高中数学选择性必修三第五章知识点总结数列

选择性必修第三册第五章数列

5.1数列基础

一、数列

1.数列的基本概念

按照二军飒甲排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项.

2.数列的一般形式

数列的一般形式可以写成…，/，简记为｛4｝，其中6称为数列&｝的第

1项（或称为首项），的称为数列｛4｝的第2项，%称为数列｛4｝的第〃项.

3.数列的分类

（1）按项数多少来分，可分为：

①有穷数列：项数专限的数列,如1,2,3,…，10

②无穷数列：项数无限的数列，如1,2,3,4,-

（2）按数列的每一项随序号变化的情况来分，可分为：

①递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列，如0,1,2,3,…，〃，…

②递减数列：从第2项起，每一项都小•于•它的前一项的数列，如10,9,8,7,…

③常数列：各项相等的数列，如1,1,1,I,…

④摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列，如I,

-1,2,-2,•••

2.数列的通项公式

如果数列｛4｝中的第〃项与序节〃之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式

叫做这个数列的通项公式.

5.2等差数列

一、等差数列

1.等差数列的概念

一般地，如果一个数列从第•2项起，每一项与它的前一项的差等于同・一・个・常・•数，那么这

个数列就叫做等差数列.常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示，数列的首项用

Q]来表示.

数学符号语言：an+x-an=d（d为常数）（〃eN*）

当d=0时，数列为常数列，比如3,3,3,3,…

当d>0时，数列为递增数列，比如1,3,5,7,…

当d<0时，数列为递减数列，比如8,4,0,-4,-8,…

2.等差数列的通项公式

以q为首项，d为公差的等差数列｛4｝的通项公式为4=4+（〃一1）1

3.等差数列的通项公式的变形应用

已知等差数列｛得｝中的任意两项4,（/?G€NFw〃。，则根据通项公式可

得，

（〃；\,联立消去％可得：an-ain=（n-m]d

am=%

则可得等差数列的变形为1==以，以及=。〃,+（〃一〃?），/

n-m

4.等差中项的定义：

由三个数〃、A、。组成的等差数列，其可以看成最简单的等差数列，这时，A叫做。和

〃的等差中项.事实上，若。、A、〃成等差数列，即4=土吆，则A就是。和人的等差中项.

2

若4=竺2,即A—〃=/?—A,则a、A、）成等差数列.

2

5.等差数列的中项定理

若正整数满足m十几=2p,（m,〃,p£N*）,则有=2厮；

6.等差数列的前〃项和

8.等差数列的前〃项和的性质

①等差数列通项公式an与一次函数的关系

由等差数列的通项公式。〃=q+5-l)d(〃£N*),可得a,尸功2+(4-4),当

"工0时，等差数列通项公式中等号右边是关于自变量〃的一次整式，一次项系数就是等

差数列的公差.

②等差数列前〃项和公式S”与二次函数的关系

等差数列｛q｝中，S〃=〃q+"：

9.等差数列恒等性

若加+〃=〃+“，则4〃+。〃=。〃+〃"(其中w,p,q£N")

10.等差数列的等分性

等差数列中依次k项之和仍组成等差数列h之2,4EN*),

即数列q+W+,•,+，，殁+1+殁+2+…+°2：'°2%+1+〃22+2+…+42'…是以

k"为公差的等差数列.此数列乂可写成SR,S2k-Sk,33攵-524，…是以加2为公差的等

差数列.

11.等差数列前〃项和的最值问题：

设等差数列｛〃〃｝的首项为％,公差为d，则

I.当等差数列｛4”｝为递减数列时，即4<0

①当q<0时，S〃有最大值S1=q,无最小值；

②当％>0时，数列｛4｝只有前面的有限项为非负数，从某项开始所有项均为负数,

所以S〃有最大值，无最小值；

1【.当等差数列｛«J为递增数列时，即d>0

①当《<0时，数列｛。〃｝只有前面的有限项为负数，从某项开始所有项均为非负数,

所以S〃有最小值，无最大值：

②当q>0时，S〃有最小值S1=q,无最大值;

III.当4=0时，数列｛“〃｝为常数列，

①当q>0时，S］为最小值，无最大值;

②当q<0时，S］为最大值，无最小值.

5.3等比数列

1.等比数列的概念

一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这

个数列就叫做等比数列.常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q(g#0)表示，数列的

首项用%来表示.

数学符号语言：也=4”为常数，且疗0)(〃£")

玛

2.等比数列的分类

公比qrO.

当4<0时，数列为摆动数列；

,Ala3>0时，数列为递减数列

当0<4<1时，；

”［4<0时，数列为递增数列

当4=1时，数列为常数列

,।,吊>0时，数列为递增数列

ql4<o时，数列为递减数列

3.等比数列的通项公式

以白为首顶，“为公比的等比数列｛〃〃｝的通项公式为W0,“K0)

4.等比中项的定义：

由三个数。、G、〃蛆成的等比数列，G叫做。和。的等比中项.

由等比中项定义可知：-=-=>G2=ab=>G=±4ab；

aG

反之，若G?=，出®-0),则9=2,即以G、方成等比数列.

故〃、G、人成等比数列。62=时（外工0）.值得注意的是，等比数列奇数项

偶数项.

5.等比数列的中项定理

若正整数"7,〃,〃，满足，77+〃=2〃,（加，七〃£N*）,则有4〃必〃二。；；

6.等比数列的前n项和公式

若等比数列｛。〃｝的首项为4,公比为4，则等比数列得前n项和为

4（1W）

X；SU(lW)_4-q“

i-q\-q\-q

叫q=l

【数列的通项公式求法】

一、公式法

①利用等差数列或等比数列的定义求通项

②若已知数列的前n项和S“与明的关系，求数列｛%｝的通项明可用公式

a„=[Si..................求解.

IS”』.……

注意：

1.当使用作差法求通项公式的时候，必须求出〃=1时的值；

2.若〃=1时，若q（〃之2）表达式对应的值不等于％,则数列的通项公式要分段表示.

二、累加（乘）法

对于形如。，田=4+/〃：）型或形如%+i=/（〃）4型的数列，我们可以根据递推公式，写

出n取1到n时的所有的递推关系式，然后将它们分别相加（或相乘）即可得到通项公式。

1.累加法

使用标志：形如《用-q=/（〃）的递推公式（类比等差数列）

解题过程：当〃之2肘,

%=/'(，—)

〃-1个式子

%2=/(2)

出一％=/⑴

将以上各式左右分别相加，可得:

q一4=/(，Ll)+f(〃一2)+...+〃2)+/(1),

移项得：q=q+〃〃_1)+/5-2)+...+/(2)+/(1)

2.累乘法

使用标志：形如如=/(〃)的递推公式(类比等比数列)

%

解题过程：当〃22时，

A”一］)

an-\

an-2

n-1个式子

〜⑵

a,

”=/(1)

a\

将以上各式左右分别累乘，可得:

”=小-2)・...・“2”⑴，

a\

移项得：4=〃”(〃—卜〃1)

三、对数型

(1)《用=〃4：这种类型一般是等式两边取对数后转亿为。向=pa„+q，再利用待定系

数法求解

（2）数列有形如/（明,即O的关系，可在等式两边同乘以一^,先求出

anan-\

再求得品.

*

（3）4m二,，（〃）“：，、解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为

g⑺a〃+一〃）

j=P4+q。

四、待定系数法

1、常数型：

使用标志：形如①：4出=。4+/（。。0,。。1,100）的递推公式

解题过程：

第।步：设。〃+1+义=《凡+4），待定系数法求出力的值；

第2步：构造新数列4=。“十之，则有〃向二仍“；

第3步:求出a的通项;（2是首项为4=%+%,公比为c的等比数列）

第4步：写出4”二〃一4

2、指数型:

递推式为。向=〃〃“+/”（P、q为常数）时，可同除，加，得第='•2+1，令2=2

qqqq

从而化归为%+[=+4（p、q为常数）型.

3、形如。"+i=/%”+。〃+人（〃工1,0；。工0）

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

。向+x（〃+l）+y=〃（《+x〃+y）,与已知递推式比较，解出,从而转化为

｛6++y｝是公比为p的等比数列。

2

4、形如a“+]=pan+an+bn+c（/7w1,0;。w0）

解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令

2

an+l+x（n+1）+y（〃+1）+c=p（a“+xiv4-yn+c）,与已知递推式比较，解

出工,y2从而转化为｛。〃+xn2+yn+cj是公比为p的等比数列。

5.递推公式为a“+2=计i+软〃（其中P，（1均为常数）。

解法一（待定系数法）：先把原递推公式转化为勺+2一想用.一S%）

其中s,t酒足〈

卬=—q

【数列的前n项和求法】

一、利用常用求和公式求和

利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

I、等差数列求和公式：5小如詈』+『〃

"4(q=1)

2、等比数列求和公式：S0=4q(l-/)a}-anq(八

一\一-一=—i一丁("1)

[i-qi-q

3、s〃=力=1〃(〃+D4、Sn==—«(/?+1)(2/7+1)

k=l/*=i6

n1

5、s“二£公=《"("+1)『

hi2

二、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）

分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂烫）如：

sinT.八。。

(I)/f)一/(〃)(2)--------------=tan(/?+1)-tann

cosncos(〃+1)”

(2〃)2.I11、

(3)a=---=-———(4)a=-------------=1+—(r-------------)

nn(n+1)nn+1n(2/z-l)(2/?+l)22/z-l2n+l

11.1

〃(〃一1)(〃+2)2n(n+1)(〃+l)(〃+2)

(6)

，=2(〃+lf_________则§=1__L_

"5+1)T〃⑺+1)2"〃-2"T(〃+l)2"'"5+1)2”

11I1

(7)*