历年高考命题常考的内容，属于中档题目，主要以解答题的形式进行考查，分值约为15~17分.考查方向：一是考查利用空间向量求空间距离；二是考查利用空间向量研究探索性问题；三是考查利用空间向量解决最值问题.考点二空间中的探索性问题考点一空间距离内容索引专题突破练考点一空间距离

(2025·重庆调研)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧面PAD是边长为2的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E为侧棱PD的中点，O为AD的中点，M为线段PC上一点.(1)若点M为线段

PC的中点，求证：直线OM∥平面PAB；例1

证明

解

解

解(1)求点到平面的距离有两种方法，一是利用空间向量点到平面的距离公式，二是利用等体积法.(2)求直线到平面的距离的前提是直线与平面平行.求直线到平面的距离可转化成直线上任一点到平面的距离.规律方法跟踪演练1

(2025·泰州模拟)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB1=BC1=CA1，BC1⊥CA1.(1)证明：三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱；在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BB1=CC1=AA1，∠ABB1=∠BCC1=∠CAA1=90°，又因为AB1=BC1=CA1，所以△ABB1≌△BCC1≌△CAA1，所以AB=BC=CA，所以三棱柱ABC-A1B1C1为正三棱柱.证明(2)证明：AB1⊥CA1；

证明

证明

解

解返回考点二空间中的探索性问题

例2

证明(2)如果BC=2，平面A1BE⊥平面BCDE，那么线段A1C上是否存在点P，使得BP∥平面A1OF？若存在，求平面PBE与平面A1OF夹角的余弦值；若不存在，请说明理由.

解

解

解

解解决立体几何中探索性问题的基本方法(1)通常假设问题中的数学对象存在或结论成立，再在这个前提下进行推理，如果能推出与条件吻合的数据或事实，说明假设成立，并可进一步证明，否则假设不成立.(2)探索线段上是否存在满足条件的点时，一定注意三点共线的条件的应用.规律方法

解

解

解返回专题突破练答案12341.

答案12341.

2.答案1234

答案12342.

答案12342.

答案12342.

答案12343.

答案12343.

答案12343.

答案12343.

答案12343.

答案12343.

答案12344.(1)因为AB∥CD，且CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，所以CD∥平面ABE，又因为CD⊂平面SCD，平面SCD∩平面ABE=EF，所以CD∥EF.(2)取AB的中点P，连接CP，则CD=AP，又CD∥AP，所以四边形APCD为平行四边形，因为AD⊥平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AD⊥CD，故四边形APCD为矩形，在Rt△CPB中，BC2=CP2+PB2=25，又SD2=BC2=25，所以在△SCD中，SD2=CD2+SC2，所以SC⊥CD.因为AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，所以AD⊥SC，又因为AD，CD⊂平面ABCD，且AD∩CD=D，所以SC⊥平面ABCD，答案12344.

答案12344.

答案12344.

答案12344.

答案12344.

1.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是PC，PD的中点.(1)证明：平面EBD⊥平面ABCD；1234答案1234答案连接AC交BD于点O，连接OE，在正方形ABCD中，O为AC的中点，因为E为PC的中点，所以OE∥PA，又PA⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，又OE⊂平面EBD，所以平面EBD⊥平面ABCD.证明

1234答案1234答案

解1234答案

解1234

答案1234答案

证明1234

答案1234答案

解1234答案

解1234答案

解

1234答案1234答案

证明(2)若∠PEF=90°，求二面角D-PF-E的正弦值；1234答案1234答案

解1234答案

解

1234答案1234答案

解1234答案

解1234答案

解12344.(2025·包头模拟)如图，在四棱锥S-ABCD中，AD⊥平面SCD，AB∥CD，BC=SD，AB=2CD=6，SC=AD=4，点E在棱SD上，且不与S和D重合，平面ABE交棱SC于点F.(1)求证：CD∥EF；答案1234答案因为AB∥CD，且CD⊄平面ABE，AB⊂平面ABE，所以CD∥平面ABE，又因为CD⊂平面SCD，平面SCD∩平面ABE=EF，所以CD∥EF.证明1234(2)若E为棱SD的中点，求二面角D-AE-B的正弦值；答案1234答案取AB的中点P，连接CP，则CD=AP，又CD∥AP，所以四边形APCD为平行四边形，因为AD⊥平面SCD，CD⊂平面SCD，所以AD⊥CD，故四边形APCD为矩形，在Rt△CPB中，BC2=CP2+PB2=25，又SD2=BC2=25，所以在△SCD中，SD2=CD2+SC2，所以SC⊥CD.因为AD⊥平面SCD，SC⊂平面SCD，所以AD⊥SC，又因为AD，CD⊂