高中数学圆锥曲线题型总结

直线和园锥曲线常考锥曲线经题型

运用的知识：

1.中点坐标公式：，其中是点的中点坐标。

2、弦长公式：若点在宜线上，

则，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一,

或者I4身=依-%）2+（＞1-%了,（1+，）（另一%）2

3.两条直线垂直：则

两条直线叁直，则直线所在的向量

4.韦达定理：若一元二次方程有两个不同的根，则。

常见的一些题型：

题型-：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系

例题1.已知直线与椭圆始终有交点，求的取值范围

解：根据亘线的方程可知，直线恒过定点（0.1）,椭圆过动点，如果直线和椭圆始终有交点，则，即。

规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点：

题型二：弦的垂直平分线问题

例题2.过点T（-l,0）作直线与曲线N:交于A.B两点，在x轴上是否存在一点E（,0；,使得是等边三角形，若存在，求出：若不存在，请说明理

由。

解：依题意知I,直线的斜率存在，且不等于0。

设直线。

由消y整理，得

①

由直线和抛物线交于两点，得

即

由韦达定理，得：。

则线段的e点为。

线段的垂巨平分线方程为:

令。，得，则

为正三角形，

到直线的於离d为。

解得满足②式

此时。

题型三：动弦过定点的问题

例题3.已知椭圆C:的离心率为，且在x轴上的顶点分别为Al（-2,0）2（2,0）。

（I）求椭圆的方程;

（）若直线与x轴交干点T,点P为直线卜异于点T的任一点，直线12分别与椭IM交干M、N点，试问直线是否通过海圆的焦点？并证明

你的结论

解：（I）由已知椭圆C的离心率,,则得。

从而椭圆的方程为

()设,，直线的斜率为.则直线的方程为，由消y整理得

是方程的两个根，

则,，

即点M的坐标为，

同理，设直线A2N的斜率为k2,则得点N的坐标为

直线的方程为：，

令0,得，洛点M、N的坐标代入，化简后得：

乂，

椭圆的焦点为

,即

故当时,过椭圆的焦点。

题型四：过已知曲线上定点的弦的问题

例题4.已知点A.B.C处椭圆E:上的三点，其中点A是椭圆的右顶点，宜线过椭圆的中心O,且,,如图。

⑴求点C的坐标与椭圆E的方程；

()若椭圆E上存在两点P、Q,使得直线与直线关于直线对称，求直线的斜率。

解：⑴,且过椭圆的中心O

又

点C的坐标为。

A是椭圆的右顶点，

,则椭圆方程为：

将点C代入方程，得.

椭圆E的方程为

()直线与直线关于直线对称、

设直线的斜率为，则直线的斜率为，从而直线的方程为：

,即

由消y,整理得:

是方程的一个根，

即

同理可得：

则宜线的斜率为定值。

题型五：共线向量问题

例题5.设过点D(0,3)的直线交曲线M:于P、Q两点，且,求实数的取值范围。

解：设P(xll)(x22),

（xll-3）=（x22-3）

即

方法一：方程组消元法

又P、Q是椭圆1上的点

消去x2,

可得

即y2=

又一2y22,

-22

解之得：

则实数的取值范围是。

方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

设直线的方程为：，

由消y整理后，得

P、Q是曲线V上的两点

即①

由韦达定理得：

即②

由①得，代入②，整理得

9

解之得

当£［线的斜率不存在，即时，易知或。

总之实数的取值范围是。

题型六：而积问题

例题6、已知椭圆C:（a>b>0）的离心率为短轴一个端点到右焦点的距离为。

（I）求椭圆C的方程：

（II）设亘线I与椭圆C交于A.B两点,坐标原点0到直线1的距离为.求△面积的最大值。

解：（I）设椭圆的半焦距为，依题意

,所求确园方程为。

（II）设，。

(1)当轴时，。

(2)当与轴不垂直时,

设直线AB的方程为y=kx+tn.

由已知，得。

把代入椭圆方程，整理得，

当且仅当，即时等号成立。当时,,

综上所述=2,

当最大时，面枳取最大值。

题型七：弦或弦长为定值问题

例题7、在平面直角坐标系中.过定点C(O.p)作直线与抛物线x2=2(pX))相交于A.B两点。

(I)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△面积的最小值：

(II)是否存在垂直于y轴的直线I,使得I被以为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出1的方程：若不存在，说明理由。

(I)依题意，点N的坐标为N(0),可设A(xll)(x22),直线的方程为，与x2=2联立得消去y得x2-22p2=0.

由韦达定埋得xi2=2ix?2p2.

于是SMBN=S^BCN+S^cN=2,2冰1一

<11)假设满足条件的直线1存在，其方程为的中点为径的网相交于点P、Q的中点为H.则

令，得为定值，故满足条件的直线I存在，其方程为，

即抛物线的通径所在的直线.

解法2:

(I)前同解法I,再由弦长公式得

又由点到直线的距离公式得d=.

J1+公

从而，

(II)假设满足条件的直线i存在，其方程为，则以为直径的圆的方程为

(x—0)(x—M)—(y—〃)(y—X)=0,将直线方程代入得

设直线1与以为直径的圆的交点为P(X22)(X44),则有

令为k值，故满足条件的直线I存在，其方程为.

即抛物线的通径所在的直线。

题型八：角度问题

例题8、(如图(21)例M(-2,0)和N(2,0)是平面上的两点,动点P满足:

(I)求点〃的轨迹方程;

2

(II)若尸N|=，求点尸的坐标.

1—cos/MPN

解：(I)日椭圆的定义，点P的轨迹是以M、、为焦点，长轴长2a=6的椭圆.

因此半焦距2,长半轴3,从而短半轴

XV

所以椭圆的方程为——十—=1.

95

2

(ID由|尸”|伊凶=---------------，得

1—asMPN

因为不为椭圆长轴顶点，故P.\I.N构成三角形.在△中,

将①代入②，得

故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线匕

由(I)知，点P的坐标又满足，所以

一3G

5%2+9/=45,“一一h

山方程组〈解得《

炉+3)，2=3.

y=±V

即产点坐标为

问题九：四点共线问题

例题9、设椭圆过点，且着焦点为

(I)求椭圆。的方程；

(II)当过点的动直线与椭圆相交与两不同点时，在线段上取点,满足，证明：点总在某定直线上

解⑴由题意：

,解得，所求椭圆方程为

(2)方法一

设点Q、A.B的坐标分别为。

由题设知均不为零，记，则且

又A,P,B,Q四点共线，从而

于是，

从而

,(1),(2)

又点A.B在椭圆C匕即

(1)+(2)X2并结合(3),(4)得

即点Q(X,y)总在定直线2x+)，一2二0上

又四点共线，可设，于是

4-Ax1-Ay

(1)

4+M1+/ly

巧二E6二。(2)

由于在椭圆C上，将(1),(2)分别代入C的方程整理得

(x2+2/-4)22-4(2x+)，-2)/1+14=0(3)

(x2+2/-4)22+4(2x+y-2)/l+14=0(4)

(4)-(3)得8(2/+)，-2)4二0

即点Q(x,y)总在定直线2x+y-2=0上

问题十：庖国问题(本质是函数问题)

设巴、巴分别是椭圆(-+)厂=1的左、右焦点。

(I)若乃该椭圆上的一个动点，求・的最大值和最小值：

(II)设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且/为锐角(其中为坐标原点)，求直线的斜率的取值范围。

解：(I)解法一：易知

所以，设,则

因为，故当，即点为椭圆短轴端点时，有最小值

当，即点为椭圆长轴端点时，有最大值

解法二：易知，所以，设，则

=+y2~+/-12=x2+y2-3(以下同解法一)

(ii)显然直线不满足题设条件，可设直线,

联立，消去，整理得:

由得：或

又()“<ZA0B<90°ocosZA0B>0o•08>0

3k?

又)1)3=(融+2)(5+2)=代百工2+24(5+w)+4=

1

k/2~+-

4

v,即/.

故由①、②得一2<k<号或Mg

问题十一、存在性问题：(存在点，存在直线，存在实数，存在图形：三角形(等比、等腰、直角)，四边形(矩形、菱形、正方形)，圆)

设椭圆E:(>0)过M(2,).N(,l)两点,0为坐标原点.

(I)求椭M1E的方程；

()是否存在圆心在原点的圆.使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求|的取值范围，若不

存在说明理由。

解：(1)因为椭圆E:(>0)过M(2,)两点,

4211

=1

a2b2Q/=8x2

所以《解得，所以，,椭圆E的方程为一

611b2=484

=1

/b2l/r4

(2)假设存在圆心在原点的圆，使得该员I的任意•条切线与椭圆E恒有两个交点，且,设该园的切线方程为解方程组得，即,.5

2

则八16k2M-4(1+2攵2)(2加2-8)=8(8。-w+4)>0,BP8/—疗+4>0

，要傀需使,即，所以，所以乂,所以，所以，即或.因为直线为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为,，,所求的圆为.此时圆的切线都满

足或,而当切线的斜率不存在时切线为与时圆的两个交点为或满足，综匕存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒

有两个交点，且.

4km

须+占二

1+2公

因为《

_2/?r-8

中2-\+2k2

4km丁/2疗-88（8女2-川+4）

所以（%一9）2=U+X）2-4XX=（

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321

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