2026届黑龙江省哈尔滨市四校高三上学期期中联考数学试卷

2026届黑龙江省哈尔滨市四校高三上学期期中联考数学试卷一、单选题1.的虚部为（）

A．B．C．D．2.根据分类变量与的观测数据，计算得到.依据的独立性检验，结论为（）.

A．变量与不独立B．变量与不独立，这个结论犯错误的概率不超过C．变量与独立D．变量与独立，这个结论犯错误的概率不超过3.已知向量，，若，则的值为（）

A．B．C．D．4.已知，且，则“”是“函数在上单调递增”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5.已知非零向量满足，，则（）

A．B．C．D．6.已知函数，则不等式的解集为（）

A．B．C．D．7.设椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，直线交M于另一点B，的内切圆与相切于点C，若，则椭圆M的离心率为（）

A．B．C．D．8.已知，且，则下列各式正确的是（）

A．B．C．D．二、多选题9.某校调查了100位70岁以内的教职工（含离退休）的年龄情况，分成了，，，，五组，并制作了如图所示的频率分布直方图，若同一组中的数据用该组区间的中间值代表，则下列结论正确的是（）

A．B．这100位教职工中年龄在的人数为55C．这100位教职工年龄的众数估计值为45D．这100位教职工年龄的中位数的估计值为42.510.已知直线与圆恒有两个不同的公共点，则下列叙述正确的有（）

A．直线过定点B．半径的取值范围是C．当时，线段长的最小值为D．当时，圆上到直线的距离为2的点恰好有三个，则11.已知二面角的大小为，，，且，，则（）

A．是锐角三角形B．异面直线与不可能垂直C．线段长度的取值范围是D．四面体体积的最大值为三、填空题12.设等差数列的前项和为，若，，则___________.13.宜春某商场组织抽奖活动，在一个不透明的箱子中装有红､黄､白､黑4个形状､大小相同的小球，规定每人可以有放回地先后两次任意摸取小球（每次至少摸取1个小球），其中红黄白各计1分，黑计3分.若两次摸到的小球记录的得分的总分为7分，且凑齐四种颜色，则获得一等奖，那么获一等奖的概率为__________.14.若内一点满足，则称为的布洛卡点，为布洛卡角.三角形的布洛卡点是法国数学家和数学教育家克雷尔于1816年首次发现，1875年被法国军官布洛卡重新发现，并用他的名字命名.若的三边长分别为，则的“布洛卡角”的正切值为___________.四、解答题15.已知数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.16.记的内角，，的对边分别为，，，已知外接圆半径为，且.(1)求.(2)若，，求的面积.17.《齐鲁文化大会》是山东卫视推出的一档以“齐鲁文化”为主题，全民参与的大型文化综艺节目，深受人们的喜爱，其中有一个“杏坛论道”的答题环节，该环节规定：主持人每公布一题，甲、乙两人就立刻抢答，先抢答者，若答对，可得1分；若答错，则对手得1分；谁先得3分，谁就能在“杏坛论道”环节胜出.假设两人每一次抢到题的概率均为，答对每道题的概率分别为，且两人答题正确与否互不影响.(1)求“杏坛论道”比赛开始后，甲先得1分的概率；(2)“杏坛论道”比赛进行中，甲、乙暂时各得1分，两人继续抢答了X题后“杏坛论道”环节结束，求X的分布列及数学期望；(3)“杏坛论道”比赛开始后，若乙先得2分，则乙获胜的概率比甲大吗?请说明理由.18.如图，已知四棱锥中，底面为矩形，平面.(1)求证∶当时，平面平面(2)当时，①求二面角的大小；