2026年广州中考数学二轮复习讲练测热点05 三角形与四边形基础性质（热点专练）（解析版）

热点05三角形与四边形基础性质

热点聚焦方法精讲能力突破

第一部分热点聚焦·析考情聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。

第二部分题型引领·讲方法归纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。

题型01全等三角形的证明

题型02与等腰三角形有关的计算与证明

题型03与直角三角形有关的计算与证明

题型04与平行四边形有关的计算与证明

题型05与矩形有关的计算与证明

题型06与菱形有关的计算与证明

题型07与正方形有关的计算与证明

第三部分能力突破·限时练精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双

重跃升。

近三年：根据近三年广州中考试题，“三角形与四边形基础性质”部分的考试方向是突出基础夯实与逻辑

规范。试题严格依据课标，高度关注全等三角形、等腰三角形、平行四边形及特殊四边形的核心性质与判

定方法的灵活运用，常结合平行线性质、角平分线、勾股定理等基础知识点综合考查。在题型上，该板块

分布稳定：选择题和填空题常考查多边形内角和、平行四边形性质辨析、特殊四边形（正方形、菱形）的

面积或最值问题（如将军饮马）；解答题中，通常在第18-22题位置出现，几乎每年必考一道“基础几何

证明”题，涉及三角形全等或特殊四边形的判定，如2023年考查等腰三角形与全等三角形判定，2024年

考查平行四边形性质与等腰三角形综合。此外，正方形作为高频考点，近三年多次出现于选填压轴位置。

预测2026年：2026年的考试方向将延续“素养立意”，更加注重在图形变换（折叠、旋转）和动态问题

中考查基础性质的迁移应用。试题可能进一步创新设问，例如将三角形与四边形性质融入尺规作图情境。

考试题型预计保持稳定：选择题或填空题中仍会出现特殊四边形性质的基本辨析（如2021年真命题判断）；

解答题中档题大概率延续“基础几何证明”模式，重点考查全等三角形的判定或特殊四边形的判定与性质

综合；选填压轴可能以正方形为背景结合最值问题或函数思想进行考查。

题型01全等三角形的证明

解｜题｜策｜略

1.熟记判定定理，灵活选择方法：根据已知条件灵活选用SSS、SAS、ASA、AAS或HL

进行证明。广州卷常考查SAS（如2020年）和ASA（如2022年）。

2.识别基本图形，寻找隐含条件：善于从复杂图形中识别平移型、翻折型、旋转型等全等

基本模型，并挖掘公共边、公共角、对顶角等隐含条件。

3.规范书写推理，步步有据：证明过程要逻辑清晰，每一步结论都要有依据，避免跳步。

注意线段和角的等量代换，最后写出完整结论。

例1（2025·广东广州·中考真题）如图，BABE，12，BCBD．求证：△ABC≌△EBD．

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定，先证明ABCEBD，进而根据SAS即可证明

△ABC≌△EBD．

【详解】证明：∵

12，

∴

1EBC2EBC，即ABCEBD，

在ABC和△EBD中，

BABE

ABCEBD

BCBD

∴△ABC≌△EBDSAS

例2（2025·广东广州·模拟预测）如图，在△AEC和ADB中，已知AEAD，ACAB．求

证：BC．

【答案】见解析

【分析】由ADAE，AA，ABAC，根据“SAS”证明△ABD≌△ACE，则BC．

此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明

△ABD≌△ACE是解题的关键．

【详解】证明：在△ABD和△ACE中，

ADAE

AA，

ABAC

∴△ABD≌△ACESAS，

∴BC．

【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，AB∥CDAB∥CD，AEDF，AD．求证：

ABCD．

【答案】见解析

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质可得BC，进而证

明ABE≌DCFAAS，根据全等三角形的性质，即可得证．

【详解】证明：∵AB∥CD，

BC

在ABE和DCF中

AD

BC，

AEDF

ABE≌DCFAAS，

ABCD．

【变式2】（2025·广东广州·二模）如图，在O中，C为AB的中点，CDOA于点D，

CEOB于点E．求证：ODOE．

【答案】证明见解析

【分析】本题考查圆心角、弧、弦之间的关系，全等三角形的判定和性质，根据等弧所对的

圆心角相等得AOCBOC，证明CDO≌CEOAAS，再根据全等三角形的性质可得

结论．解题的关键是掌握：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．

【详解】证明：如图，连接OC，

∵在O中，C为AB的中点，

∴ACBC，

∴AOCBOC，即DOCEOC，

∵CDOA，CEOB，

∴CDO90CEO，

在CDO和CEO中，

DOCEOC

CDOCEO，

COCO

∴CDO≌CEOAAS，

∴ODOE．

【变式3】（2025·广东广州·三模）如图，BC90，过点D作DMAB，垂足为M，

E在BC边上，ADAE，ABBC．求证：ADMEAB．

【答案】见解析

【分析】本题考查了矩形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解

题的关键．

先证明四边形BCDM是矩形得BCDMAB，进而可依据“HL”判定Rt△ADM和

Rt△EAB全等，再根据全等三角形的性质即可得出结论．

【详解】证明：DMAB，

∴DMB90，

又BC90，

四边形BCDM是矩形，

BCDM，

ABBC，

DMAB，

在Rt△ADM和Rt△EAB中，

DMAB

，

ADAE

RtADM≌RtEABHL，

ADMEAB．

题型02与等腰三角形有关的计算与证明

解｜题｜策｜略

1.活用“三线合一”性质：等腰三角形顶角平分线、底边中线、底边高线互相重合。遇到

中点、角平分线或垂直条件时，优先考虑这一性质转化问题。

2.分类讨论思想：当题目未明确底和腰时，需按边分类；已知一个内角求顶角时，需按顶

角和底角分类讨论。

3.巧构方程求解：设未知数表示边长或角度，利用勾股定理、相似三角形或全等关系建立

方程求解。

例1（2024·广东广州·二模）如图所示，在等腰ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到

点E，连接DE，恰有ADBCCEDE．则BAC__________．

【答案】100/100度

【分析】过点D作DF∥BC，且使DFBC，连接CF、EF，则四边形BDFC时平行四边

形，根据平行四边形的性质可得BDCF，DAFC，再利用SAS判定ADE≌CEF，根据

全等三角形的性质可得EDEF，从而可推出DEF为等边三角形，设BACx，则

180x

ADFABC，根据三角形内角和定理可分别表示出ADE，ADF，根据等边

2

三角形的性质不难求得BAC的度数．

【详解】解：过点D作DF∥BC，且使DFBC，连接CF、EF，则四边形BDFC是平行

四边形，

BDCF，DAFC，

EADECF，

ADCE，ABAC，

ADABCEAC，

BDAE，

∴AE=CF，

在ADE和△CEF中，

AECF

EADFCE

ADCE

ADE≌CEFSAS，

EDEF，

EDBC，BCDF，

EDEFDF，

DEF为等边三角形，

设BACx，则

180x

ADFABC，DAE180x，

2

ADED，

DAEDEA180x，

ADE1802DEA1802180x2x180，

ADFADEEDF60，

180x

2x18060，

2

x100，

即BAC100，

故答案为：100．

例2（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一

元二次方程x27xk0的根，则k的值为__________．

【答案】12

【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况

讨论：当a2时，当a4时，分别讨论求解即可．

【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，

当a2时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；

当a4时，

4274k0，

∴k12，

故答案为：12．

【变式1】（2024·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A2,1，

若三角形OAB为等边三角形，则点B的坐标是______．

3131

【答案】1,3或1,3

2222

【分析】本题考查坐标与图形，设Bx,y，根据等边三角形的三边相等，结合两点间的距

离公式，列式求解即可．

【详解】解：设Bx,y，

∵A2,1,O0,0，

22

∴AB2x2y1，OB2x2y2，OA222125，

∵OAB为等边三角形，

33

22x1x1

xy522

∴22，解得：或，

x2y1511

y3y3

22

3131

∴B点坐标为1,3或1,3；

2222

3131

故答案为：1,3或1,3．

2222

【变式2】（2025·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，ACB90，CACB10，

点D是平面内一点，且CD1．过点B作BEAD于点E．

①若CDAE，则AD的长为________；

②当线段CD绕点C在平面内旋转时，线段BE长度的最大值为________．

【答案】34

【分析】（1）由勾股定理可求解；

（2）根据题意识别出点E是在以AB为直径的圆上运动，点D是在以C为圆心，以1为半

径的圆上运动，所以当AE与圆C相切于点D，且D在△ABC外部时，BAE最大，BE最

大，由勾股定理可求解．

【详解】解：①CDAE，

ADAC2CD21013，

故答案为：3；

②BEAE，

BEA90，

点E是在以AB为直径的圆上运动，

CD1，且CD是绕点C旋转，

点D是在以C为圆心，以1为半径的圆上运动，

如图，当AE与圆C相切于点D，且D在ABC外部时，BAE最大，BE最大，

由题意可得：AD3，

四边形AECB为圆的内接四边形，ACB90，CACB10，

CEDCBA45，CEBCAB45，AB25，

DECD1，AEB90，

AE2，

BEAB2AE22044，

故答案为：4．

【变式3】（2025·广东广州·二模）等腰三角形ABC中，ABAC43，BAC120，

点D，E为BC边上的两动点，且DAE60．

(1)若BDCE，求DE的长．

(2)若CE2，求ADE的面积．

(3)当E点在边BC的什么位置时，线段BD，DE，CE满足DE2CE2BD2．

【答案】(1)4

143

(2)

3

(3)点E在距离点C623处

【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理的判定与性质，含30

角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握这些性质

与判定是解题的关键．

（1）利用ABAC43，BAC120，得出BC30，再证明△ABD≌△ACE，

得出ADAE，判定ADE是等边三角形，得出ADE60，DEAE，再求得

BAEBADDAE90，即可求出AE，即可求解；

（2）将△ACE绕点A顺时针旋转120至△ABF，使AC与AB重合，连接FD，过点A作

AMBC于点M，过点F作FNBC于点N，先利用等腰三角形的性质求出

1

AMAB23，CMBM3AM6，则BC2BM12，由旋转得BFCE2，

2

AEAF，ABF=C30，BAFCAE，再证明ADF≌ADE，得出DFDE，求

1

出BFN30，得BNBF1，FN3BN3，设DEDFx，则

2

DNBCBNDECE121x29x，在RtFND中，FN2DN2FD2，列式求

解，再求面积即可；

（3）同（2）作法可得BFCE，DFDE，FBD60，BFN30，由DE2CE2BD2，

180BDF

得FD2BF2BD2，可得BFD90，再求得ADFADE75，即可

2

得AED180DAEADE45，则可求出CE，即可求解．

【详解】（1）解：∵ABAC43，BAC120，

∴BC30，

∵BDCE，

∴△ABD≌△ACE，

∴ADAE，

∵DAE60，

∴ADE是等边三角形，

∴ADE60，DEAE，

∴BADADEB30，

∴BAEBADDAE90，

AB43，B30，

3

∴AEABtanBAB4，

3

∴DEAE4；

（2）解：如图，将△ACE绕点A顺时针旋转120至△ABF，使AC与AB重合，连接FD，

过点A作AMBC于点M，过点F作FNBC于点N，

∵ABAC43，BAC120，

∴ABCC30，

∵AMBC，

1AM

∴AMAB23，CMBM3AM6，

2tanABC

∴BC2BM12，

由旋转得BFCE2，AEAF，ABF=C30，BAFCAE，

∵DAE60，BAC120，

∴BADCAEBACDAE60，

∴FADBADBAFBADCAE60，

∴FADDAE，

又∵ADAD，

∴ADF≌ADE，

∴DFDE，

∵FBDABFABC60，

∴BFN30，

1BN

∴BNBF1，FN3BN3，

2tanBFN

设DEDFx，

∴DNBCBNDECE121x29x，

在RtFND中，FN2DN2FD2，

22

即39xx2，

14

解得：x，

3

14

∴DE，

3

1114143

∴S△DEAM23；

ADE2233

（3）解：同（2）作法可得BFCE，DFDE，FBD60，BFN30，

∵DE2CE2BD2，

∴FD2BF2BD2，

∴BFD90，

∴BDF30，

同（2）可得ADF≌ADE，

180BDF

∴ADFADE75，

2

∵DAE60，

∴AED180DAEADE45，

AME是等腰直角三角形，

∴MEAM23，

∴CECMME623，

即点E在距离点C623处．

题型03与直角三角形有关的计算与证明

解｜题｜策｜略

1.活用勾股定理列方程：已知两边求第三边时直接计算；涉及线段关系或动点问题时，常

需设未知数利用勾股定理列方程求解。

2.巧用面积法求高：求直角三角形斜边上的高或点到一直线的距离时，运用等面积法（两

直角边乘积=斜边×斜边上的高）建立等式。

3.结合三角函数：涉及角度或比值条件时，利用锐角三角函数表示边角关系，或构造双直

角三角形模型（公共边或背靠背）解决问题。

例1（2025·广东广州·模拟预测）在Rt△ABC中，斜边BC上的中线长度为5，直角边AB的

长度为6，则直角边AC的长度为_______．

【答案】8

【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练掌握勾股定理是解题

的关键．

根据勾股定理，直角三角形斜边上的中线即可得出结论．

【详解】解：∵斜边BC上的中线长度为5，

∴BC10，

∵AB6，

∴ACBC2AB2102628，

故答案为：8．

例2（2025·广东广州·二模）如图，每个小正方形的边长为1，在ABC中，点D为AB的中

点，则cosACD______________．

3133

【答案】/13

1313

【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，勾股定理逆定理，求

角的余弦值等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．

根据所给网格，得出ACB90，再由点D为AB的中点，得出ACDCAD，最后结

合余弦的定义即可解决问题．

【详解】解：由图得：AC2323218，AB2125226，BC222228，

AC2BC2AB2，

∴ACB90．

∴因为点D为AB的中点，

1

所以CDABAD，

2

所以ACDCAD．

AC32，AB125226．

∵

AC32313

cosCAD，

AB2613

∴

313

所以cosACDcosACD．

13

故答案为：313．

13

【变式1】（2025·广东广州·一模）如图，在Rt△ABC中，BAC90，AD为中线，DEAB，

DFAC，若AB6，BC10，则DE______．

【答案】4

【分析】本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理等知识，根据勾股定

理求出AC，根据直角三角形斜边上中线的性质可得出ADBD，根据三线合一的性质得出

AEBE，然后根据三角形中位线定理即可求出DE．

【详解】解∶∵BAC90，AB6，BC10，

∴ACBC2AB28，

∵AD为中线，

1

∴ADBDCDBC，

2

∵DEAB，

∴BEAE，

1

∴DEAC4，

2

故答案为∶4．

【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，在矩形ABCD中，AB10，AD12，点N

是AB边上的中点，点M是BC边上的一动点连接MN，将BMN沿MN折叠，若点B的对

应点B，连接BC，则BC的最小值为______．当BMC为直角三角形时，BM的长为______．

10

【答案】8或5

3

【分析】本题考查翻折的性质，矩形的性质等知识，根据题意画出图形并分情况讨论是解题

关键．连接CN，则BCNCNB，当B在NC上时，BC取最小值，即可求解；分情况讨

论：当BCM90时，当CMB90时，当CBM90时，再分别利用勾股定理和翻折的

性质可得答案；

【详解】解：连接CN，

在矩形ABCD中，AB10，AD12，

∴BCAD12，ÐB=90°，

∵点N是AB边上的中点，

1

∴BNAB5，

2

∴CN13，

∵翻折，

∴BNBN5，

∴CN5212213

∵BCNCNB，

∴当B在NC上时，BC取最小值，最小值为1358；

∵△BMC为直角三角形，

当BCM90时，

∵点N是AB边上的中点，AB10，

1

∴ANBNBNAB5，

2

∵NBAD，

∴点B的对应点B不能落在CD所在直线上，

∴BCM90，不存在此类情况；

当CMB90时，如图所示，

由折叠性质可得，

1

BMNBMNBMB45，

2

1

∴BMBNAB5；

2

当CBM90时，如图所示

∵NBMCBM90，

∴B、N、C三点共线，

设BMBMx，则CM12x，

11

∴(12x)513x，

22

10

解得：x，

3

10

综上所述BM的长为或5．

3

10

故答案为：8；或5．

3

【变式3】（2024·广东广州·二模）如图，在Rt△ABC中，ÐB=90°，AD为BAC的平分

线．

(1)尺规作图：过点D作AC的垂线DE，交AC于点E．（不写作法，保留作图痕迹）

(2)若C30，AB3，则ACD的面积是______．

(3)求证：△ADE≌△CDE

【答案】(1)见解析

(2)33

(3)见解析

【分析】本题考查了作垂线，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判

定；

（1）根据过已知点作已知直线的垂线的方法解答即可；

（2）根据直角三角形的性质可得AC2AB6，从而得到BC33，再证得BAD30，

1

可得BDAD，从而得到BD3，进而得到CDBCBD23，即可求解；

2

（3）根据题意得到DAE30C，即可求证．

【详解】（1）解：如图所示，DE即为所求；

（2）解：∵在Rt△ABC中，ÐB=90°，C30，AB3，

∴BAC60，AC2AB6，

∴BC=AC2-AB2=62-32=33，

∵AD为BAC的平分线，

∴BAD30，

1

∴BDAD，

2

∴ABAD2BD23BD，

∵AB3，

∴BD3，

∴CDBCBD33323，

11

∴ACD的面积是CDAB23333．

22

（3）证明：∵在Rt△ABC中，ÐB=90°，C30，

∴BAC60，

∵AD为BAC的平分线，

∴DAE30C，

由（1）知，DEAC，

∴AEDCED90，

在ADE与CDE中，

DAEC

AEDCED90

DEDE

∴ADE≌CDEAAS．

题型04与平行四边形有关的计算与证明

解｜题｜策｜略

1.紧扣性质转化问题：运用平行四边形对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，将

问题转化为三角形全等、勾股定理或中位线问题进行求解。

2.掌握判定基本思路：根据已知条件选择判定方法——可证两组对边分别平行/相等，或一

组对边平行且相等，或对角线互相平分。

3.结合方程思想求解：涉及边长或角度计算时，常需设未知数列方程求解，利用平行四边

形的性质建立等量关系。

例1（2025·广东广州·二模）如图所示，在平行四边形ABCD中，BC8，AB5，BE平分

ABC交AD于点E，则DE__________．

【答案】3

【分析】本题考查了平行四边形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，解答本题的关

键是根据平行线的性质和角平分线的性质得出ABEAEB．

根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得

出ABEAEB，继而可得ABAE，然后根据DEADAE求解即可．

【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AE∥BC，ADBC，

AEBEBC，

BE平分ABC，

ABEEBC，

ABEAEB，

∴ABAE，

BC8，CD5，

DEADAE853．

故答案为：3．

例2（2025·广东广州·二模）如图，在平行四边形ABCD中，ABC的角平分线交边AD于

点E，AEB25，则D的度数是___________．

【答案】50

【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得

ABECBE，再由平行四边形的性质求解即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此

题的关键．

【详解】解：∵BE平分ABC，

∴ABECBE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴DABC，AD∥BC，

∴ABECBEAEB25，

∴DABCABECBE50，

故答案为：50．

【变式1】（2025·广东广州·二模）如图，在ABCD中，ACBC，DEAC于点E，若

CE2，DE4，则AE______．

【答案】3

【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，由平行四边形的性质和已知条件可

证明ACAD，设AEx，则ACADAECEx2，由勾股定理可得方程

2

x2x242，解方程即可得到答案．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ADBC，

∵ACBC，

∴ACAD，

设AEx，则ACADAECEx2，

∵DEAC，

∴AED90，

∴AD2AE2DE2，

2

∴x2x242，

解得x3，

∴AE3，

故答案为：3．

【变式2】（2025·广东广州·模拟预测）如图，E,F是ABCD的边AD上的两点，连接CE,BF

交于点O,△EOF的面积为4，BOC的面积为9，四边形ABOE的面积为7，则图中阴影部

分的面积为_______．

【答案】10

【分析】本题为相似三角形和平行四边形的综合题，利用平移的性质做出辅助线是解题的关

键．将ECD向左平移，使CD边与AB边重合，已知SEFO:SBOC4:9，且EFO∽CBO，

根据相似三角形的性质可得BO:OF3:2，从而得OF:BF2:5，继而得OF:BF2:5，

所以SEOF:SEBF4:25，再由SEFOSEFO4的面积为4，可得SEBF25，再求得

S四边形OFAB10，由S四边形FOCDS四边形OFAB即可得图中阴影部分的面积．

【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴ABCD，ADBC，AB∥CD,AD∥BC,

如图，将ECD沿DA向左平移，使CD边与AB边重合，O、E、F的对应点为O、E、F，

,,

则OF∥OFSEFOSEFO4S四边形FOCDS四边形OFAB

∵EOF的面积为4，BOC的面积为9，

∴SEFO:SBOC4:9，

∵AD∥BC

∴EFO∽CBO，

∴BO:OF3:2，

∴OF:BF2:5，

∴OF:BF2:5，

∵OF∥OF,

∴EOF∽EBF,

∴22

SEOF:SEBFOF:BF2:54:25

∴SEOF:SEBF4:25，

25

∴S425，

EBF4

∴S四边形OFAB2524710，

∴S四边形FOCDS四边形OFAB10．

故答案为：10．

【变式3】（2025·广东广州·一模）如图，点E在菱形ABCD的对角线BD上，射线AE交BC

于F，AB2．

(1)尺规作图：在AD延长线上找一点G，使得四边形DBFG为平行四边形；

(2)在（1）的前提下，FG交CD于点H，若BEFH，求CH的长度．

【答案】(1)见解析

(2)CH35

【分析】（1）延长AD到G，使得DGBF，连接FG即可；

（2）证明CHCF，设CHCFx，利用相似三角形的判定与性质及平行线分线段成比

例定理构建方程求解．

【详解】（1）解：如图，四边形DGFB即为所求；

（2）设CHx．

四边形ABCD是菱形，

CBCD，

CBDCDB，

四边形DBFG是平行四边形，

BD∥FG，

CFHCBD，CHFCDB，

CFHCHF，

CFCHx，

BE∥FH，BEFH，

四边形BEHF是平行四边形，

BFEHDG2x，

EH∥BF∥AG，

EFCH

FEH∽FAG，，

FACD

EHEF

，

AGFA

EHEFCH

，

AGFACD

2xx

，

4x2

解得x35或35（舍去），

经检验x35的分式方程的解．

CH35．

题型05与矩形有关的计算与证明

解｜题｜策｜略

1.活用性质转化问题：运用矩形四个角均为直角、对角线互相平分且相等等性质，将问题

转化为直角三角形勾股定理或全等三角形进行求解。

2.巧用对角线解题：矩形的对角线相等且互相平分，遇到中点或对角线条件时，常连接对

角线构造等腰三角形或直角三角形。

3.结合方程思想：涉及边长、角度或面积计算时，设未知数利用勾股定理或相似三角形建

立方程求解。

例1（2025·广东广州·一模）如图，在矩形ABCD中，若AB3，BD5，BC4DE，则线

段CE的长为________．

【答案】10

【分析】根据矩形的性质得到A90，BCAD，ABCD3，根据勾股定理得到

ADBD2AB24，由BC4DE，得DE1，根据勾股定理得到

CECD2DE2321210．

本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．

【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴A90，BCAD，ABCD3，

∵BD5，

∴ADBD2AB24，

∴BC4，

∵BC4DE，

∴DE1，

∴CECD2DE2321210，

故答案为：10．

例2（2024·广东广州·三模）数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如

图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中DE55，且

4

sinDFA，则矩形ABCD的面积为______．

5

【答案】80

【分析】首先根据折叠的性质得到DFEC90，然后根据同角的余角相等得到

4

DFABEF，进而得到sinBEFsinDFA，设BF4x，EF5x，则BE3x，

5

CEFE5x，进而求出AD8x8，DCDF10x10，最后利用矩形面积公式求解即

可．

【详解】解：∵矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，

∴DFEC90，

∴DFABFE90，

∵四边形ABCD是矩形，

∴AB90，

∴BEFBFE90，

∴DFABEF，

4

∴sinBEFsinDFA，

5

∴设BF4x，EF5x，则BE3x，CEFE5x，

∴ADBC8x，

4

∵sinDFA，

5

∴DF10x，

∵DFEC90，DE55，

222

∴DF2EF2DE2，即10x5x55，

解得：x1，负值舍去，

∴AD8x8，DCDF10x10，

∴矩形ABCD的面积ADCD81080．

故答案为：80

【变式1】（2024·广东广州·一模）如图，在矩形ABCD中，AB6，AD8，点E，F分

别是边CD，BC上的动点，且AFE90．

（1）当BF5时，tanFEC______；

（2）当AED最大时，DE的长为_______．

6101

【答案】/3

533

【分析】（1）证明AFB90EFCFEC，利用tanAFBtanFEC计算即可；

（2）当BC与O相切时，AFD的值最大，此时，AED也最大，利用三角形相似计算

即可．

【详解】（1）∵矩形ABCD中，AB6，AD8，

∴ABF90,FCE90

∵AFE90，

∴AFB90EFCFEC，

AB6

∴tanAFBtanFEC，

BF5

6

故答案为：．

5

（2）如图，取AE的中点O，连接OD,OF,DF．

∵矩形ABCD中，AB6，AD8，

∴ADE90，

∵AFE90，

∴A、D、E、F四点共圆，

∴AEDAFD，

∴当BC与O相切时，AFD的值最大，此时，AED也最大，

∴OFBC，

∵矩形ABCD中，AB6，AD8，

∴ADEABF90，

∴OFABEC，

EOCF

∴，

OABF

1

∴BFCFBC4，

2

∵AFE90，

∵矩形ABCD中，AB6，AD8，

∴ABF90,FCE90

∵AFE90，

∴AFB90EFCFEC，

∴△AFB∽△FEC，

BFAB

∴，

ECFC

46

∴，

EC4

8

∴EC，

3

810

∴DECDEC6，

33

10

故答案为：．

3

【变式2】（2024·广东广州·二模）如图，在矩形ABCD中，AD6，AEBD，垂足为E．

（1）若AB4，则AE______________________；

（2）若ED3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则APPQ的最小值为__________________．

1213

【答案】33

13

【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，轴对称的应用．

（1）由勾股定理可求BD的长，由面积法可求AE的长；

（2）在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A，

连接AD，可证明ADA为等边三角形，当PQAD时，则PQ最小，所以当AQ⊥AD时

APPQ最小，从而可求得APPQ的最小值等于DE的长．

【详解】解：（1）AD6，AB4，

BDAB2AD23616213，

11

SABADBDAE，

ABD22

46213AE，

1213

AE，

13

故答案为：1213；

13

（2）如图，如图，设A点关于BD的对称点为A，连接AD，PA，

设BEx，则DE3x，

四边形ABCD为矩形，AEBD，

BADAEBAED90，

BAEDAE90BAEABE，

ABEDAE，

ABE∽DAE，

AE2BEDE，即AE23x2，

AE3x，

在Rt△ABE中，由勾股定理可得AD2AE2DE2，

22

即623x3x，解得x3，

AE3，DE33，

如图，设A点关于BD的对称点为A，连接AD，PA，

则AA2AE6AD，ADAD6，

AAD是等边三角形，

PAPA，

当A、P、Q三点在一条线上时，APPQ最小，

又垂线段最短可知当PQAD时，APPQ最小，

APPQAPPQAQDE33，

故答案为：33．

【变式3】（2025·广东广州·二模）如图1，在矩形ABCD中，点P在AD边上，AB2，AP1，

DP4，连接BP，CP，令BPC．

(1)证明：90；

(2)将绕点P从如图1位置顺时针旋转，两边分别与AB、BC相交于点E、F，当点

E与A重合时停止．

①证明：PEF的值是定值，并求出PEF的正切值；

②求从开始到停止，线段EF的中点O经过的路径长．

【答案】(1)见解析

(2)①证明见解析，正切值为2；②5

【分析】（1）根据已知条件可证得△APB∽DCP，可得PBADPC，再根据

APBPBA90可得答案；

（2）①，作FHAD于H，则FHAB2，可证明APE∽HFP，利用相似可得PEF

的正切值；

11

②点O为EF的中点，根据直角三角形斜边上的中线性质得POEF，BOEF，则可

22

判定点O在线段PB的垂直平分线上，如图2，点F点与C点重合时，点O在BC的中点M处；

当点E与点A重合时，点O在线段PB的中点N处，所以线段EF的中点O经过的路径长即

为MN的长度，且可知MN为PCB的中位线，利用勾股定理求出PC长度，则得到MN的

长度，题目可解．

【详解】（1）证明：四边形ABCD为矩形，

AD90，ABCD2，

AP1，DP4，

APAB1

，

CDDP2

APB∽DCP，

PBADPC，

APBPBA90，

APBDPC90，

BPC90，

90；

（2）①证明：由旋转可知：EPF90；

如图2，作FHAD于H，则FHAB2，

∵EPF90，

∴APEHPF90，

APEAEP90，

AEPHPF，

又APHF90，

∴APE∽HFP，

PFFH2

2，

PEAP1

PF

PEF的正切值2，

PE

PEF为锐角，

∴PEF的值是定值；

11

②解：如图3，取点O为EF的中点，则POEF，BOEF，

22

POBO，

点O在线段PB的垂直平分线上，

如图4，点F与C点重合时，由（1）知点E与点B重合，则点O在BC的中点M处；

如图5，当点E与点A重合时，

∵EPF90，故PFBC，

则此时四边形EBFP为矩形，

∵点O为线段EF的中点，

∴O也为线段PB的中点，

故此时O与PB的中点N重合，

∴线段EF的中点O经过的路径长即为MN的长度，如图6，

DP4，DC2，

CP224225，

∵M是BC的中点，N为BP的中点，

MN为PCB的中位线，

1

MNPC5，

2

即线段EF的中点O经过的路线长为5．

题型06与菱形有关的计算与证明

解｜题｜策｜略

1.紧扣性质转化问题：运用菱形四条边相等、对角线互相垂直平分、每条对角线平分一组

对角等性质，将问题转化为直角三角形或全等三角形进行求解。

2.掌握判定基本思路：根据条件选择判定方法——可证平行四边形+一组邻边相等，或证平

行四边形+对角线垂直，或直接证四条边相等。

3.灵活运用面积公式：菱形面积可用底乘高或对角线乘积的一半计算。广州卷常结合勾股

定理和方程思想求边长或对角线长。

例1（2025·广东广州·二模）如图，在菱形ABCD中，ABC60,AB8，分别以点B和点D

为圆心，线段BD长的一半为半径作圆弧，交AB、BC、CD、AD于点E、F、G、H，则图中

阴影部分的面积为___________.

【答案】32316

【分析】本题考查了菱形的性质，30角直角三角形的性质，勾股定理，扇形面积公式，熟

练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．

连接AC与BD交于点O，先根据菱形的性质结合30角直角三角形的性质求出对角线

AC,BD的长，继而得到菱形的面积，再由扇形面积公式求解S扇形BFE，最后由

S阴影S菱形S扇形BFES扇形DHG．

【详解】解：连接AC与BD交于点O，

∵菱形ABCD，ABC60ADC，

1

∴ACBD，BOOD,AOOC，ABOABC30，

2

11

∴AOAB84，

22

∴BOAB2AO243，

∴AC2AO8,BD2BO83，

2

11

∴，6043，

S菱形ACBD883323SS8

22扇形BFE扇形DHG360

∴S阴影S菱形S扇形BFES扇形DHG32316，

故答案为：32316．

例2（2025·广东广州·一模）如图，在菱形ABCD中，B60，点G、E分别在边BC、CD

上，BGDE，将△AED沿AE折叠，点D落在AG延长线上的点F处，则CGF的大小

是_______．

【答案】80/80度

【分析】本题考查了菱形性质，全等三角形性质和判定，折叠的性质，三角形内角和定理，

解题的关键在于熟练掌握相关性质．

根据菱形性质，证明△ABG≌△ADE，结合全等三角形性质和判定，折叠的性质推出

1

FAEDAEBAGBAD40，再利用三角形内角和定理求解，即可解题．

3

【详解】解：四边形ABCD是菱形，B60，

ABAD,BAD120，

BGDE，

ABG≌ADESAS，

BAGDAE，

1

由折叠的性质可知，FAEDAEBAGBAD40，

3

AGB180BBAG80，

CGFAGB80，

故答案为：80．

【变式1】（2024·广东广州·一模）如图，点E为菱形ABCD的边AD上一点，且AE3，DE2，

点F为对角线AC上一动点，若DEF的周长最小值为6，则sinBCD______．

4

【答案】/0.8

5

【分析】本题考查了菱形的性质，轴对称—最短路径问题，勾股定理逆定理，锐角三角函数，

推出ABE是直角三角形是解题关键．连接BF、BE，根据菱形好轴对称的性质，得到

EFDFBE，进而求出BE4，再利用勾股定理逆定理，推出ABE是直角三角形，再求

正弦值即可．

【详解】解：如图，连接BF、BE，

四边形ABCD是菱形，AE3，DE2，

ABAD5，点D和点B关于AC对称，BCDBAD，

BFDF，

EFDFEFBFBE，

DEF的周长DEEFDF2BE，

DEF的周长最小值为6，

BE4，

AE29，BE216，AB225，

AE2BE2AB2，

ABE是直角三角形，AEB90，

BE4

sinBAD，

AB5

4

sinBCD，

5

4

故答案为：

5

【变式2】（2023·广东广州·一模）如图，菱形ABCD中，ABAC，点E、F分别为边AB、

BC上的点，且AEBF，连接CE、AF交于点H，连接DH交AC于点O．则下列结论：

①△ABF≌△CAE，②AHC120，③AHCHDH，④AD2ODDH中，正确的是

________．（填序号）

【答案】①②③④

【分析】①由菱形ABCD中，ABAC，可证ABC是等边三角形，则可得BEAC60，

由SAS即可证得△ABF≌△CAE；②由①则可得BAFACE，利用三角形外角的性质即

可求得∠AHC=120°；③在HD上截取HKAH，连接AK，易得点A，H，C，D四点共圆，

则可证得AHK是等边三角形，然后由AAS即可证得AKD≌AHC，则可证得

AHCHDH；④根据已知条件证得OAD∽AHD，由相似三角形的对应边成比例，即

可得AD2OD•DH．

【详解】解：①∵四边形ABCD是菱形，

∴ABBC，

∵ABAC，

∴ABBCAC，即ABC是等边三角形，

同理：△ADC是等边三角形

∴∠B=∠EAC=60°，

在△ABF和CAE中，

BF＝AE

B＝EAC，

BC＝AC

∴ABF≌CAE（SAS）；故①正确；

②∵ABF≌CAE（SAS），

∴BAFACE，

∵AEHBBCE，

∴

AHCBAFAEHBAFBBCEBACEBCEBAC