高中数学必修二《第十章 概率》同步练习

《第十章概率》同步练习

10.1随机事件与概率

10.1.1有限样本空间与随机事件

基础巩固训练

一、选择题

1.下列事件中，随机事件的个数为（）

①明天是阴天；②方程V+2x+5=0有两个不相等的实根；③明年长江武汉

段的最高水位是29.8in；④三角形中任意两边的和大于第三边.

A.1B.2

C.3D.4

答案B

解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件.

2.一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任

意摸一个球得到白球”，这个事件是（）

A.随机事件B.必然事件

C.不可能事件D.不能确定

答案A

解析一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从

中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件.故选A.

3.掷两枚骰子，所得点数之和记为X那么才=4表示的随机试验结果是（）

A.一枚是3点，一枚是1点

B.一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点

C.两枚都是4点

D.两枚都是2点

答案B

解析掷两枚骰子，所得点数之和记为X那么乃=4表示的随机试验结果是

一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点.故选B.

4.在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活

动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生.若要使

①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则才为（）

A.5B.6

C.3或4D.5或6

答案C

解析由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，・・・x=3

或x=4.故选C.

5.在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数

字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值

为2或4的事件包含的样本点个数为（）

A.2B.4

C.6D.8

答案B

解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含

（1,3）,（1,5）,（2,4）,（3,5）4个样本点，选B.

二、填空题

6.“函数y=H（a>0,且dWl）在定义域（一8,1］上是增函数”是

事件.

答案随机

解析当a>l时，在（-8,1］上是增函数.当0<水1时，尸H在（一

8,1］上是减函数，故事件随，值变化会有不同结果，为随机事件.

7.将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为Ac,则方程/+-+。=

0有实数根的样本点个数为.

答案19

解析一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个.其中方程有

关根的充要条件为斤24衣，共有1+2+4+6+6=19个样本点.

b123456

方样本点数012466

8.同样抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点

个数分别为.

答案8,3

解析由题意，样本点的总个数为2，=8,恰好有2个正面朝上的样本点为正

正反、正反正、反正正，共3个.

三、解答题

9.己知集合"={-1,0,1,2},从集合"中有放回地任取两元素作为点尸的

坐标.

(1)写出试验的样本空间；

(2)求“点P落在坐标轴上”的样本点个数.

解(1)样本空间。={(一1,—1),(—1,0),(―1,1),(―1,2),(0,—

1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,-1),(1,0),(1,1),(1,2),(2,-1),(2,0),

(2,1),⑵2)}.

(2)用事件力表示“点〃落在坐标轴上”这一事件，则/包含的样本点有(一

1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),共7个.

能力提升训练

做试验”从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成

有序数对(x,0,x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”.

(1)写出这个试验的样本空间；

(2)求这个试验样本点的总数；

(3)写出事件4“第1次取出的数字是2”的集合表示；

(4)说出事件B={(0,1)，(0,2)}所表示的实际意义.

解(1)这个试验的样本空间为{(0,1),(0,2),(1,0),(1,2),(2,0),

⑵1)}.

(2)易知这个试验的样本点的总数是6.

(3)J={(2,0),(2,1)).

(4)事件4表示“第1次取出的数字是0”.

10.1.2事件的关系和运算

基础巩固训练

一、选择题

1.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设力=｛两弹都击

中飞机｝,8=1两弹都没击中飞机｝,公｛恰有一弹击中飞机｝,g｛至少有一弹击

中飞机｝,下列说法不正确的是（）

A.AQDB.

C.AUC=DD.AUC=BUD

答案D

解析由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹

击中飞机，故有力故A正确.由于事件反〃是互斥事件，故4Ago,故B

正确.再由/UC=〃成立可得C正确./UC=〃=：至少有一弹击中飞机｝,不是必

然事件，而夕UZ?为必然事件，故D不正确.

2.抽查10件产品，设力=｛至少有2件次品:•，则力等于（）

A.｛至多有2件次品｝B.｛至多有两件正品｝

C.｛至少有两件正品｝D.｛至多有一件次品｝

答案D

解析“至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2,对立事件则应该

为，，至多有一件次品，，，故选以

3.一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是（）

A.至多有一次为正面B.两次均为正面

C.只有一次为正面D.两次均为反面

答案D

解析对于A,至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不

是互斥事件；对于B,两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是

互斥事件；对于C,只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是

互斥事件；对于D,两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互

斥事件.故选D.

4.从1,2,3,…，9中任取两数，其中：①怜有一个偶数和恰有一个奇数；

②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少

有一个奇数和至少有一个偶数.则在上述事件中，是对立事件的是（）

A.①B.②④

C.③D.①③

答案C

解析从1〜9中任取两数，有以下三种情况：（1）两个均为奇数；（2）两个均

为偶数；（3）一个奇数和一个偶数.故选C.

5.从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对

立的两个事件的是（）

A.至少有一个红球；至少有一个白球

B.恰有一个红球；都是白球

C.至少一个红球；都是白球

D.至多一个红球；都是红球

答案B

解析A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个

白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C,D中的两个事件互斥且对

立.

二、填空题

6.在抛掷一枚骰子的试验中，事件力表示“出现不大于4的偶数点”，事件

8表示“出现小于5的点数”，则事件力U7表示.

答案出现的点数为2,4,5,6

解析因为彳表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以力

U彳表示“出现的点数为2,4,5,6”.

7.同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3,4,…，11,12中的一

个.记事件A为“点数之和是2,4,7,12",事件B为“点数之和是

2,4,6,8,10,12",事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”

可记为________.

答案

解析,・,事件4={2,4,7,12},事件夕={2,4,6,8,10,12},

{2,4,12}.又。={9,10,11,12},・"4822={2,4}.

8.从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组

事件：

①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”；

②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”；

③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”：

④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A,K,Q,

J之一”，

其中互为对立事件的有(写出所有正确的编号).

答案②④

解析从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，

①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；

②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；

③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故

更不会是对立事件；

④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A,K,Q,

J之一”是互斥事件，也是对立事件.

故答案为②④.

三、解答题

9.甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：

(1)密码被破译；(2)至少有一人破译；

(3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译；

(5)只有甲破译；(6)密码未被破译.

解用4,B,。分别表示甲、乙、丙破译密码，则

(D4U8ua(2)ZU8UG(3)/nlcZ+Tn8Gz+7ri7nc+Tn7

g了；(4)jn^n?+7n^n7+7n^nr；(5)力了；(6)7n^n?.

能力提升训练

判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由.

某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中：

(D恰有1名男生和恰有2名男生；

(2)至少有1名男生和至少有1名女生；

(3)至少有1名男生和全是男生；

(4)至少有1名男生和全是女生.

解(1)是互斥事件，不是对立事件.

理由是：在所选的2名同学中，”恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1

名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其

并事件不是必然事件，所以不是对立事件.

(2)既不是互斥事件，也不是对立事件.

理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”

两种结果.“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”

两种结果，他们可能同时发生.

(3)既不是互斥事件，也不是对立事件.

理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，

这与“全是男生”可能同时发生.

(4)既是互斥事件，又是对立事件.

理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”

两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他

们是对立事件.

10.1.3古典概型

基础巩固训练

一、选择题

1.下列概率模型中，是古典概型的个数为()

①从区间［1,10］内任取一个数，求取到1的概率；

②从1〜10中任意取一个整数，求取到1的概率；

③在一个正方形内画一点P,求点〃刚好与点A重合的概率;

④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率.

A.1B.2

C.3D.4

答案A

解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本

点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的

可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不

是有限的，故不是古典概型.故选A.

2.从集合仿，b,。d,e｝的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合｛协

b,d的子集的概率是（）

3211

A.-B.-C.TD.三

5548

答案C

解析集合｛a,b,c,d,e｝共有25=32个子集，而集合｛a,b,c｝的子集有

O1

2三8个，所以所求概率为卷=不

3.某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概

率为（）

1111

儿mB.-C,-D.-

答案C

解析设两款优惠套餐分别为力，列举样本点如图所示.

甲的选择

乙的选择

丙的选择

由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的.其中甲、

乙、丙三位同学选择同一款套餐包括（441），（反B,物,共2个样本点，故

21

所求概率为八

o4

4.甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a,再由乙猜甲刚才

想的数字，把乙猜出的数字记为小且a,匕£｛1,2,3,4）,若|a—ZdWl,则称甲

乙“心有灵犀”.现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为

（）

35,35

A，8B'8C'T6D，W

答案B

解析两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，这16个

样本点发生的可能性是相等的.其中满足|a—引W1的样本点有（1,1）,（1,2）,

（2,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）,（3,4）,（4,3）,（4,4）,共10个,故他们

1o5

“心有灵犀”的概率为h=：

10O

5.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调

查.已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在

从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为（）

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

答案D

解析记2名喜欢甜品的学生分别为囱，改,3名不喜欢甜品的学生分别为6,

b、.

从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个，分另IJ为（a,&,M,

（国，%,&）,（句，包，b）,（句，b\,&）,（句，b\,b）,（国，&）,（及，b\,

㈤，（电力，幻，（及,生&）,2,也,伍），这10种结果发生的可能性是相等

的.

记事件力表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件月所包含的样本点有⑵，力，

b）,（国，b、,&）,（e，&）,（a,b\,b）,（全，h,&）,（a,8，&）,（力，

心㈤，共7个.根据古典概型的概率计算公式，得至多有1人喜欢甜品的概率

7

P（A）=—=Q.7f故选D.

二、填空题

6.同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为

答案i

解析同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36,这36个样本点发生的可

能性是相等的,满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6),(3,4),

41

(4,3),(6,2),共4个,故所求概率为证=占

doy

7.从｛1,2,3,4,5｝中随机选取一个数为%从｛1,2,3)中随机选取一个数为b,

则b>a的概率是.

答案I

解析抽取的日"组合有(1,1),(1,2),(1,3：,(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),

(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),(5,3),共15种情况，这

15种情况发生的可能性是相等的.其中(1,2),(1,3),(2,3)满足》&故所求概

8.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,btc,当且仅当有

两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a,b,cE

｛1,2,3,4｝,且a,力，。互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是_______.

答案I

解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321,共6个；

同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，

由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等

的.由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为

191

“有缘数”的概率为何

三、解答题

9.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方

法是：从装有2个红球4,4和1个白球〃的甲箱与装有2个红球且，绕和2个

白球。，勿的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否

则不中奖.

(1)用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不

中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.

解(1)所有可能的摸出结果是(4,句)，(4，及),(Ai,仇)，(4,&),(册

句)，(力2,,(力2，力J,(4,b),(B,a),(B,改)，(6,b[),(B,b).

(2)不正确，理由如下：

由(1),知所有可能的摸出结果共12种，且这12种结果发生的可能性是相等

的.其中摸出的2个球都是红球的结果有{4,可},伪，初,U,a,},{〃，&},

4112

共4种，所以中奖的概率为石=鼻，不中奖的概率为1一鼻=鼻，故不中奖的概率比

1/JJJ

较大.

能力提升训练

小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共

3道，另一种是填空题，共2道.

(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一

种题型的概率；

(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一

种题型的概率.

解(D将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5.

从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回),样本空间。={(1,2),

(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),(3,2),(3,4),

(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,5),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4)),共20

个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的.

设事件力为“所选的题不是同一种题型”，则事件力包含的样本点有(1,4),

(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),

12

(5,3),共12个，所以尸(4)=指=0.6.

(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间。={(1,1),

(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(3,1),

(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(5,1),

(5,2),(5,3),(5,4),(5,5)),共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是

相等的.

设事件8为“所选的题不是同一种题型”，则事件8包含的样本点有(1,4),

(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,1),(4,2),(4,3),(5,1),(5,2),

12

(5,3),共12个，所以P(0=^=0.48.

10.1.4概率的基本性质

基础巩固训练

一、选择题

1.甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为:，则乙队不输的概率为

()

、5n3八2nl

A."B.-C."D."

o433

答案C

12

解析乙队不输的概率为1—鼻=可.

2.某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，

出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%,则抽检一件是正品(甲级)的概率为

()

A.0.95B.0.97

C.0.92D.0.08

答案C

解析设事件“抽检一件是甲级”为事件4“抽检一件是乙级”为事件昆

“抽检一件是丙级”为事件G由题意可得事件彳，昆C为互斥事件，且以用+

P(而+尸(。=1,因为乙级品和丙级品均属次品，且P(0=O.O5,。(。=0.03,

所以产(⑷=1一尸⑻一尸(。=0.92.故选C.

3.已知随机事件儿B,。中，/与4互斥，4与C对立，且产(4)=0.3,P9

=0.6,则尸C4+W=()

A.0.3B.0.6

C.0.7D.0.9

答案C

解析•・•随机事件4&。中，A与B互斥,6与C对立，〃(4=0.3,P9

=0.6,・・・2(夕=1一尸(6)=0.4,P(A+吩=P(A)+P(及=。.7.选C.

4.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现

金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为()

A.0.3B.0.4

C.0.6D.0.7

答案B

解析设事件/为只用现金支付，事件一为只用非现金支付，事件。为既用

现金支付也用非现金支付，则户(4)+也用+尸(。=付因为支力)=0.45,P9=

0.15,所以〃(所=0.4.故选B.

5.掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为:事件力表示“小于5的偶数点

出现”，事件一表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件力+力(彳表示

事件B的对立事件)发生的概率为()

A.：B.JC.~D.1

JNJb

答案C

解析由题意，知7表示“大于或等于5的点数出现”，事件力与事件7互

__2242

斥，由概率的加法计算公式可得〃(力+B)=尸(4)+2(8)

6ob3

二、填空题

6.在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随

9

机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为布，则参加联欢会的教师共有

jU

_______人.

答案120

解析设参加联欢会的教师共有〃人，由于从这些教师中选一人，“选中男

9

教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1-指

=非.再由题意，知名一为=12,解得〃=120.

乙U乙U乙U

7.给出命题：（1）对立事件一定是互斥事件；（2）若48为两个事件，则〃（力

口夕=〃（/）+夕（⑥；（3）若事件4B,。两两互斥，则〃（/1）+夕（而+〃（6）=1；（4）

若事件48满足（⑸=1,则月，8互为对立事件.

其中错误命题的个数是.

答案3

解析由互斥事件与对立事件的定义可知（1）正确；只有当事件48为两个

互斥事件时才有小/口份:以用+Q（而，故（2）不正确；只有事件4B,。两两互

斥，且。时，才有尸（1）十尸（而十尸（。一1,故（3）不正确；由对立事件

的定义可知，事件力，〃满足以力）+P（而=1且时，力，8才互为对立事件，

故⑷不正确.

8.甲射击一次，中靶的概率是R,乙射击一次，中靶的概率是R,已知

J是方程5x+6=0的根，且幺满足方程）+:=0.则甲射击一次，不中靶

124

的概率为;乙射击一次，不中靶的概率为.

答案--

口来23

解析由幺满足方程V—x+}=0知，

月一片+；=0,解得丹="

因为.，:是方程f—5x+6=0的根，

r।/2

所以1・9=6,解得鸟=；

看尸2O

因此甲射击一次，不中靶的概率为1一＜=］乙射击一次，不中靶的概率为1

乙乙

12

3一3，

三、解答题

9.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4.

先从袋中随机取一个球，该球的编号为制将球放回袋中，然后再从袋中随机取

一个球，该球的编号为〃，求水加+2的概率.

解先从袋中随机取一个球，记下编号为/〃，放回后，再从袋中随机取一个

球，记下编号为〃，其一切可能的结果(以，力有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)，

(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),

(4,3),(4,4),共16个，这16个结果出现的可能性是相等的.

又满足条件〃2/〃+2的有(1,3),(1,4),(2,4),共3个.

所以满足条件〃，力+2的事件的概率为尸尸白

16

Q1Q

故满足条件〃〈W+2的事件的概率为1—1=1一苦.

1616

能力提升训练

某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1

小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算).现

有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时.

(1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为:，停车费多于14元的概率

O

为石，求甲的停车费为6元的概率；

(2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停

车费之和为28元的概率.

解(1)记“一次停车不超过1小时”为事件4“一次停车1到2小时”为

事件B,“一次停车2到3小时”为事件C,“一次停车3到4小时”为事件D.

15

由已知得p(a=鼻，p(c+〃)=—

OJL乙

又事件4B,C,。互斥，所以尸(4)=1

3124,

所以甲的停车费为6元的概率为;.

(2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),

(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),

(4,4),共16个，这16种情况发生的可能性是相等的;而“停车费之和为28元”

的事件有(1,3),(2,2),(3,1),共3个.

3

所以所求概率为京

10.2事件的相互独立性

基础巩固训练

一、选择题

12—

1.若48是相互独立事件，且〃(力)=彳，=-,则)

答案A

19_

解析・・・力，夕是相互独立事件，旦夕(⑷=彳夕⑻=亍则/与彳也是相互独

,,——111

立事件，.・・〃(48)=〃(力)・〃(8)=彳义鼻=石.故选A.

4JJL/

2.已知力，8是两个相互独立事件，夕(力)，狄戌分别表示它们发生的概率，

则1一一(4)一(⑤是下列哪个事件的概率？()

A.事件43同时发生

13.事件儿6至少有一个发生

C.事件4夕至多有一个发生

D.事件4〃都不发生

答案C

解析P(力夕(而是指40司时发生的概率，1一户(用刀⑶是44不同时发生

的概率，即至多有一个发生的概率.

3.在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3,乙地下雨的概率为0.4,假设在

这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的

概率为（）

A.0.12B.0.88

C.0.28D.0.42

答案D

解析占（1—0.3）X（1-0.4）=0.42.

4.袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地

抽取3次，则3次全是红球的概率为（）

1111

A，4B，9C，3D，27

答案D

解析有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件.每次取出的球为红球

的概率为“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为，

5.甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙

队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率

为（）

3n2八31

"彳K3C5D-2

答案A

解析问题等价为两类：第一类，第一局甲嬴，其概率幺=今第二类，需比

赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率鸟=9x1=；.故甲队获得冠军的概率

乙乙

为片+鸟=*

二、填空题

6.某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门.一次该人醉酒回

家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后乂不加记号放回，则该人第三次

打开家门的概率是.

49

答案

512

解析由已知每次打开家门的概率为:，则该人第三次打开家门的概率为

O

7.一道数学竞赛试题，中同学解出它的概率为乙同学解出它的概率为

4O

丙同学解出它的概率若，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概

率为.

如玄—

口茶24

解析只有一人解出的概率/^=9><?><7+9><^><7+9><qx7=97-

8.国庆节放假，甲去北京旅游的概率为:，乙、丙去北京旅游的概率分别为:，

7.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的

o

概率为________.

小小3

答案i

解析因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为:，p!因此，他们不去北京

34b

旅游的概率分别为？2不3?4所以，至少有1人去北京旅游的概率为片1一9炉?3><二4

34b34b

_3

三、解答题

43

9.某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为二，乙当选的概率为4

□□

7

丙当选的概率为77.

(1)求恰有一名同学当选的概率;

(2)求至多有两人当选的概率.

解设甲、乙、丙当选的事件分别为力，B,2则有

437

P(A)=-,-(.=£,P(6)=—

5510

(1)因为事件4B、。相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为

P(A~B~C)+前)+尸(77。

=尸(力)尸(7)尸(下)+〃(7)〃(而〃(，)+尸(7)尸(7)〃(。

42313312747

=7X7X-+-XTX-T+-X-X—=—

5510551055102o0

(2)至多有两人当选的概率为

43783

l-P(ABC)=l-P(.A)P^P(O=l--X-X—=—

001UI/O

能力提升训练

某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米

2RI

跑(互不影响)的成绩在13s内(称为合格)的概率分别为4若对这三名短

043

跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求：

(1)三人都合格的概率；

(2)三人都不合格的概率；

(3)出现几人合格的概率最大.

解设甲、乙、因三人100米跑成绩合格分别为事件4B,C,显然事件4

231

B，。相互独立，则〃(7)='〃(而=彳，P9=0

设恰有々人合格的概率为月(4=0,1,2,3).

(1)三人都合格的概率为

2311

月=P(ABO=PC4)P(^P(。=7XX-=—

□7431U

(2)三人都不合格的概率为

_________3121

P.=P(7~B'C)=P(7)P(~B)K~C)=-X-X-=—

□43iU

（3）恰有两人合格的概率为

232,211,33123

P尸P(ABC)+〃(ABC)=-X-X--\--X-X--\--X-X-=—

54354354360

恰有一人合格的概率为

1231255

己=1—吕一己_8=1_诃_而_m=而=1?

综合（1）（2）可知£最大.

所以出现恰有一人合格的概率最大.

10.3频率与概率

基础巩固训练

一、选择题

1.某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次.若

用力表示正面朝上这一事件，则事件力的（）

A.概率为与B.撅率为与

O0

C.频率为6D.概率接近0.6

答案B

解析事件力=｛正面朝上｝的概率为因为试验次数较少，所以事件力的频

乙

率为1,与概率值相差太大，并不接近.故选B.

2.抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面

朝上的概率为（）

11991

A—R—「—n—

991001002

答案D

解析・・,第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等

可能发生，..•所求概率为

3.袋子中有四个小球，分别写有“东”“方”“骄”“子”四个字，从中任

取一个球，取后放回，再取，直到取出“骄”字为止，用随机模拟的方法，估计

第二次就停止的概率.且用1,2,3,4表示取出的小球上分别写有

“东”“方”“骄”“子,，这四个字，每两个随机数为1组代表两次的结果，经

随机模拟产生了20组随机数：

2314123133

4144223143

1213244232

2311433124

则第二次停止的概率是（）

111

A---

*4B.5D.6

答案A

解析由20组随机数，知直到第二次停止的有：23,43,13,23,43,共5组,

故所求概率为P=\.故选A.

4.通过模拟实验，产生了20组随机数:

68303013705574307740

44227884260433460952

68079706577457256576

59299768607191386754

如果恰有三个数，彳在1,2,3,4,5,6中，则表不恰有三次击中目标，则四次射

击中恰有三次击中目标的概率约为（）

答案A

解析表示恰有三次击中目标的有：3013,2604,5725,6576,6754,共5组,

51

随机数总共20组，故四次射击恰有三次击中目标的概率约为布=不

乙uq

5.一个样本量为100的样本，其数据的分组与各组的频数如下:

组别[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60](60,70]

频数1213241516137

则样本数据落在（10,40］上的频率为（）

A.0.13B.0.39

C.0.52