高中数学部分公式

高考数学常用公式

1.CV(A[}B)=CUA^CVBXU{A[)B)=CUA^CUB.

2.Ar\B=A<=>A\jB=B<=>A^B<=>CuB^CuA<^Ar\CuB=a><=>CuA\jB=R

3.card(AU砂=carclA+cardB-card(AQB)

card{AUBUC)=carclA+cardB+cardC-card(APl为

-card{A[}B)-card(BQC)-card(CdA)+card(An^QC).

4.二次函数的解析式的三种形式①一般式/5)=依2+6+。(。工0);②顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a^O)-,

③零点式J\x)=〃*一%)(工一々)(〃/°).

5.设％x,€[々/展尸看那么(耳一_¥,)[/(内)一/(范)]>0<=>"当)>0<=>/(x)在上是增函数;

再一天2

-x2)[/(x1)-/(x2)]<0<=>—乂2<0=/(X)在[&〃]上是减函数.

X一招

设函数),=/(©在某个区间内可导，如果八外>0,则〃幻为增函数；如果r(x)〈o,则/⑶为减函数.

6.函数y=f(x)的图象的对称性：①函数)，=/(x)的图象关于直线x=〃对称

<=>f(a+x)=f(a-x)<=>/(2tz-x)=/(x).②函数y=j\x)的图象关于直线x=一对称

<=>f(a+nix)=f(b—nix)<=>f(a-\-b—nix)=f(mx).

7.两个函数图象的对称性：①函数)=/(x)与函数)，=/(—x)的图象关于直线x=0(即)，轴)对称.②函数

)，=/(如一。)与函数)，=/(〃一侬)的图象关于直线工="2对称.③函数y=八外和>=(X)的图象关

2m

于直线y=x对称.

?|-HL1

8.分数指数某an=.—(。>0,，〃、〃£N",且〃>1).。n=——(。>0,〃?,neN*,且〃>1).

“八m—

an

9.log“N=boab=Ng>a,awl,N>0).

losNn

10.对数的换底公式log”N二.推论logbn=-\oob,

log,”am

yk二1

11.。“二，'(数列{6,}的前n项的和为s”=q+%+…+〃”)•

[sn-sn_rn>2

12.等差数列的通项公式an=a]+(z?-l)J=dn+a]-d(nGN')；其前n项和公式

〃(q+qjn(n-\)d1

n2-

sn=————=na}H----------d~~+(4”)〃■

项的和公式,=*'㈤或

13.等比数列的通项公式；其前n

q

叫,q=T

叫、q=1

b+(jLl)d,q=1

14.等比差数列｛勺｝:。2="“+d，4=。①/0)的通项公式为a”=\bq,,-^(d-b)qn~'-d

国W]

q-i

nb+n(n-\)d,q=1

其前n项和公式为sa二〈，d1-cfd

(b-------)——+-----n,qw\

\-qq-\\-q

15.同角三角函数的基本关系式sin26>+cos2<9=1,lanO=®L

cos。

16.正弦、余弦的诱导公式

(-1)2sincr,a为偶数

sin(——+。)=«

2n-1

2

(-1)cosa,a为有物

n

(-l^cosa,a为偶数

cos(—+a)=<

(-1)2sina.a为奇数

17.和角与差角公式

sin(a±/3)=sinacosp±cosasin£cos(a±p)=cosacosp+sinasin£；

tan(a±/?)=t：na±tan/7sin(a+^)sin(a-^)=sin2cr-sin2p(平方正弦公式)；

1+tanatanp

cos(«+fi)cos(«-P)=cos2cr-sin?p.

asina+Z?cosa=\la~+b~sin(«+cp)(辅助角0所在象限由点(a,〃)的象限决定，tan^?=—).

18.二倍角公式sin2cr=sinczcoscr.

2tanOL

cos2«=cos2a-sin2a=2cos2a-1=l-2sin2a.tan2a=-------；-.

l-tan~a

19.三角函数的周期公式函数y=sin(ox+°),x£R及函数y=cos(tyx+e),x£R(A,3,°为常数，且AWO,

3>0)的周期7='；函数y=tan(刃x+0),xwkr+工，ZwZ的周期7二工.

CD2co

220.正弦定理‘一=/一=」一二2R.

sinAsinBsinC

21.余弦定理a1=b2+c2-2/?(?cosA;b1=c2+a2-2cacosB;c2=a2+h2-2abeosC.

22.面积定理(1)S=gah”=；bhb=(4、%，、儿分别表示a、b、c边上的高).

(2)S=—ahsinC=—bcs\nA=—erzsinB.

222

23.三角形内角和定理在△ABC中A+B+C=;roC=TV-(A+B)<^>—=--+<=>2C=2TF-2(A+8).

222

24.平面两点间的距离公式么8=I而|=J福•丽=J32-百)2+(%—X)2(A(%,y)，1“%,%))・

25.向量的平行与垂直设a=(*,y),b=(9,y2)，且bwO,则

aQb<=>b=Xa<=>xiy2-x2y}=0.alb(a^0)«a-b=0<=>x,x2+y\y2=0.

26.三角形的重心坐标公式aABC三个顶点的坐标分别为A(xi，%)、B(x2,y2),C(X3,、％),则△ABC的重心的坐

标是G（中)1+%+%)

3

X=X4"//X=X—h---r■r,

27.点的平移公式(.=.<^>0P=OP+PPi图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形尸

y=y+k[y=y-k

上的对应点为P'(x,y),且印的坐标为(〃,幻).

28.常用不等式：

(1)。力£/?=/+〃之2〃人(当且仅当a=b时取"=”号).(2)a,bwR+=丝包之几(当且仅当a=b时

2

取“二”号).(3)o'+by+?>3abc(a>O,b>O,c>0).(4)柯西不等式

22222

(a+/?)(c+d)>(ac+bd),a,b,cydeR.(5)同一.工,+百《时+村

29.极值定理已知都是正数，则有(1)加果积Ay是定俏〃，那么当x=y时和犬+y有最小俏4/万：

(2)如果和x+y是定值$,那么当x=y时积孙有最大值

4

30.一元二次不等式办2+法+c>0(或<0)/0,△=从-4ac>0),如果。与ad+陵+。同号，则其解集在

两根之外；如果。与ad+尿+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.

X,<x<x2<=>(X-X()(X-X2)<O(X]<x2);X<Xp^Kx>x2<=>(X-X])(X-42)>°(玉<W).

31.含有绝对值的不等式当a>0时，有Nvqofvq-<=>-a<x<a.

N>ao尤2>/o%々或％v—a.

32.指数不等式与对数不等式(1)当。>1时，

7«>0

8{x>

>a<=>f(x)>g(x);loga/(x)>log0g(x)=•gW>0.

JW>g{x]

(2)当Ovavl时,

[/U)>0

>a"”<=>/(x)<g(x);log./(x)>log“g(x)=,g(x)>0

33.斜率公式Z=上工(6(%,y)、巴("力)).

/一%

34.直线的四种方程

(1)点斜式(直线/过点6(x，y),且斜率为Z).(2)斜截式)，=丘+〃(b为直线/在y轴

上的截距).(3)两点式上二』•二二三(y工为)(6(%，,)、鸟(々，必)(内工，%)).

为一y%一占

(4)一般式AT+gy+C=0(其中A、B不同时为0).

35.两条直线的平行和垂直(1)若/]：)，=44+4，l2:y=k2x+b2®/(D/2<=>^=k2,b^^b2■©

/1_L/?。k[k2=-1.

(2)若4：4工+与y+。1=0/2：A,x+B,y+C2=。，且Ai、A?、B]、B?都不为零，①("w9；②

G

&B2

4_L」<=>A&+旦旦=。；

36.点到直线的距离dJ与+By。+a(点P(%,%)，直线I:Ar+B)，+C=0).

yJA2+B2

37.圆的四种方程(1)圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2.(2)圆的一般方程

x=a+rcosO

x2+y2+Dx+Ey+F=O(D2+E2-4F>0).(3)圆的参数方程《.八•（4）圆的直径式方程

y=bt±1sin。

（x一々）。一看）+（）‘一y）（＞一为）=°（圆的直径的端点是4%,另）、8（w，%））•

38.椭圆二十与=1（。＞人＞0）的参数方程是＜x=acosO

a~b~y=bs\nO

22-2

39.椭圆「+==1(〃>〃>0)焦半径公式仍居|=e(x+<),|P川二屋，——x).

CTb-C~C

2222

40.双曲线,一方=1(。>0/>0)的焦半径公式|P用=|e(x+：)|,|尸g|=|e(?7)].

41.抛物线V=2px上的动点可设为P或P（2p/,2"）或P（%y。），其中y；=2pxo.

2P

42.二次函数），二以2+以+。=。（/+2）2+处土3工（））的图象是抛物线：（1）顶点坐标为（-2,4--"）；

2a4。2a4。

（2）焦点的坐标为（一A「"二"+I）

2a4。

43.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|八网=5（%—/2）2+（）%—%）2或

22

|AI3\-1（1+氏2）（巧一,）2-I玉一%21Vl+tana-|y-y2|Ji+cota（弦端点A（x,，必）,。（巧，必），由方程

v—kx+b

・消去y得到a?+"+。=0,△＞（）,a为直线A8的倾斜角，女为直线的斜率）.

F（x,y）=0

44.圆锥曲线的两类对称问题：（1）曲线F（x,y）=0关于点P（x。,%）成中心对称的曲线是尸（2/7；2%-），）=0.

（2）曲线F（x,），）=（）关于直线Ar+B），+C=0成轴对称的曲线是

2A（Ax+By-\-C）2B（Ar+By+C）。

A~+B~A~+&

45.“四线”一方程对于一般的二次曲线独2+8。+。，2+。（+或+/=o,用8/代用打）,代）尸，用

/）'+孙°代xy,用生匕代x,用四土上代y印得方程

2'22

Arox+8•出苗邑+0'0、+。•笥2+石."2+歹=0,曲线的切线，切点弦，中点弦，弦中点方程均是

此方程得到.

46共线向量定理对空间任意两个向量a、b（bWO）,a〃bO存在实数人使a二人b.

47.对空间任一点0和不共线的三点A、B、C,满足加=人方+），砺+Z反，则四点P、A、B、C是共面

ox+y+z=1.

48.空间两个向量的夹角公式cos（a,b＞=_岫十%%十出"（片⑷吗吗），b=（b］也也））.

49.直线48与平面所成角p=rzrcsin（m为平面a的法向量）.

»

m•Hm•il--

50.二面角。一/一夕的平面角e=a/rcos=^^-或;r-Grcos、^^-（tn,〃为平面a,4的法向量）.

|w||n|Im||n\

51.设AC是a内的任一条直线，且BC_LAC,垂足为C,又设A0与AB所成的角为4，AB与AC所成的角为。?，A0

与AC所成的角为6.贝i|cos0=cosacos02.

52.空间两点间的距离公式若A(百，加马)B(x2,y,,z2)则

北8=I画=J丽・丽=皿2-％)、(必-乂)2+。2-2).

|Ag-nj

53.点B到平面a的距离d=为平面a的法向量,AB是经过面a的一条斜线，Awa).

\n\

2222

54.I=R+/；+/；<=>COSa+cos02+cos%=1

(长度为/的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为卜b4,夹角分别为4、4、4)(立几中长方

体对角线长的公式是其特例).

55.球的半径是R,则其体积是V=—a/?3,其表面积是S=4TTR2.

3

56.分类计数原理(加法原理)N=仍+m2+…+也.

57.分步计数原理(乘法原理)N=町x/%x…

58.排歹I数公式=〃(〃一+1)=————.(〃，加£”，且加式〃).

(77-机)！

59.排列恒等式⑴+(2)A；=」一A：；(3)A：=〃A合;(4)几A：=A：：：-A：;

n-m

60.组合数公式/=…——-——(〃，〃7£N*,且机W〃).

A：：1x2x•••xm!­(/?-m)\

61.组合数的两个性质(1)C：=C：：-，n;(2)C：+C：；i=C：:

nm+X

62.组合恒等式(1)C；；'=-C^,(2)G；=/-C>;(3)C；；=-C^;(4)*C：=2";

inn-mmr=0

(5)C；+C1+C；+2+,,TC；=C：：：.

63.排歹!数与组合数的关系是：A：=M.C：.

64.二项式定理(a+b)〃=C：a"+《优-”+比"1从+…+C：a—b，+…+C：b”;

二项展开式的通项公式：7；+1=C；a"/，。=(),1,2…，〃).

65.等可能性事件的概率P(A)=-.

n

66.互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).

67.n个互斥事件分别发生的概率的和

P(A]+Az+…+A/=P(Ap+「(/&)+…+P(An).

68.独立事件A,B同时发生的概率P(A-B);P(A)-P(B).

69.n个独立事件同时发生的概率P(A[-A2......A/=P(A])・P(A2).........P(An).

70.n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P“(k)=P严.

71.离散型随机变量的分布列的两个性质：(1)620(2=1,2,…)；(2)[+6+…=1.

72.数学期望塔=入田+%2鸟+,・・+工匕+…

73.数学期望的性质：(1)E(喈+3=。石©+乩(2)若彳〜则段=〃〃.

74.方差透=(玉-E针・P]+(々-塔)2・P2+・•・+(/-E&Y.Pn+…

75.方差的性质(1)力(4)=鳍2一(拶)2；(2)力(瑟+。)=储。。；(3)若J〜8(也〃),则必=〃p(l-p).

76.在(。力)的导数f'(x)=y=—=—=lim—=lim--------7.

dxdxADAx-Ax

77.函数y=/（x）在点/处的导数是曲线y=/（x）在。（/,/（玉）））处的切线的斜率/'（%），相应的切线方程是

）'一为二/（布）（]一/）・

78.几种常见函数的导数

nr

(1)C'=O(C为常数).(2)(xn)=nx~\nGQ).(3)(sinx)=cosx.(4)(cosx)'=-sinx.(5)(In%)'=—；