高中数学必修一高频考点、常考题型及易错题型

高中数学必修一（理科）高频考点、常考题型及易错题型

专题1集合

【高考命题趋势、难易度及分值分布】

主要以考直集合相关概念和计算为主，侧重考查两个集合的交、并、补运算；一般为选择题和填空题，占5分，难度较低。

【必会高频考点】

一、元素的3大特性（互异性\元素与集合的2种关系、集合与集合的3种关系、集合与集合的3种运算

二、6大经典结论

（-）子集个数

若集合□有□个元素，则它有口个子集,□个真子集,□个非空子集,□非空真子集.

（二）6个等价关系（注意不要忽略A为空集的情况）

AC1B二AoAUB=B=A£B=[：uA3[uB0An（[uB）=0cCu（AUB）二R

（三）5个与空集有关的结论

1.□包含分A=0和AH0两种情况，AH0又分A=B和ADB两种情况.当题目中出现AlB或AC1B二A或AUB=B时，在解

题过程中务必注意对集合A进行分类讨论，即分A=0和AW0两种情况进行讨论.

2.□口（AW0）

3.若AnB=。，则A或B可能是。或A与B均不为。但无公共元素；若AUB二A,则B可能是。.

4..与{0}的区别：前者代表空集,后者代表一个集合，这个集合的元素的空集，属于集中集.0£{0}、。口{0}均正确.

□只有一个子集，就是它本身.

5.5种空集的情况

A={x|ax+b=O}=0oa=O,b/OA={x|ax2+bx+c=0,a#O}=0<=>b2-4ac<OA={x[m<x<n}=00m2n

A={xax+b>0)=0«a=O,b<OA={x|ax2+bx+c>0,a^O)=0«a<O,b2-4ac<O

（四）

如何读

懂集

合？

先分区{(x,y)ly=f(x)}

{x|f(x)=O){x|f(x)>0){x|y=f(x)){y|y=f(x))

是数

集，还

是点

集。

集合

方程f(x)=0的解不等式f(x)>0的解函数y=f(x)的定函数y=f(x)的值函数y=f(x)图象上的

含义

集集义域域点集

(五)容斥原理(集合交并运算后，元素个数关系)

card(A\^B)=cardA+carclB-card(AQB)

card(AU8UC)=cardA+cardB+cardC-card(An8)

-card(A口8)-card(BQC)-card(CflA)+card(ACl8Pl。)

(六)德摩根定理

g.(An3)=Cb.4UQBCu(AU8)=qAnGJ34n(BU0=(4nB)U(AnC)

用集合A.B表示图中I、II、III、IV四个部分所表示的集合分别是AHB；An(［UB)；Bn(［UA)；

f1；(人118：，或(「UB)n(fUA).

【必会一般考点】

一、5类数集表示方法(N*或N+表示正整数集)

二、5种集合的表示方法

1.自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.

2.列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.

3.描述法：｛|具有的性质｝,其中为集合的代表元素.

4.区间法：(a,b)、［a,b］、(a,b］、［a,b)、(a,+8)、(一8,b)

对于集合与区间，前者可以大于或等于，而后者必须.

5.图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.

【规律方法技巧】

一、解决集合问题的5大法宝：数轴、韦恩图、坐标系(平几\解方程、列举法

1.离散型数集或抽象集合间的运算，常借助Venn图或交、并、补的定义求解

2.点集的运算常利用数形结合(坐标系)的思想或联立方程组进行求解

3.连续型数集的运算，常借助数轴求解

4.如不易比较集合中元素与元素关系时，可采取列举法，观察前几项关系

二、学好集合问题须做到"五看"

一看代表元素，分清数集、点集、还是其它集合.二看约束条件；三看能否化简，化简后再研究集合，将变得简单.

四看能否数形结合，它是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、坐标轴或韦恩图.

五看端点值能不能取等号；同时还要注意各个端点的画法，即实心的点与空心的圆圈的应用.

【易错题型及创新题型】

如何破解集合的五类易错题型和一类创新题型？

1.大意：似曾相识的题目。计算失误：与指数函数、对数函数、幕函数、绝对值函数和分段函数相结合的题型。找不到解

题切入点或不能等价转换：创新题。

2.由入门级的一次方程/不等式、二次方程/不等式逐步深入到指对数不等式、分式不等式、绝对值不等式、三角不等式、

复数等转变。

易错点1含参集合忽视元素的互异性

【问题1］：已知1七{,,}，求实数的值。

【练1】：己知集合A={l,3,2a—l},B={3,a2},若BGA,求实数的值。

【练2】：已知集合，，且，求实数的值.

易错点2忽视空集

【问题1］：已知，且，求的取值范围。

【练1】：设A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+l)x+a2—1=0},①若B£A,求a的值;②若AUB,求a的值.

【练2】：已知集合人=合仅2=—12忘0}1=3201-—〈01+1},且人门8=8,则实数01的取值范围为()

【练3】:已知集合A={x|x2-3x-10W0},若集合B={x|p-6WxW2p-1},且AGB=A,则实数p的取值范围为.

【练4】：设，，若，求实数a组成的集合的子集个数？8个.

易错点3对集合表示方法理解存在偏差(不能确定集合由哪些元素组成)

【问题1］：已知，求。

【问题2］：已知，求。

【练】】：A={(x,y)|y=x+l},B={y|y=x2+l},贝jiACB=()

【练2】：A={y|y=x2+l},B={y|y=x-l},则AAB=()

【练3】：已知集合M={(x,y)|y=-x+l］,N={(x,y)|y=x—l},那么)

易错点4参数可否取"=''问题(遗漏端点)

【规律总结】1.处理技巧.2.精益求精、规范答题.3.实心的点与空心的圆圈的应用.

【问题1］：已知集合A={x|0V2xW3+a},B={x|-0.5<x<2),若AB,求a的取值范围.

【练1】汜知集合A={x|lWx<5},C={x|-a<xWa+3}.若CPIA=C,则a的取值范围是

易错点5方程、不等式、函数最高项系数为字母，忽略字母为0的情况

【问题1］：设，，若，求实数a组成的集合的子集有_______个.

【练1】：若集合A={x£R|ax2+ax+l=0}中只有一个元素，则a=()

A.4B.2C.OD.0或4

创新题型与集合相关的创新性题型，即新概念、新定义、新性质题型

1.对于任意两个正整数团,定义某种运算“宏”如下:当团都为正偶数或正奇.时,囹※即叱当回中一个为正偶数，另一个为正奇数

时，回※回=团.则在此定义下，集合团※团中的元素个数是…)

A.18个B.17个C16个D.15个

【解析】因为同团同团团团13曾,

,集合中的元素是有序数对，所以集合中的元素共有个，故选B.

2.【2016年广东揭阳一模】非空数集如果满足：①；②若对有，则称担“互倒集”.给出以下数

集：®0；②团：③3；

④.其中“互倒集”的个数是()A.4B.3C.2D.1

【解析】集合①，当-2<。<2时为空集，所以集合①不是“互倒集」集合②，

{x|xa-4x+l<0}={x|2-^<x<2+JJ},所以尸<—<----尸,即2—75<，<2+道，所

2+在x2-4

以集合②是“互倒集］集合③，当时，ye［r,0),当时yc(0」］,所以集合③不是“互

C0c

例集1集合④，旌《2，乡12U［2S,4=26；s］目1底2总s；］,所以集合④是“互倒集工故选C.

55252y52

【经典题型】

1.【湖南省长沙市长郡中学2016届高三下学期第六次月考】已知集合团,0,若13,（3,则

【解析】团，若团，团,由团，胤所以胤是方程包的两根，由根与系数关系得:固

2.【2016年榆林二模】已知集合.，则...

【解析】={x||x+l|<11={x|-1<x+1<1)=(-2.0),

=（-I［所以xns=（-2,o）n（-i.m）=（To）.

3.【2015届湖北省七市高三4月联考】集合团团，则团..）

A.B.C.D.［0,1］【答案】D

4.12015届广东省汕头市潮南区高三5月高考模拟】已知集合，，且，则..）A.….B..…C..…D.7

【解析】求出Af中不等式的解集确定出M,根据M与N交集求出。与b的值,即可求出。+6的值.由M

中的不等式变形得：1。82（%-1）<2,即0<xT<4,解得即材=（1,5）,<”={*<%<6},

且MAN=（2力），.•・a=20=5,则o+b=7.故选：D.

5.【2015届浙江省高三第二次考试五校联考】团，若回表示集合团中元素的个数，则.…，则.....

【解析】当0时,团团，即胤团

由于团不能整除3,从团到胤团,3的倍数，共有682个，胤

6.设集合胤则集合回的子集个数为..）

A.0B.0C.0D.0

【解析】，共有4个元素，故集合的子集个数为，故答案为C.

如何学好高中函数知识？

L一算（4种不等式解法、一图（8种图象画法、4大变换技巧1一解、两域、一定、一最、四性、一渐；

2.一参、一I1亘、一存、一恰

每新学一个函数，均要研究上述内容

高中阶段部分常见不等式的解法？

1.一元二次不等式的解法

判别式

A>0A=0A<0

△=6-4ac

二次函数丁=4犬+法+《〃》°）的图象

-b±\jb2-4ac

为2=.b

二次方程A5+hx+c=°（〃>°）的根2aX=x^=c无实根

}2a

(X<。2)

b।

不等式.+hx+c>0(a>0)的解集{x\x<xl^x>x2}R

{x|2a

不等式（a?+bx^c>°（。>0）的解集{x|X|cxc%}00

（1）一元二次不等式的解法及步骤？

的解为“大两边、小中间”，即“x>x大或x<x小”，“x小66大'若a<0,怎么处理？

（2）一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数的区别与联系？

（3）十字交叉相乘法的技巧？

2.分式不等式的解法

器>0o/(x)g(x)>0这<0=

/(x)g")<。

⑵如）

)(“g(x)N0真0。,/(X)/>(A)<0

g(M1.g(x)工。,⑷小）g(x)工U

«

3.绝对值不等式的解法

不等式解集

|x|<a(a>0){x\-a<x<a}

\x\>a(a>0)x\x<-a^x>a}

把看成一个整体，化成，型不等式来

|ax+Z?|<cjax+b\>c(c>0)求解

4.指数不等式与对数不等式解法

/«>()

【OgafW>log”g。)Q<gW>0

⑴当a>l时，o/(x)>g(x)；

fM>0

log“f(x)>log“g(x)o.g(x)>。

⑵当0<a<1时，夕"">a""<=>/*)<SM,[fM<g(x)

高一上学期8种常见函数的图像及其性质？

“一解、二域、一定、四性、一最、一渐”与“作图、识图、用图”

函数名一次函数二次函数反比例函数指数函数

2/(幻=人(女00)

解析式f(x)=ax+b(a^O)f(x)=ax+Z?x+c/W=4r

X

("0)(40且aw1)

aX),k>0

图像

/_y-X

____乙/\a>1)

/Ox

RR

定义域{xlxwo}R

R4ac-b2(-8,0)50,+8)(0,4-oo)

值域r[—:——M)

4。

必过点(0,h)(0,c)a,i)(0,1)

(-D

不是周期函数不是周期函数不是周期函数不是周期函数

周期性

在R上单增

单调性（-8,---）为减(-00,0)为减为增，

2a

0<a<l为减

（—^,+8）为增

(0,+8)为减

2a

在R不存在最大最小值开口向上Tf最小值不存在最大最小在R上不存在最大最

值小值

4ac-b2

>min-

4Aa

奇函数非奇非偶函数

奇偶性8=0为奇函数8=0为偶函数，

「工0非奇非偶函数bxO为非奇非

偶函数

关于图像上图像关于原点对既不成中心对称也不

对称性函数图像关于

任何一点对称；直缘二a对称称；成轴对称。

函数图像关于直线

2a图像关于

直线y=x对称；

y——x+/对称，

a关于

，为常数。

直线），=T对称。

无无

渐近线直线x=0或者直线y=0.

直线y=0.

函数名对数函数幕因数双钩函数含绝对值函数

y=ax+b/x（a>0,b>0）y=卜一《+,一可

Y=xa

y=log：与均值不等式关系为了研究方便

解析式y=AAX-

(a>0且。工1)(JVHo)设”〃

/

/

田\一-----v^A-1书b-a

图像L/

/0。bX

(0<a<I)

定义域(0,+oo)[0,+oo){x|x工0}R

[o,+00)(■

值域[/?-t7,4-oo)

R[?V^,+Oo)

F，2A/^)

(a,b-a)

必过点(1,0)(14)

(b,b-a)

(

周期性不是周期函数不是周期函数不是周期函数不是周期函数

["用递增，

（-oo,司为减函数

Q>1,上患‘°）递减’

h+8）为增函数。

单调递增。定义域内

单调性[凡切上为常值

0<。<1,为增函数通递减,

函数。

单调递减。

（、&+8卜增。

,无最大值

最值无最大最小值无最大最小值稣而=b-a

奇偶性非奇非偶非奇非偶奇函数〃+/,=()为偶函数

关于直线

既不是轴对称也既不是轴对称也不

对称性关于原点成中心对称a+b...

不是中心对称是中心对称X=------对称。

2

渐近线直线x=0y=ar和x=()

一、指数、对数、幕函数图象规律

1.指数函数，在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低.

2.对数函数，在第一象限内，越大图象越低；在第四象限内，越大图象越高.

3.幕函数

（1）国象分布：辕函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象.暴函数是偶函数时，图象分布在第一、二象

限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第

一象限.

（2）过定点：所有的事函数在都可定义，并口图象都通过点.

（3）单

调性：

如果，

则幕函

数的图

象过原

点，并

且在

上为增

函数.

如果，

贝累函

数的图

象在

上为减

函数，

在第一

象限内，幕函数丁=工”（〃£氏）

图象无

限接近

轴与

轴.

（4）奇

偶性：当

为奇

数时，

帚函数

为奇函

数，当

为偶

数时，

¥函数

为偶函

数.当

（其中

互质,

和

）,若

为奇

数为

奇数时，

则是

奇函数，

若为

奇数

为偶数

时，则

是偶

函数，

若为

偶数

为奇数

时，则

是非

奇非偶

函数.

（5）图

象特征：

某函数

,当

时，若

,其图

象在直

线下

方，若

,其图

象在直

线上

方，当

时，若

,其图

象在直

线上

二、拓展对勾函数（作图）

陌生函数，利用描点法作图：化简函数解析式；确定函数的定义域；讨论函数的性质（奇偶性、单调性、值域）；确定

特殊点：画出函数的图象.

如何画出f（x）=x-2/x图象

三、图象平移、对称、翻折、伸缩4大变化技巧（注意过定点与渐近线）

l.y=|f（x）|,y=f（|x|）.|y|二f（x）三大图象画法（上不动、下翻上；左去掉、右不动、右翻左；上不动、上翻下）

若曲线|y|=2x+l与直线y=b没有公共点，则b的取值范围是________.

延伸探究I若y=|2x-l|,与直线y=b有两个公共点，求b的取值范围_________

延伸探究2若y=|2x-1|在（-8,可上单调递减.则k的取值范围是什么？

延伸探究3若直线y=2a与函数y=|ax-l|（a>0且a芋1）的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？

2.形似神异的图象变换规律

K(vm)

y=loga-*y=|loga|+n,m>0,n>0下翻上、右移m、上移n

v,n

y=loga'-*y=loga||+n,m>0,n>0左去掉、右翻左、右移m、上移n

xxm

y=loga-*y=Ioga(||+n),m>0,n>0左移n、左去掉、右翻左、右移m

xxm

y=loga-*y=|loga||Lm>0,n>0下翻上、左去掉、右翻左、右移m

3.与指数函数相关的函数图象

y=ax与y=Jy=10ga|XI

如何将列产2-lx-l悭京？3推合成发倏*y=o.5x:y=0,5|x|:y=0,5|x-l|

4.与对数函数相关的函数图象

y=liogax|y=10ga|X|Iy=iogalxll

5.图象平移变化易错点

若将函数的图象右移、上移个单位，得到函数的图象；若将曲线的图象右移、上移个单位，得到曲线

的图象.

四、秒杀复杂函数图像的4大技巧(识图)

特殊点函数值、定义域与值域、单调性、奇偶性

1J2016•杭州模拟］已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()

A.f(x)=x2-21n|x|B.f(x)=x2-In|x|C.f(x)=|x|-21n|x|D.f(x)=|x|-In|x|

2.【2016年揭阳市高中毕业班二模】函数/。)=些业!(0<«<1)图象的大致形状是

\x\

3.［2016・济南模拟］函数次用二不一炉的图象为()

4.［2016•杭州模拟曰知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能是()

A.f(x)=x2-21n|x|B.f(x)=x2-In|x|C.f(x)=|x|-21n|x|D.f(x)=|x|-In|x|

五、用图

1.【2016届湖北省襄阳五中高三5月高考模拟】已知函数。是奇函数；当团时,团.若不等式12((2且(3)对任意的田恒成立，则

实数团的取值范围是()

A.0B.0C.0D.0

2.【河北省衡水中学2016届高三一调】已知是定义在上的周期为3的函数，当时，.若函数

在区间［-3,4］上有10个零点(互不相同)，则实数的取值范围是

3.［2016•青岛模拟］已知函数y=f（x）的周期为2,当x£［T,l］时,f（x）=x2,那么函数y=f（x）的图象与

函数y=|lgx|的图象的交点共有（）

A.10个B.9个C.8个D.1个

4.当OVxW时,4xVlogax,则a的取值范围是（）

A.B.C.（1,）D.（,2）

延伸探究1

若本例变为：若不等式x2—logaxV0对x£恒成立，求实数a的取值范围.

延伸探究2

若本例变为：当0Vx＜时，Vlogax,求实数a的取值范围.

5.12016届安徽省江南十校高三二模】己知定义在上的奇函数，对于都有，当时，，则

函数在内所有的零点之和为..）A.........B......C.1....D.12

专题2函数的概念及其表示

【高考命题趋势、难易度及分值分布】

主要考查以下三种形式：一是考察函数的概念；二是简单函数的定义域和值域,；三是函数的解析表示法；其中经常以分段

函数为载体，考察函数、方程、不等式等知识.在选择题、填空题中出现，一般是一个具体的函数，难度较低.对函数值域的

考察，多以基本初等函数为背景，若出现在解答题中，则会利用导数工具求解，难度较大.

【考点1］函数的概念与映射的概念

1.映射与函数的区别与联系

区别：主要区别体现在对集合的要求上，映射定义中两个集合为“非空集合”，函数定义中两个集合为“非空数集”.即

映射可以是非空图集到非空图集的映射，也可是非空图集到非空数集的映射.函数仅为非空数集到非空数集.

联系：均为一对一或一对多，不可多对一.函数是数集上的一种映射，即函数是特殊的映射，映射是函数概念的推广.

2.有关经典结论

（1）函数图像是特点是什么？判断两个非空数集能否构成函数，须看是否满足任意性、存在性、唯一性，缺一不可.须

会从图形和代数式两种判断方法.

（2）原象、象与函数定义域、值域区别与联系？函数定义域二集合A,函数值域集合B.

（3）从集合4=3，。2M3，••・，〃”｝到集合B=他也也，…也J的映射有mn个.

（4）第一个集合中的元素必须有象.

（5）相同里数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致（两点必须同时具备）.实际解题时，定义域、对应法则哪一要

素容易判断不相等，先判断谁，只要有一个不相等，即不为同一函数.

1.给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②是函数；③函数的图象是一条直线；④与是同一个函数.其

中正确的有（）A.1个B.2个C.3个D.4个

【解析】（1）由函数的定义知①正确.②中满足=+万三的x不存在，所以②不正确.③中

尸的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确.④中/（%）=士与g（6=%的定义域

x

不同，.二④也不正确.故选/.

2.设集合团是两个集合，①比②蜕③应则上述对应法则同中，能构成团到团的映射的个数是..）

【解析】对于①,团，由对应法则瓦13中的元素团在0中没有对应的象.工团

【考点2】函数的表示

如何求函数解析式？

一、解析式表示方法：解析法、列表法、图像法

二、求解析式常用方法

1.代入法：如已知回求回时，有13.

2.换元法或配凑法.已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意标注新元取值范围.当已知表达式较简单时，

也可用凑配法.

3.待定系数法：已知的函数类型，要求的解析式时，可根据类型设其解析式，确定其系数即可.

4.方程组法/消元/参法：已知与满足的关系式，要求时，可用代替两边的所有的，得到关于的方程组，解之即可

得出.若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x).若与或满足某个等式，可构造另一个等式，通过

解方程组求解.(x与-x、x与1/x.

5.图形法：已知函数尤其是分段函数图像求解析式

6.赋值法：给自变量赋予特殊值,观察规律.从而求出函数的解析式.

三、易错点：若自变量不是R,定要标注自变量范围，否则极易出错.

四、用好解析式(通过解析式，分析出函数的单调性和奇偶性，再利用此性质解题)

【考点3】分段函数及其应用

1.【2016年河北石家庄高三二模】已知团则团的值….

2.【2016年江西九江市高三三模】已知函数满足，求的值.

【解析】:/(100)=97./(99)=/1/(104)]=/(101)=98.

/(98)=/T/(103)]=/(100)=97./(97)=71/(102)]=/(99)=98,

/(96)=/[/(101)]=/(98)=97,依此类推,得/(99)=f(97)=...=/(1)=98」

学好分段函数仅需把握11类常见题型

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内，有不同的对应法则的函数.它是一个函数，非几个函数；它的定

义域是各段函数定义域的并集，其值域也是各段函数值域的并集.

一、分段函数的五种类型

1.取整函数f(x)=[x],[x]是不超过X的最大整数

2.符号函数f(x)=(-l)x，X分奇偶数

3.绝对值函数4.自定义函数5.点列函数

二、具体题型

1.求分段函数的定义域和值域

例L求函数的定义域、值域值域为(-1,2]U{3}.

2.求分段函数的函数值

例1.已知函数求.

例2.已知函数，求f{flf(a)]}(a<0)的值.

分析.求此函数值关键是由内到外逐一求值，即.a<0.f(a)=2a,又0<2a<l..

,所以，…注：求分段函数值的关键是根据自变量的取值代入相应的函数段.

Je'D.।

g'-I/nrX>0g(g(力)=

练]设则2_________

2/T(X<2),

/W=k2

练2.设[lOgU一D(馨2).则/[/(2)]=

3.求分段函数的最值

例2.设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+l,x£R,求f(x)的最小值.

所以，只要分别求出其最小值，再取两者较小者即可.

解：当x<a时，函数f(x)=x2-x+a+l.

所以若，则函数f(x)在(-8闺上单谎递减，从而f(x)在(・8闺上的最小值为f(a尸a2+l.

若,则函数f(x)在(・8间上的最小值为,且.

当xea时，函数.

若，则函数f(x)在［a,+8)上的最小值为，且.

若,则函数f(x)在⑶+8)上的最小值为的曰2+1.

综上，当时，函数f(x)的最小值是.

当时，函数f(x)的最小值是a2+l；

当时，函数f(x)的最小值是.

4.求分段函数的解析式

例1.在同一平面直角坐标系中，函数)'=/(x)和>=g(x)的图象关于直线丁二1对称，现将>:g(x)的图象沿工

轴向左平移2个单位，再沿)'轴向上平移1个单位,所得的图象是由两条线段组成的折线(如图所示)，则函数/(X)的

表达式为1A)

2xI2(1<%<0)2x2(l<x<0)

A/«=B.f(x)=\

科2(0<x<2)4一2(0<x<2)

lx-2(l<x<2)2x-6(1<^<2)

C./(x)=D./(£)二

尹1(2<x<4)(2<x<4)

例2.某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1口起的300天内，西红柿售价与上市时间的关系用图1的一条

折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线段表示：

⑴写出图1表示的市场售价与时间的函数关系式P=f(。，写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q=g⑴；(H)

认定市面上售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？

解析：

⑴由图1可得市场售价与时间的关系为

由图2可得种植成本与时间的函数关系为

(0〈t〈300)c

(II)设t时间的纯收益为h(t),由题意得

h(t)=f(t)-g(t)

再求h⑴的最大值即可。

5.作分段函数的图像

例1.函数的图像大致是()

例2.已知函数f(x)=|x2-2x-3|的图象与直线y=a有且仅有3个交点，求a的值...a=4.

6.求分段函数的反函数

例1.求函数的反函数.

解：.f(x)在R上是单调减函数在R上有反函数.

.y=x2+l(xW0)的反函数是(x21).y=l-x(x>0)的反函数是y=l-x(x<l).

.函数f(x)的反函数是.

.：求分段函数的反函数只要分别求出其反函数即可.

例2.已知是定义在上的奇函数.且当时.•设得反函数为•求的表达式.

解析：设，则，所以，又因为是定义在上的奇函数，所以，且，所以，因此

.从而可得.

例3.已知，若记为的反函数，且则.

7.判断分段函数的奇偶性(用定义法时，观看原来的段)

例1.判断函数的奇偶性..偶函数，与多项式结论区别.

8.判断分段函数的单调性(每一段均要单调，且整体单调)

例1.判断函数的单调性.

解一：

分析：由于x£R,所以对于设xl>x2必须分成三类.

1.当xl>x2>0时，Mf(xl)-f(x2)==(xl-x2)(xl+x2)>0.

2.当。>xl>x2时，则.

3.当xl>0>x2时，则.

综上所述:xER,且xl>x2时，有f(xl)・f(x2)>0.

所以函数f(x)是增函数.

注：分段函数的单调性的讨论必须对自变量的值分类讨论.

例2.写出函数的单调减区间.

9.解分段函数的方程

oVXG(-co,l]1

f(4*./I\f(x)=_

例1,设函数[logcxw(l，+°°),则满足方程’4的工的值为

解析：若.则.得.所以(舍去).若.则.解得.所以即为所求.

练1：函数f(x)=,如果方程f(x)=a有且只有一个实根，那么a满足

A.a<0B.OWavlC.a=lD.a>l

练2:设定义为R的函数则关于的方程

有7个不同的实数解的充要条件是()

.A.且…B.且…C.且..D.且

练3：设函数在R上满足，，且在闭区间上，只有.

(I)试判断函数)'=/(©的奇偶性；

(II)试求方程在闭区间上的根的个数.并证明你的结论.

10.解分段函数的不等式

例1:设函数，若，则得取值范围是()

A(-1J)8.(—1,口)C.(F,-2)D(0,+OO)D.(-OO,-1)<J(1,+OO)

解一：首先画出和的大致图像.易知时.所对应的的取值范围是.

解二：因为.当时.•解得.当时..解得•综上的取值范围是•故选D.

例2:设函数，则使得的自变量的取值范围为()A

A........B..C.......D.

练1：已知，则不等式的解集是

练2:设f(x)=则不等式f(x)>2的解集为

(A)(1,2)(3,+8)(B)(,+8；(C)(|,2)(,+oo)(D)(1,2)

练3:设(x)=，使所有x均满足x・(x)W(x)的函数8仪)是()

A.(x)=sinxB.(x尸xC.(x)=x2D.(x尸冈

11.分段函数零点问题

略

点评：以上分段函数性质的考查中，不难得到一种解题的重要途径，若能画出其大致图像，定义域、值域、最值、单调性、奇偶

性等问题就会迎刃而解，方程、不等式等可用数形结合思想、等价转化思想、分类讨论思想及函数思想来解，使问题得到

大大筒化，效果明显.

【考点4】定义域和值域

如何求函数定义域？

解决所有函数问题，要树立定义域优先思想，即若函数定义域不为R,优先求出定义域。

一、具体函数定义域求法

一般遵循以下原则：

1.是整式时，定义域是全体实数.

2.是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数.

3.是偶次根式时，定义域是使被