分式方程课件北师大版数学八年级下册

第1课时分式方程的概念

第五章分式与方程3分式方程情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹

京张高速铁路正线全长174km，高速列车的平均行驶速度是快速列车的3倍。高速列车从北京市到张家口市的行使时间比快速列车少2小时。如果设快速列车的平均行驶速度为xkm/h，那么（1）你能找出这一情境中的所有等量关系吗？（2）如果设特快列车的平均行驶速度为

x

km/h，那么

x

满足怎样的方程？（3）如果设高速铁列车从北京市地到张家口市需

y

h，那么

y

满足怎样的方程？新知初探贰新知初探探究：分式方程贰（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？①高速列车的平均行驶速度=3×快速列车的平均速度；②快速列车从北京市到张家口市的行使时间-高速列车从北京市到张家口市的行使时间=2小时③乘高速列车所用的时间

=

174高速列车的平均行驶速度④快速列车所用的时间

=

174快速列车的平均行驶速度新知初探贰（2）如果设快速列车的平均行驶速度为

x

km/h，那么

x

满足怎样的方程？时间/h平均速度/(km/h)路程/km高速列车快速列车关系式列表分析如下：3xx714174乘高速列车用时

+

2

h

=

乘快速列车用时新知初探贰（3）如果设高速铁列车从北京市地到张家口市需

y

h，那么

y

满足怎样的方程？时间/h平均速度/(km/h)路程/km高速列车快速列车关系式列表分析如下：yy+2174174高速列车平均速度

=

3×快速列车平均速度新知初探贰

为了帮助遭受自然灾害的地区重建家园，某校团总支号召同学们自愿捐款.已知第一次捐款总额为

4800元，第二次捐款总额为

5000

元，第二次捐款人数比第一次多

20

人，而且两次人均捐款额恰好相等.如果设第一次捐款人数为x

人，那么

x

应满足怎样的方程？尝试思考新知初探贰分母中都含有未知数.思考：由上面的问题，我们得到了三个方程，它们有什么共同特点？新知初探贰分式方程的概念

分式方程的特征分母中都含有未知数的方程叫作分式方程.（1）是等式；（2）方程中含有分式；（3）分母中含有未知数.知识要点新知初探贰1.

下列式子中，哪些是分式方程？哪些整式方程？解：（2）（3）是分式方程，（1）（4）（5）是整式方程，（6）不是方程.

注意：π是一确定的常数，不是未知数.随堂练习新知初探贰2.一艘轮船在静水中的最大航速为

20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行

100千米所用时间，与以最大航速逆流航行

60千米所用时间相等，江水的流速为多少?

解：设江水的流速为

v

千米/时，根据题意，得思考：结合问题1和2，我们发现列分式方程和列一元一次方程有什么共同特点？步骤一样新知初探贰列分式方程的步骤：（1）审清题意，适当设出未知数；（2）根据题意找等量关系，列出分式方程.归纳总结当堂达标叁当堂达标叁1.下列属于分式方程的是（）

A当堂达标叁2.某校举行运动会，需要从商场购买一定数量的笔袋和笔记本作为奖品．若每个笔袋的价格比每个笔记本的价格多

3

元，且用

200

元购买笔记本的数量与用

350

元

购买笔袋的数量相同，设每个笔记本的价格为

x

元，则可列方程__________.

当堂达标叁3.某市为处理污水，需要铺设一条长为

5000

m

的管道，为了尽量减少施工对交通所造成的影响，实际施工时每天比原计划多铺设

20

m，结果提前

15

天完成任务．设原计划每天铺设管道

xm，则可得方程

__________________.

课堂小结肆课堂小结肆分式方程概念列方程步骤分母中含有未知数的方程叫做分式方程1.审清题意，适当设出未知数；2.根据题意找等量关系，列出分式方程课后作业基础题：1.课后习题

第3,4,5题（只需要列方程不需要解）。提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第6,7题（只需要列方程不需要解）。第2课时

分式方程的解法

第五章分式与分式方程3分式方程情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹问题1：列分式方程的一般步骤审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系设：选择恰当的未知数,注意单位列：根据等量关系正确列出方程问题2：如何解分式方程？新知初探贰新知初探探究一：分式方程的解法贰问题：你能求出上一节课列出的分式方程(1)如何把它转化为熟知的整式方程呢？“去分母”的解吗？新知初探贰

x(x+20)解：方程两边同乘

x(x+20)，得检验：将

x

=480代入原分式方程中，左边=

右边，因此

x

=480是原分式方程的解.4800(x+20)=5000x解得x=480.(2)方程各分母最简公分母是：x=480是原分式方程的解吗？新知初探贰解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程

.具体做法：去分母

(即方程两边同乘最简公分母.)总结归纳新知初探典例精析贰例1

解方程：方程两边都乘最简公分母

x(x-

2)，得解这个方程，得x=3.检验：把x=3代入原方程的左边和右边，得所以x=3是原方程的解．解：因为分式中分母不能为0所以x≠2,且x≠0.左边=1，右边=1，左边=右边新知初探贰你能否从中总结出分式方程的解法呢？归纳总结：解分式方程的一般步骤1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.（转化思想）2.解这个整式方程.3.检验.4.写出原方程的根.新知初探贰在解方程

时，小亮的解法如下：思考交流

方程两边同乘

(x-

2)，得1-

x+5=-1-2(x-

2)，解得x=2.x=2是原分式方程的解吗？探究二：增根新知初探贰想一想：为什么

去分母后所得整式方程的解不是原分式方程的解呢？x=2

使得原分式方程的分母为0.使得原分式方程的分母为0的根，我们称为原方程的增根.新知初探贰解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为

0，所以分式方程的解必须检验．方法总结用图框的方式总结为：当

x=a时最简公分母是否为零

x=a

检验x=a是分式方程的解

否x=a不是分式方程的解,是增根

是新知初探贰随堂练习解：方程两边同乘

(x-1)(x+1)，得4(x+1)=2x+6.解得x=1.检验：当

x=1时，

(x-1)(x+1)=0，因此

x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.1.

解方程：.新知初探贰

2.解方程：

.

解：方程两边都乘最简公分母2x，得解这个一元一次方程，得x=4.经检验：x=4是原方程的根.新知初探贰1.在方程的两边都乘最简公分母，约去分母，化成整式方程；简记为：“一化二解三检验”.归纳总结解分式方程一般需要经过哪几个步骤?4.写出原方程的根.3.检验整式方程的解，判断是否存在增根；2.解这个整式方程；当堂达标叁当堂达标叁1.解分式方程

时，去分母后得到的整式方程是

(

)A.2(x-

8)

+

5x

=

16(x

-

7)B.2(x

-

8)

+

5x

=

8C.2(x

-

8)

-

5x

=

16(x

-

7)D.2(x

-

8)

-

5x

=

8A2.若关于

x的分式方程无解，则

m的值为()A．－1，5 B．1 C．－1.5或2 D．－0.5或－1.5D当堂达标叁3.解方程：解：

方程两边乘

(x

-

1)(x

+

2)，得x(x

+

2)

-

(x

-

1)(x

+

2)=3解得x=1.检验：当

x=1时，(x

-

1)(x

+

2)=0，

因此

x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.当堂达标叁4.若关于x的方程有增根，求

m的值.解：方程两边同乘(x

-

2)，

∴

m=0.∴

x=2.∵该分式方程有增根，∴m=3x

-

6.合并同类项，得

3x=6

+

m，得2

-

x

+

m=2x

-

4.课堂小结肆课堂小结肆分式方程的解法步骤基本思路将分式方程化为整式方程

.具体做法：去分母

(即方程两边同乘最简公分母.)一化(分式方程转化为整式方程)；二解(整式方程)；三检验(把解代入到最简公分母，看是否为零)课后作业基础题：1.课后习题

第1题。提高题：2.请学有余力的同学完成课后习题第2题第3课时

分式方程的应用

第五章

分式与分式方程3分式方程情境导入壹目录课堂小结肆当堂达标叁新知初探贰情境导入壹

应用整式方程解实际问题的步骤：实际问题审题设未知数列出方程检验解的合理性解方程那么如何运用分式方程解决实际问题呢？找等量关系新知初探贰新知初探探究一：分式方程的应用贰某单位将沿街的一部分房屋出租，每间房屋的租金第二年比第一年多500元，所有房屋出租的租金第一年为96000元，第二年为102000万元.(1)你能找出这一情境中的等量关系吗?第一年出租的房屋间数

=

第二年每间房屋的租金=第二年出租的房屋间数第一年每间房屋的租金+500出租房屋间数

=

所有出租房屋租金÷每间房屋租金新知初探贰则第二年每间房屋的租金为(x+500)元，根据题意，得(2)你能利用方程求出这两年每间房屋的租金各是多少吗?解：设第一年每间房屋的租金为x元，解得

x=8000.答：第一年每间房屋的租金为8000，第二年每间房屋的租金为8500.新知初探贰方法总结审设列解验答设：_______未知数

解：_______列：_________检验:1.__________________；2.______________分式方程解决实际问题的基本过程：分式方程

分式方程

是否是分式方程的解是否符合题意新知初探贰

例2师徒两人加工同一种“非遗文化”工艺品，师傅比徒弟每天多加工10个这种工艺品，师傅加工300个这种工艺品所用的时间是徒弟加工120个这种工艺品所用时间的2倍，求师傅和徒弟每天各加工多少个这种工艺品。经典例题分析：问题中有怎样的等量关系？如何分别用代数式表示师傅加工300个这种工艺品、徒弟加工120个这种工艺品所用的时间？新知初探贰解：设徒弟每天加工这种工艺品x个，则师傅每天加工这种工艺品(x+10)个，根据题意，得解这个方程，得

x=40。经检验，x=40是所列方程的根。40+10=50.所以，师傅每天加工这种工艺品50,徒弟每天加工这种工艺品40个。新知初探贰1.两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成，哪个队的施工速度快？方法一：方法二：＝“1”

＋＝“1”

＋两队合作完成的工作量甲队单独完成的工作量甲队完成的工作总量

乙队完成的工作总量随堂练习新知初探贰设乙单独完成这项工程需要

x

月.

借助列表分析，确定题目中的数量关系.工作时间(月)工作效率之和工作总量甲单独两队合作1方法一：新知初探贰解：设乙单独完成这项工程需要

x

月，则乙队的工作效率是，记总工程量为1，根据工程的实际进度，得解得x=1.检验：当

x=1时，6x≠0，故

x=1是原方程的解.由上可知，若乙队单独施工1个月可以完成全部任务，对比甲队1个月才可以完成任务的

，可知乙队的施工速度快.新知初探贰设乙单独完成这项工程需要

x月.

列表分析方法二：工作时间(月)工作效率之和工作总量甲队乙队同学们，动手算一算！新知初探贰2.某次列车平均提速

vkm/h．用相同的时间，列车提速前行驶

skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度为多少？

行程问题：路程=速度×时间类比

例2方法分析下这道题新知初探贰路程(km)速度(km/h)时间(h)提速后提速前sxs+50x+v借助列表分析，确定题目中的数量关系.提速后的行驶时间=提速前的行驶时间

等量关系：

设提速前列车的平均速度为

xkm/h，其中s，v是已知值.新知初探贰解：提速前列车的平均速度为

xkm/h，依题意得方程两边乘

x(x+v)，得

s(x+v)＝x(s+50).

检验：由

v，s都是正数，得

时，x(x+v)≠0.

所以，原分式方程的解是

答：提速前列车的平均速度为

km/h.当堂达标叁当堂达标叁A.B.C.