高中数学-空间几何体-练习题难题带答案

高中数学空间几何体

一.选择题（共25小题）

I.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，己知某“堑堵”的三视图如图所示，俯视图中虚

线平分矩形的面积，若存在球与该“堑堵”表面所在的五个平面都相切，则图中边长〃的所有可能取值组成的集合

为（）

\正视7圉L用视_图

□

A.{2&-2,2^2+2}B.{1,扬1,72-HC.{2沈-2,2亚+2,2,4}D.{2,2#*2,2亚-2}

2.如图，网格纸上小正方形的边长为I,粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）

44

3.已知四边形ABC。是边长为5的菱形，对角线BZ）=8（如图1）,现以AC为折痕将菱形折起，使点3达到点尸的

位置.棱4C,尸。的中点分别为E，F,且四面体%C。的外接球球心落在四面体内部（如图2）,则线段E尸长度

的取值范围为（）

A.（2/H,4）B.（1,2/H）C.6）D.（如，4）

222

4.三棱链P-ABC中.ABLBC,为等边三角形，二面角尸・AC・8的余弦值为与，当三棱锥的体积最大时，

3

其外接球的表面积为87r.则三棱锥体积的最大值为（）

A.1B.2C.AD.A

23

5.已知P,A,B,C是半径为3的球面上四点，其中以过球心，AB=BC=2,AC=S，则三棱锥P-A8C的体积是

A-aB-20。・嗓，半

6.在空间直角坐标系。一个z中，四面体OA8C各顶点坐标分别为：O（0,0,0）,A（0,0,2）,B（-|^,0,0）,

C(0,，0）.假设蚂蚁窝在。点，一只蚂蚁从。点出发，需要在4从AC上分别任意选择一点留下信息，然

后再返回。点.那么完成这个工作所需要走的最短路径长度是（）

A.2亚B.V11-V21C.D.2%

7.我国古代数学名著《九章算术•商功》中将底面是直角三角形的直二楂柱称之为“望堵”，如图为一个堑堵

DFE,AB1BC,AB=6,其体积为120,若将该“堑堵”放入一个球形容器中，则该球形容器表面积的最小值为（）

B.108nC.11671D.l20n

8.如图，在平面四边形4BCO中，满足A8=8C,CD=AD,且AB+AO=10,8。=8.沿着B。把A3。折起，使点A

到达点P的位置，且使PC=2,则三棱锥P-BCD体积的最大值为（

C.苧

A.12B.12V2

9.在棱长为2的正方体中，点P是正方体棱上的•点，若满足|P8|+|PQi|=,〃的点尸的个数大于6

个，则，〃的取值范围是（）

A.（2加，275）B.（2加，2751C.（2粕，2+2加）D.[2泥，2+272）

10.已知长方体/WC7）-4BiCi/）i中，AB=AA\=4,小。与平面ABC7）夹角的正弦值为&IZ,例为线段44的中

17

点，点N在线段AQ上，且AN=2,SW平面AIBICIOI.若V三校锥S-3MN=U三棱锥B~D]MN,记直线SC与C。的夹

角为e.贝1Jlane的最小值为（）

A.逅B,2^5C.叵D.亚

551010

11.已知三棱锥P-/WC的外接球。半径为2,球心。到△48C所在平面的距离为1,则三棱锥P-A4C体枳的最大

值为（）

A.B.C.27愿D.3

424

12.在二棱锥入人/?。中,八八"1是Rt△且48IAC7CAR=30°,W=2.点P在平面ARC的射影。点在

的外接圆上，四边形AACQ的对•角线BD=2%,AD>CD,若四棱锥展八改/>的外接球半径为泥，则四棱锥入

人8co的体积为（）

A.B.C.4>/3D.

333

13.已知三棱锥P-A/3C的底面是正三角形，PA=V3,点A在侧面P4C内的射影，是△P/3C的垂心，当三楂锥P-

ABC体枳最大值时，三棱锥P-ABC的外接球的体积为（）

A.2/③兀B.6^兀C.6nD.—K

22

14.在正四面体ABC。中，P,。分别是棱48,C。的中点，E,尸分别是直线AB,CO上的动点，M是E尸的中点,

则能使点M的轨迹是圆的条件是（）

A.PE+QF=2B.PE*QF=2C.PE=2QFD.PE1+QF2=2

15.已知正方体的棱长为1,平面a过正方体的一个顶点，且与正方体每条棱所在直线所成的角相等，则该正方体在

平面a内的正投影面积是（）

A.B.V3c.V2D.

24

16.如图所示，正四面体A8C。中，E是棱A。的中点，尸是棱AC上一一动点，8P+PE的最小值为g,则该正四面

体的外接球表面积是（）

A.127TB.32nC.8TTD.24TT

17.设P-A8c。是一个高为3,底面边长为2的正四棱锥，M为PC中点,过4W作平面与线段P8,PO分别

交于点E,尸（可以是线段端点），则四棱锥P-AEM产的体积的取值范围为（）

A.[A,2]B.[-1,2]C.[1,2]D.[1,2]

3322

18.有匹根长都为2的直铁条，若再选两根长都为。的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个对棱相等的

三楂锥形的铁架，则此三棱锥体积的取值范围是（）

D.(0,-?^1|

A.（0,B.(0,C.(0,

19.已知球。为三棱锥S-ABC的外接球，SA=SC=AB=AC=V2，BS=BC=2,则球。的表面积是（）

A.B.C.7TED.81r

33

20.鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于占代汉族建筑中首创的柳卯结构，这种三维的拼插器具由部的凹凸部分（即

俯视图

29.已知正三棱锥的体积为的，则其表面积的最小值为.

30.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm,将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面

恰好接触水面时测得水深为60〃，如果不计容器的厚度，则球的体积为.

三.解答题（共10小题）

31.正三棱锥的高为1,底面边长为2代，内有一个球与它的四个面都相切,

求：（1）棱锥的表面积；

（2）内切球的半径.

32.如图，已知三棱台A8O48C1,AB=2AiB\,"是AiBi的中点，N在线段与。上，且8iN=2NCi,过点A,

M,N的平面把这个棱台分为两部分，求体积较小部分与体积较大部分的体积比值.

33.如图，在三棱柱ABC-AIBICI中，侧面A4iCiC_L底面ABC,Mi=A\C=AC=2,AB=BC,AB1BC,。为AC

中点.

(1)证明：40J■平面/WC；

(2)在8。上是否存在一点E,使得0E〃平面AiA6?若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由.

34.已知过球面上A、B、。三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=18,BC=24,AC=30,求球的表面

积和体积.

35.在中，AB=3品

(1)若NB=45°,ZC=60°,将△ABC绕直线BC旋转一周得到一个几何体,求这个几何体的体积.

(2)设。是8C的中点，AD=2点,cosN84C=刍返，求△A8C的面积.

12

36.在平面直角坐标系X。)，中，己知四点A(2,0),8(-2,0),C(0,-2),D(-2,-2),把坐标系平面沿y

轴折为直二面角.

(1)求证：4C_LA。；

(2)求三棱锥C-AO。的体积.

37.四面体4Ao。中,AA和。。为对棱.设4A=〃,CD=h,且异面直线4A与。。间的距离为止夹角为。.

(I)若0=工，且棱/W垂直于平面8C。，求四面体ABC。的体积;

2

(11)当。=乃时，证明：四面体A8CQ的体积为一定值；

2

(III)求四面体ABCQ的体积.

38.如图，已知。。的直径A8=3,点。为。0上异于A,8的一点，VC_L平面A8C,且VC=2,点M为线段V8的

中点.

(1)求证：BUL平面VAC；

(2)若直线AM与平面％C所成角为三，求三棱锥B-ACM的体积.

-B

39.如图所示，该几何体是一个由直二棱柱人。£■府下和一个一正四棱锥P-AAU。组合而成，ADIAF.AF=AD=7.

(1)证明：平面小O_L平面八AFE；

(2)若正四棱锥尸-ABC。的体积是三棱锥P-A8F体积的4倍，求正四棱锥P-A8CO的面.

40.如图，在△ABC中，NC为直角，AC=BC=4.沿△ABC的中位线OE,将平面AOE折起，使得NAOC=90°,

得到四棱锥A・8CQE.

(I)求证：3C_L平面ACQ；

(II)求三棱锥E-ABC的体积：

(III)M是棱C。的中点，过M作平面a与平面A8C平行，设平面a截四棱锥A・8CDE所得截面面积为S,试

求S的值.

参考答案与试题解析

一.选择题（共25小题）

1.【解答】解：由三视图可知直三棱柱的底面斜边的高为1,斜边长为2,直角三角形，棱柱的高为小

若存在球与该“堑堵”表面所在的五个平面都相切，

则球半径R满足：

①R=三=6-1（此时球为棱柱的内切球），解得：。=2沈・2,

2

②/^二且且R+l='灰（此时球在楂柱外，正视图中球对称的圆在直角的夹角内），解得：4=2心2,

2

③长=包且R+tan22.5°A=优（此时球在楂柱外，正视图中球对称的圆在45°角的夹角内），解得：。=2,

2

故选：。.

2.【解答】解：由三视图得到直观图，如图，

该几何体为三棱锥Oi-CCiE,正方体的棱长为4,E为的中点,

取出该几何体如图，

三棱锥E-aoic,底面三角形aoc为等腰直角三角形，直角边长为%

侧面EClCI底面C1O1C,EC1=EC=2V5-

则底面三角形的外心为CQI的中点G,设△员?（的外心为从

分别过G与〃作底面与侧面EC\C的垂线相交于O,

则。为三棱锥E-anc的外接球的球心，

在△ECC中，求得CK=4,sinN£CK=—

2娓V5

则2石”=^^=5，即石〃=5,

乐2

则“K=»|，0”=得）2+22岑.则oc/二华+44

乙乙*XA

，该几何体外接球的表面积是4兀X—=417T-

4

故选：A.

3.【解答］解：如图，由题意可知△APC的外心Oi在中线PE1：,

设过点Oi的直线/11.平面APC,可知Au平面PEQ,

同理△ADC的外心Q在中线OE上，设过点02的直线/2_1_平面ADC,

则/2U平面PEQ,由对称性知直线/2的交点。在直线£尸上.

根据外接球的性质，点。为四面体APC。的外接球的球心.

由题意得E4=3,尸E=4,而0142=。1炉+£42,O\A+O\E=PE=4,

:.O、E=L

8

令NPEF=G,显然0<ev2L,AEF=PEcos0=4cos0<4.

2

EF°iE7

Vcos0=-^-=—OE*EF=O\E*PE=—,

PEOE2

又OE<EF,:.E产）LUP

22

综上所述，①i〈EFV4.

2

・•・线段£产长度的取值范围为（4）.

2

故选：A.

4.【解答］解：如图所示,

过点P作。/_1面4?。，垂足为E,过点£作£。3_4。交AC于点。，连接PQ,

则/尸。石为二面角尸-AC-8的平面角的补角，即有cos/PQE=逅，

3

易知八CI面PD凡贝Ij4CIP。,而△布「为等边二角形.

为AC中点,

设A8=a,BC=b,AC=^2^2=(?,

则PE=PDs\n/PDE=®XcX®=2

232

11112,,23

故三棱锥P-ABC的体积为:v=Axi//?x-£=J_abc<J_cxJ_lk_=_^_,

3221212224

当且仅当"=〃=半。时，体枳最大，此时4、D、E共线.

设三棱锥P-ABC的外接球的球心为0,半径为R,

由己知，4IT/?2=8TT,得/?=亚.

过点0作0F1PE于F,则四边形ODEF为矩形,

,ED=0F=PDcos/PDE=®°X®cPE=2,

则OD=EF=

2c32c2

22

在Ri△。尸O中，（V2）=c)+）2,解得。=2.

.3n3i

・•・三棱锥P-A3c的体积的最大值为：£_=/_=!

24243

故选：D.

B

5.【解答】解：・・・P,A,从C是半径为3的球面上四点,

其中必过球心，AB=BC=2,AC=25/3，

.・.由余弦定理得3人%器等=9.33。，

设△A8C外接圆的半径为

AC=2a

则由E弦定理，得解得r=2.

sinl200sinl200

.•.球心到平面ABC的距离d=QR2-r2=丫9-4=<V^,

，三棱锥尸-ABC的体积:

v=22=

|XSAABCX2d=|x-i-x2yX72-(V3)X2Vb^^-

故选：D.

6.【解答】解：将四面体0A8C沿着OA剪开，展开后如下图所示,

最短路径就是△AOO,的边00，,

'：O(0,0,0),A(0,0,2),B(^3,0,0),C(0,o),

_33

・MO=2,BO=2%,AB=AC=4ABC=迈

333

22

由余弦定理知，在△04/3中，COSN0A4=OA+AB-OBV3

20A-AB2

2X2X

o

・・・NOA8=30°=ZO'AC,

16168

丁气与二弓

在△曲中，cos/g吗照罟

4V3.W3.4,

Z/、-八-

33

AsinZ/MC=Vl-cos2ZBAC=2y,

•••cos/OAO'=cos(ZBAC+ZOAB+ZO,AC)=cos(NR4C+60。)

=cosZBAC*cos60°-sinZBAC*sin600=2x\-五乂返=，药须.

42428

在△AOO'中，。。'=人"+人。，？_24O・AOlosNO4。

—4+4-2X2X2X±^1=5+扬，

8

00=^5+721-

故选：c.

7.【解答】解：设8C=〃，BF=b,

则该“堑堵”的体积V=S"BC・8F=-^X6ab=12。，

2

整理,得而=40,

要使“堑堵”放入球形容器，则该球的半径不小于“堑堵”的外接球半径，

设其外接球的半径为上

•・•在堑堵/WC-。尸石中，84,AC,8F两两垂直，

工堑堵ABC-。左外接球的一条直径是以BA,BC,8尸为相邻三条棱的长方体的体对角线,

即2/?=7AB2+BC2+BF2=V36+a2+b2,

•・・/+户22。。=80,（当且仅当时，取等号），

:.外接球的表面积S=4TTR22]]6m

・•・球形容器的表面积最小值为1167T.

8.【解答】解：过点。作P£J_/3Q于E,连结CE,

由题意知△BPOgZ\BCQ,CELBD,KPE=CE,

・・・8。_1_平面PCE,

1o

=

工Vp.BCD=VB-PCE+VD-PCE=SA-BD-^SApcE»

o0

・••当S&PCE最大时，VP-8C。取得最大值，

取PC的中点F,则

.・・S^PCE=pC-EF=d

•:PB+PD=10,8。=8,...点P到以3。为焦点的椭圆上,

/.PE的最大值为对应短半轴长.

・・・PE最大值为海二^=3,・・・S&pc£最大值为2&,

・•・三棱锥P-BCO体积的最大值为国

3

故选：C.

9.【解答】解：分类讨论：①;正方体的棱长为2,

:.BD=2限

•・•点P是正方体棱上的一点（不包括棱的端点），满足伊阴+|。。1|=2%，

・••点P是以2c=2、巧为焦距，以。=加为长半轴，以近为短半轴的椭圆,

丁“在正力体的棱上，・•・〃应是椭圆与正力体与棱的交点，

结合E方体的性质可知，满足条件的点应该在正方体的12条棱上各有一点满足条件.

・•・满足IP川+|PDi|=2加的点P的个数为12个.满足条件.

②8人顶点中，除了B,两个以外的6个顶点满足|P8|+|PDi|=2+2加，且是正方体棱上的所有点中的最大值,

只有这6个顶点.

因此除了以上6个顶点以外的点满足：\PB\+\PD\\<2+2^2,

不难得出满足条件：2加W|P8|+|PD|V2+2正的点P都满足|P8|+|PDi|=〃?的点P的个数大于6个,

由选择支可得只能选择。.

10.

设BC=K,则空五------解得x=6.

222

1774+4+X

V三枝雄5-8WN=V三棱锥B-DiMN,设点S到平面SMN的距离为小

则日吗X2&X3V^TX4X(4X6・恭2义6・恭2X24X4X4)，

◊4044乙

解得人=区.

3

SC

记直线SC与C。的夹角为。.则tan8=—L

4

可得最小值为设S(x,y,4).B(6,4,0).M(6,0,2).

N(4,0,0).

NM=(2,0,2).NB=(2,4,0).

设平面8MN的法向量为n=(a,b,c),则iTNN=iTNB=0.可得2a+2c=0,2。+4b=0,

取7=(2,-1,-2).NS=(x・4,y,4).

.16—|2(x-4)-y-8|

33

化为：2x-y=0,或：2x-y=32(舍去)，

由2x-y=0,G(2,4,0),可得点S的轨迹为线段OiG.

n「x「「

过点Ci作CiSlDiG,止匕时SC\的最小值=」_^----!—=4X2=匕ne=Y5.

SCi742+22近5

11.【解答】解：・・・二棱锥。・人内。的外接球。半径为/?=2,球心。到△AAC所在平面的距离为1=1.

22=

•••△A8C的外接圆的半径r=^2-l^3-

・•・△ABC是等边三角形时，△ABC的面积最大，

设等边△48C的边长为m则2乂\,2-2=的，解得。=3,

3V4

.•.SA^c=lx3X3Xsin600=挛，

24

•・•球心0到△ABC所在平面的距离为1,

・•・点P到平面ABC的距离的最大值为仁R+d=2+l=3,

・••三棱铢P-ABC体积的最大值为：

吟XSAABCXhWX半X产半

故选:A.

12.【解答］解：在三棱锥产-八/C中，ZXA4C是Rt△且A4_L8C,NCA/S=30°,BC=2,

；・PC=2BC=4,8-=-16-4=2代,

取8c中点E,则PE=BE=OE=2,

•・•点P在平面ABC的射影D点在△ABC的外接圆上，

四边形A4C。的对角线BD=2«,AD>CD,

cosZBED=cosZBEB=4+4~12=-A,

2X2X22

:・/BED=/BEP=/PED=120°,:・PD=PB=BD=2®

:・BC=CD=2,

设球心为O,则OE_L平面BPDC,

'：OD=2,四棱锥P-ABCD的外接球半径为加，

・•・OE=V^1=1，,四棱锥P-ABCD的高PD=2OE=2,

・•・四棱锥P-ABC。的体积为：

v=1xS四边形BPDCxPD=yxgxPCxBD)xpr=|x|x4X2yx2=竽.

故选:B.

13.【解答】解：：延长P”交8C于O,连接A。，

•••”是△P8C的垂心，:・BC上PD,

•••4从1"平面尸BC,BCu平面PBC,

：.AHLBC,

又八方u平面八〃。，产OU平面/MO,AHH

，BCL平面AP。，乂4。＜=平面APD,

：.BCLAD,

连接B〃并延长交PC于E,连接AE,

由AH_L平面PBC可得AH1PC,

又BE工PC,AHC\BE=H,

.••PC\L平面ABE,：.AB1PC.

设P在平面ABC上的射影为O,延长CO交AB于F,连接尸F.

*：POX.AB,PCOPO=P,

，48人平面PCF.

：.PFLAB,CF1AB.

工。是△ABC的中心,尸是48的中点,

:.PB=PA=4^=PC,

当附，PB,0C两两垂直时，三棱锥P-48C体积取得最大值时,

22,

三棱锥P・A8C的外接球的半径R满足：(2R)=3X(V3)解得R=3-

2

体积节打X(•|)3=等.

故选：D.

E

14.【解答］解：如图所示,

正四面体人BC。中，取8C、BD、AD.AC的中点G、H、K、L,

因为P、Q分别是棱A&CO的中点，所以PQ的中点。也为定点;

由对称性知，PQ和EF的中点都在中截面GHKL上；

由丽=OF+PE+EM=W-QF+FM.

所以不i=_l（PE+QF）；

2

又在E四面体中，对棱垂直，所以说•而=0：

所以40M2=PE2+QF2»即4OM2=PE2+QF2；

若点M的轨迹是以。为圆心的圆，则2片+。产为定值.

15.【解答】解：正方体的所有核中，实际上是3组平行的棱，每条梭所在直线与平面a所成的角都相等，如图：所

示的正三角形所在平面或其平行平面为平面a时，满足平面a与正方体每条棱所成的角均相等，

并且如图所示的正三角形，为平面a截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大者.

因为E三角形的边长为加，

正方体ABCD-AIBICIQI的三个面

在平面a内的正投影是三个全等的菱形（如图所示），

可以看成两个边长为加的等边三角形，

所以正方体在平面a内的正投影面积是

S=2*XH导

故选:B.

16.【解答】解：将三角形A8C与三角形ACO展成平面，BP+PE的最小值，即为BE两点之间连线的距离，则BE:旧

22

设A8=2m则/84。=120°,由余弦定理」=4a+a-14,解得软小评，

22・2a・a

则正四面体棱长为2后，因为正四面体的外接球半径是棱长的返倍，

4

所以，设外接球半径为R,则R坐4后党，

则表面积S=4ITR2=4TT・3=12TT.

故选：A.

17.【解答】解：为了建立四棱锥P-AEMr的体积与原三棱锥的体积的关系，我们先引用下面的事实,

（如图）设4,Bi,。分别在三棱锥S-A8C的侧棱SA,SB,SC上,

s

又S-A1B1C1与S-ABC的体积分别为Vi和V,则

%SA/SB^SCj

丁二SA・SB・SC-

事实上，设C,Ci在平面SA8的射影分别为H,Hi,

nSHiSCi

则」二_L

CHSC

又出也红卫1军

SASAB-SA・SB

所以工也包工

VSA-SB-SC

下面回到原题：

设四=x,—=v，-ABC。的体积丫0=工X3义22=4,

PBPD3

于是由上面的事实有：

VJp-AEFJp-MEFVFAEM,VP-AFM

工Vb侬VFCBDP^ABC%-ADC

20

得.V二PE・PF・PAPE・PF・PM=PE・PM・PAPF.PM.PAj。.1»,=11

、■T=PB*PD*PA+PB-PD-PCPB・PC・PA'PD叩C・PA"7'2”丫

于是y=」^，

y3x-l

而rh（），<y=———三19x或19

y3x-l

则V=^=x+—1-（-1<X<1），

又得『=1----------=3"⑶-2?

（3x7）2（3X-I）2

所以，当V<0,V为减函数,

2管

当2cx<1时，V'>o,v为增函数

3

所以得：5。

得匕必=v1=Vx=l唠，

X立/

故答案为［国，』，

32

故选：B.

18.【解答］解：如图，AB=CD=a,AC=AD=BC=BD=2.

过A作AE.LCD于E,连结BE,

6

令fWRa"、，则/（〃）=161-3/=0,

2

解得当。2=凶时，（以_友・。）〃心=里或

327

・•・此三棱锥体积的取值范围是（0,票］.

故选:B.

A

19.【解答】解：取SC中点M,连接AM、MB,因为△SAC是等边三角形，且SB=BC,

/.AM1SC,MBLSC,

，SCJ_平面AM3,

・•・平面W。_!_平面4加8,由三余弦定理,

可知，cosZ5A/W*cosZMAB=cosZ.SAB>

由边长条件可知，NSAM=30°,/SAB=90°,代入上式解得cos/M48=0,

，NM48=90°,

因为SC_L平面人MB,

，球心。在平面AM8上，作0。」平面SAC,易得，AO,q&，

3

取AB中点M连接。M：・ONLAB,

・・・00i4N四点共圆，A0为这四点共圆的直径，也是三棱锥S-48C的半径，连接。1N,

VZAMB=90°,由勾股定理，得。中当之

:.OTN为三棱锥S-ABC的半径R,

.914兀

••S=4兀R*一

0

故选：A.

20.【解答】解：由球的对称性可知.当二个正四棱柱都处于TF中间契合的时候.其外接球半径最小.

所以，此时该球为底面边长为4、2,高为8的长方体的外接球时，设球的半径为R,

所以2RW16+4+64所以R」誓，

所以球的最小表面积为4兀・屋二4兀•—=84K.

4

故选：

21.【解答】解：依题意，点P是该球面上的一个动点（不与A,4重合），

即尸点与A,B不共线，故三点确定一个平面，设该平面与球的截面为圆O,

设N4P3所对的弧的长度与圆O的周长之比为/,

所以当『最小时，/APB最小，当，最大时，NAPB最大.

根据球的性质得，①当圆。为球的大圆且弧NAPB所对的弧是该大圆的劣弧时,，此时弧APB长度最小，圆的周长

最大，fl最小，如图P1,

此时八4=04=04=1,所以N4OA=2L,NAPI"=-LNAOB="^-，

326

②若圆。为球的大圆所对的优弧，则/2=1-八最大，如图中的上.此时NAP28=TT-/人2|8=芳_（圆的内接四

边形对角互补）.

22.【解答】解：过Ai作4E_L8Bi,垂足为E,

•・•平面A88i4〃平面DCCiDi,：.A\B\//D\C\.

过。1作。iH_LCCi,垂足为从

'：DG=AA\=5,

AEBi=8-5=3.

・・•平面ABB14〃平面DCCiDi,A出和DiCi是它们分别与截面的交线,

：.A\B\//D\C\.

过。।作。iH_LCG,垂足为从

则七8=广”=3,・・・。。|=12-3=9.

作4GJ_Q/)i,垂足为G,作G£LC。，垂足为R连接£/，EH,

则几何体被分割成一个长方体ABCD-AiEFG,

一个斜三棱柱A\B\E-D\C\H,一个直三棱柱A\D\G-EHF.

从而几何体的体积为:

V=3X4X5+AX3X4X3+AX3X4X4=102.

22

23.【解答】解:

设AB=nhAC=n,

贝UIDE

2

/\ABC的外接圆直径BC=^m2+n2

取8C的中点M,

则当PM_L平面A8C时，三棱锥的体积最大

此时球心。在上,

22

Vmax=lxhmiX(JQm+n+3)

32V4

22I22

^_1xm+nx（Qjn_JLlll+3）

34V4

2上2

令/=.+"，

4

贝|JfCt）=L（V9-t+3）

3

/（”=/旧村—+3）

由，（r）=0,解得r=0（舍），r=8,

f⑺在（0,8）递增，在（8,9）递减

故/（8）最大，为丝

3

所以三棱锥P-ABC的最大体积为留

3

故选：B.

24.【解答］解：如图：•・・SA=SB=SC=1,A8=AC=&,8。=例,

•••SULSA,SA1SB,ZCSB=120Q,

取C448的中点。】，02,则0\,3是球的两个截面圆的圆心，设。为球心，

则平面SAC,O3_L平面8S4取SA的中点£,连OiE,（hE,则OiE〃SC,O2EA.SC,AZOIEO2=120°,

N0i03=60°,

又001=08,是正三角形，••・0。1=。1。2=28。=返，

22

在直角三角形AO。中，|。*={|0*2+|00］|2=|（苧）2+［孚?=曰,所以球的半径R为保.

则球的表面积为4nR2=4nX（逅）2=57T.

2

故选：C.

25.【解答】解：:三棱柱ABC-481cl的底面△A8C是正三角形,

A4i_L平面AAC.AB=2,44i=«,。为AC中点,

AADIBiCi,ADLBB\,

，八。_1平面。8|。|,

・•・三棱锥A-Bi。。的体积为：

V=XXA25=1

A-B1DC1fSADB1C1D={X|X2XV3X72-1-

二.填空题（共5小题）

26.【解答】解：由题意可得将该三棱锥放在长方体中，且长方体的长宽高分别为SA=2,SB=3,SC=4,

设外接球的半径为R，

再由长方体的对角线等于其外接球的直径可得（2R）2=22+32+42=29,

所以4网=29,所以外接球的表面积,S=4TTR2=29TT,

故答案为：297T.

27.【解答】解：设球。的半径为R,△ABC的外接圆的圆心Oi,半径为,，

在△ABC中，由余弦定理可得（4炳）2=/+从-2而8$600,

即。2+属="+4822。6,即abW48,

所以，P.A8C=工加in60c（R+。。］）Ax48X2/1（R+OOi）义工=4«（R+OOi）,

23223

由题意可得4加（R+O。）=16\门，所以R+OOi=4①，

在△A8C中，2r=——所以尸4,

sin60V3

2

WR2=r+OO\2,所以7?2=16,

所以球的表面积S=4TT/?2=64TT,

故答案为：647T.

2X.【解答］解：半圆柱的立体图如图所示，其侧视图是矩形AAUQ.

c

所以AB・AD=8,即4X4D=8,所以AO=2,

所以半圆柱的底面半圆的半径为2.

故答案为：2.

29•【解答】解：设正三棱锥的底面边长为〃，高为儿如图，过顶点S作底面ABC的垂线，垂足为。，过。作。。

垂直人8于。，连接SQ,

；.AB=a,SO=h.

；・SO_L底面ABC,ABu底面ABC,

：.ABLSO,SOYOD,

又SOC00=0,

・"8_L平面S。。，

又・.・SQu平面SO。，

：,ABLSD,即SD为侧面SAB的斜高，

三棱锥体积的=工X立■Xa?Xh，得/力=12,

34

又。为底面中心，；・。£>=2■•杷sir）60°

36

5D=7oD2+so2=J-^-+h2,

三棱锥的表面积

S=2Z12+3xlxX=2^2.2,将残2二2代入得：S

42h

3

h-2-2VlAi,令T=0,得卜3-2-2而1=°，令41?+1气，上式可化为户-2/-3

h2

=0,解得f=3,或，=-1（舍）,

••,Jh?+1=3,得力=2,当0V力<2时，S'<0,当人>2时，S'>0,故S在（0,2）上单调递减，在（2,+~）

卜S单调递增.故当〃=