高中数学培优竞赛强基计划讲义数学竞赛教案：第64讲-极限和导数

极限和导数

相关知识

1.导数的有关概念。

(1)定义：

函数y=f(x)的导数f(x),就是当At—0时，函数的增量△,，与自变量的增量©的比”的

Ax

极限，即/=lim包=lim仆+”>二/(工),,

8->0Ar-0AY

(2)实际背景：瞬时速度，加速度，角速度，电流等。

(3)几何意义：

函数y=f(x)在点X。处的导致的几何意义，就是曲线尸f(x)在点P(x0,f(x。))处的切线的斜率。

2.求导的方法：

(1)常用的导数公式：

C=0(C为常数);

(X")=mx"1(m£Q);

(sinx)=cosx;

(cosx)=-sinx;

(el*;

(a')/=a'lna

(Inx)1=—;

x

(Iog.x)=-\oge.

xa

(2)两个函数的四则运算的导数：

(U±I，)'=14±VZ；

(HV)Z=LIV+UV；

/u、I，u/V-UV/.小

-=——;—(v*0).

kv；v-

(3)复合函数的导数：=

3.导数的运用：

(1)判断函数的单调性。

当函数y=f(x)在某个区域内可导时，如果f(x)>0,则f(x)为增函数:如果f(x)<0,

则f(x)为减函数。

(2)极大值和极小值。

设函数f(X)在点X0附近有定义,如果对Xo附近所有的点,都有f(x)〈f(x0)(或f(x)>f(Xo)),

我们就说f(X。)是函数f(X)的一个极大值(或极小值)。

(3)函数f(x)在［a,b］上的最大值和最小值的求法。

4类例题

例1求函数的导数：

⑴y=--——［2)y=(ax-Z?sin2tar)3(3)y=/(^x2+l)

(I+x)cosx

(1-x)z(l+x2)cosx-(l-x)[(l+x2)cosx]r

⑴解：)，'=

(l+x2)2-cos2X

-(1+A,2)cosx-[\-x)[(l+x2)zcosx+(l+x2)(cosx)r]

(1+x2)2cos2x

一(1+/)cosx-[\-x)[2xcosx-(l+x2)sinx]

(1+x2)2cos2X

(x2-2x-l)cosx+(l-x)(l+x2)sinx

(1+x2)2cos2X

(2)解iP3,P=av—psin2wx,u=av—by

v=x,y=sinyy=(^x

y1=(〃')'=3P2•H'=3p\av—by)'

=3〃23M—by')=3u\av,—by'y')

22

=3(ar—/7sin<*)xr)(a—i?wsin2

⑶解法一：设)寸〃),〃=4,呻/+1,则

1_1

)/x=)JyV*v'x=f(P)•-V2•级

=f(>lx2+1)•

解法二：<=解J^+l)]'=f>(JY+])・(J/+]y

=f(Vx2+1)--(^+1)-2•

2-

二f（Vx+1）・1（^+1）2・2x

=-r=f(V?+l)

ylx2+I

说明本题3个小题分别涉及了导数的四则运算法则，复合函数求导的方法，以及抽象函数求

导的思想方法,这是导数中比较典型的求导类型.

解答木题的关键点是要分析函数的结构.和特征，挖掘量的隐含条件，将问题转化为基木函数

的导数.

本题难点在求导过程中符号判断不清，复合函数的结构分解为基本函数出差错。

例2.观察=(sinx)r=cosx,(cosx)r=-sinx,是否可判断，可导的奇函数

的导函数是偶函数，可导的偶函数的导函数是奇函数。

解：若/(幻为偶函数/(-x)=f(x)令lira/(X+&)_〃」)二/⑴

△3Ar

fX-x)=lim――~~—lim――~~~~

a、-*0十AxA、->°十Ai

=lim-仆…)-仆)=一/⑺

AXTO—△

:.可导的偶函数的导函数是奇函数

另证：f="(-%)]'=/'(+-)'=-f(x)

・•・可导的偶函数的导函数是奇函数

例3已知曲线Qy=K—3N+2x,直线/:y=kx,且/与C切于点(xo/o)(Xo#O),求直线/的方程

及切点坐标

解i由/过原点，知A=(x()W0),点(xo,yo)在曲线C上，yo=xo3_3A-O2+2XO,

Xo

:.—二沏?一3x（）+2

■“

y=3x2—6.v+2,k=3x（r—6吸）+2

X^=—,3xo2—6x（）+2=xo2—3xo+2

3

2x（r—3xo=O,**.xo=O或xo=—

2

3

由x#0,知xo=—

2

3333

••・和=（不）3-3（彳）2+2・

222o

出4

二/方程片一切点(3,--)

428

情景再现

戈2X<[

1.y=f(x)=\一在x=l处可导，则。=b=

ax+bx>1

2.已知f(x)在x=a处可导,且f'(a)=b,求下列极限:

(1)lim-)-/小人)：(2)一/S

M->O2hM->oh

3.设f(x)=(x・1)(x-2)…(x-1OO),求f'(1)。

B类例题

例4(1)试述函数y=f(x)在x=0处的导数的定义；

⑵若f(x)在R上可导,且f(x)=-f(x),求f'(0)。

(1)解：如果函数尸f(x)在x=0处的改变量Ay与自变量的改变量之比

半=)(O+Ax)―/(O)当心f0时有极限，这极限就称为y=f(x)在x=0处的导数。

ArAx

记作八°)=lim『3。

△x->0Z

(2)解法一：・・・f(x)=f(-x),则f0x);f(-Zkx)

/(°)=lim-------T--------=-lim----------T---------

AXTOLXX—

当Arf0时，有一Arf0

•r/(-Ax)-/(O)

••j(°)=Tmi---------T----------=-/(°)

3t。一行

A//(0)=0<

解法二：・・・f(:《)=f(-x),两边对X求导，得/«x)=//(x)•(-x)/=-//(x)

・・・//(0)=-广(0)

・・・/z(0)=0o

链接说明

本题涉及对函数在某一点处导数的定义。题(2)可对其几何意义加以解释：由于

f(x)=f(-x),所以函数产f(x)为偶函数，它的图象关于y轴对称，因此它在x=x0处的切

线关于y轴对称，斜率为互为相反数，点(0,f(0))位于y轴上，且f(0)存在，故在该点

的切线必须平行x轴(当f(0)=0时，与x轴重合)，于是有f(0)=0。在题(2)的解二

中可指出：可导的偶函数的导数为奇函数，让学生进一步思考：可导的奇函数的导函数

为偶函数吗？

例5利用导数求和

(1)Sn=1+2x+3f+…।(xW0,〃£N")

(2)S产C；+2C：+3C：+•••+/©：,(〃£N*)

解3⑴当尸1时

S产1+2+3+•••+〃=—//QH-1);

2

当xWl时，

X-n+,

*.*x+f+3+•••'=-——x-——,

1-x

两边都是关于X的函数，求导得

X-Xn+i

(K+W+X3+,••+/‘)，=(----------y

1-x

,--.1—(/?+!)x"+nxn11

即ni&=1+2^+3/+…+底i=-------------------------

(1-x)2

(2)•・•(1+x)"=I+C:x+C=N+…+C：?，

两边都是关于x的可导函数，求导得

〃(1+1)'「=C:+2C"+3C:9+…+〃c：V厂I

令E得，〃・2”FC；+2C：+3C：+•••+£〉

BPS=C；+2C：+・・・+/JC：=〃.2LI。

说明要注意思维的灵活性以及在建立知识体系中知识点灵活融合的能力，通过对数列的通项

进行联想，合理运用逆向思维•由求导公式(广)'=/次「,可联想到它们是另外一个和式的导数

・关键要抓住数列通项的形式结构.

本题难点是学生易犯思维定势的错误，受此影响而不善于联想。

第⑴题要分户1和xWl讨论，等式两边都求导.

例6.(1)xw(0,+8)求证一?—<Inx+1.)

x+\xx

(2)neNn>2求证一H-----1-----F—<In/?<1H----1•…d——!—

23n2n-\

(1)证：令l+—=/x>0:.t>1x=—

xt-\

原不等式令/(/)=/-1-lnr•••=

tt

，£(l,+8)f(t)>0・•・，£(l,+8)/⑺T•・•/(f)>/(I)=0

・'・r-1>In/令ga)=lnf-l+1gXt)=--^-=^r

tttt

re(l,4-oc)g\r)>0ArG(1,+co)g(f)T

/.g(r)>g⑴=0・•・lnr>l--・•・—<ln—<-

tX+1XX

(2)令x=l,2…〃-1上式也成立

111,2,3,n,11

将各式相加1----F,—I<InblnF••,4-1g------<1H-----F,••H--------

23n127t-l2n-{

„„111,11

即一+—+…+—<ln〃<l+—+…+------

23n2n-\

例7.已知。>0,〃为正整数.

(I)设y=(x—a)",证明y'=;

(II)设/“(％)=x"-(工-。)",对任意证明力+](〃+1)>(〃+1)/“(〃).

证明：(I)因为“一〃)〃=£&(一。)""

*=0

所以了=工沁(一。尸尸=£〃Ct；(-a)"—i=〃(x-。尸.

X=0i=0

(H)对函数J；(x)=Xn-{X-〃V求导数：

n{n

fn(x)=nx~-n(x-a)"',

所如：尸].

当x>a>Offt,fn(x)>0.

当x>。时,<a)=x”-a-。v是关于x的增函数

因此当〃>〃时,(〃+1)"-(〃+1-a)n>nn-(n-a)n

•••A+,(〃+D=(〃+D[(H+1)〃一(〃十1—a)"]>(〃+1)(/—(〃一a)〃)

>(〃+1)(〃”一〃(〃-)=(//+1)/,(n).

即对任意〃2aJ“+i(〃+1)>Q?+1)/“5).

情景再现

4设f(x)在点x0处可导.a为常数，则lim八"°+必所-爪)等于()

ATTOAr

A.f(xo)B.2af(xo)C.af(xo)D.0

5.求证下列不等式

x2x2

(1)x----<ln(l+x)<x---------xe(0,+co)

22(1+划

(2)sinx>—xG(0,—)

712

71

(3)x-sinxvtanx-xxG(0,—)

2

।r\

6已知。>0,函数/(x)=———,xe(0,+oo),设0<a<—,记曲线y=/(x)在点

M(为，/(2))处的切线为/，

(I)求/的方程；

(II)设/与X轴的交点为“2，。)，证明：①()＜巧与，②若将＜1，则再＜犬2＜

例8设函数f(x)=ax3-2bx:+cx+4d(a^b、c^d£R)的图象关于原点对称,且x=l时，式x)取

2

极小值

3

(1)求a、b、c＞d的值；

(2)当x£[T,1]时，图象上是否存在两点，使得过此两点的切线互相垂直？试证明你的

结论；

4

⑶若Xi,X2@[T,1]时,求证：|F(X1)-F(X2)|这一。

3

解(1)•・•函数f(x)图象关于原点对称，，对任意实数X,都有A-X)=-f(x).

-ax3-2bx2-cx+4d=-ax3+2bxz-cx-4d,即bx-ZdR恒成立.

/.b=0,d=0,HP/'(x)=ax3+cx.:「(x)=3(IX2+C.

22

•・・x=l时，F(x)取极小值：.f⑴=0且f⑴。

33

2|

即3a+c=0且a+c=--.解得a=—，c=-l.

33

(2)证明：当x£[-1,1]时，图象上不存在这样的两点使结论成立，假设图象上存在

两点A(xi,y])、B3+y2),使得过这两点的切线互相垂直，

则由F(x)=x2-l,知两点处的切线斜率分别为ki=x『-l,k2=X2?T,

且闻2-1)面-1)=-1.(*)

VxisX2G[-1,1],.".xjTWO,X22-1^0

22

A(X.-1)(X2-1)^0,这与(*)相矛盾,故假设不成立.

(.3)证明：F(x)=x2-l,由F(x)=O,得x=土1.

当X£(-8,-1)或(1,+°°)时，f(x)>0;当xE(-1,1)时，f(x)<0.

22

；・F(x)在[T,1]上是减函数,且£ax(x)=f(T)=—,&n(x)=AD=-一.

33

2

・••在[T,口上,|F(x)|wW.

3

224

于是xi,x2e[T,1]时,|/1(xi)-f(x2)IW|Axi)I+1f(:<2)IW—+—=一.

333

4

故xI,x?£[T,1]时，If(xi)-f(x2)IW—.

3

说明①若x0点是y=f(x)的极值点，则F(xo)=0,反之不一定成立；

②在讨论存在性问题时常用反证法；

③利用导数得到尸f(x)在上递减是解第(3)问的关键.

例9已知平面向量£=(6，-1).万=(L£).

22

(1)证明Z_1>万；

(2)若存在不同时为零的实数k和t,使，=。+(/-3)b,y=-ka+lb,试求

函数关系式k=f(t);

(3)据(2)的结论，讨论关于t的方程At)-k=O的解的情况.

分析通过向量的运算转化为函数问题

I/T

解(1):a,b=V3X—+(-1)X-----=0••a_L/?.

22

(2)*.*x.Ly,/..r•y=0即[〃+(--3)5]•(-k«+tb)=O.

整理后得-k7+[t-k(t2-3)]7B+(t2-3)・5J。

Va-b=O,a2=4,b2=1,

・•・」二式化为一4k+t(1?—3)=0,即k=-1(t2-3)

4

(3)讨论方程,1(12-3)-1<=0的解的情况，可以看作曲线*2_3)与直线y二k

44

的交点个数.

|7

于是F(t)=-(t2-l)=-t(t+l)(t-l).

44

令f(t)=0,解得t产-1/2=1.当t变化时,f(t)、f(t)的变化情况如下表:

t(-°0,-1)-1(-1,1)1(1,+°°)

f(t)+0—0+

F(t)/极大值极小值/

当t=T时，f(t)有极大值,当t)fit大处=—.

2

当t=-1时，At)有极小值，

2

函数Ht)=』t(t2-3)的图象如图,13—2—1所示，

4

可观察出：

(1)当k>,或kv-L时,方程At)-k=o有且只有一解;

22

⑵当k="!■或k=-L时，方程r(t)-k=o有两解;

22

(3)当-Lvkv」时，方程f(t)-k=O有三解.

22

说明导数的应用为函数的作图提供了新途径。

例10已知函数f(x)=ln(l+x)-x,g(x)=xlnx.

(1)求函数Ax)的最大值；

⑵设0<a<b,证明：0<g(a)+g(b)-2g(a+)<(b-a)ln2.

2

解：(1)函数_f(x)的定义域为(T,+8),f(x)=--1.

1+x

令f(x)=0,解得x=0.

当TVxVO时，f(x)>0;当x>0时，f(x)<0.

又/XOYO,故当且仅当x=0时，/'(x)取得最大值，最大值为0.

(2)证法一：g(a)+g(b)-2g("+”)

2

=alna+blnb-(a+b)In----

2

2a.2b

=aln-----+/?ln-----

a+ba-b

由(1)结论知ln(l+x)-x<0(x>T,且xWO)

由题设O〈a〈b,得上卫>0,-1<a-b八

:-----<0

2a2b

因此In且.b-ab-a,2b.八a-b、a-b

=m(r)>-----,In=-ln(l+-----)>------

a+b2aa+b2h2h

.2a..2bb-aa-b八

.*.6/In-----+b\n---->--------------=0.

a+ba+b22

c2aa+b

又-----<-----，

a+b2b

.2a..2b.a+b,,2b...,2br.,_

.\a\n----+〃In-----<win-----+/?ln-----=(b—a)In-----<(b-a)\x\2.

a+ba+b2ba+ba+b

综上0<g(a)+gS)-2g(W^)<S-a)ln2.

证法二：g*)=xln/,g'(x)=lnx+l.

设尸。)=,式。)+8(工)-28(叫)，则

/3=gf(x)-2[g(受)]'=Inx-In受.

当0<x<a时，F(x)<0,因此尸(工)在(0,。)内为减函数;

当x>a时，FXx)>0,因此F(x)在(兄+8)上为增函数.

从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a).

・・・F⑷=0,b>a,F(b)>0即0vg(a)+g(b)-2g.

/74-r

设G(x)=F(x)-(x-a)In2,则Gr(x)=Inx-In---In2=Inx-ln(a+x)

当x>0时，G'(x)<0,因此G(x)在(0,+8)上为减函数。

,/G(a)=0,b>a,G(b)<0,

即以a)+gS)—2廉"?)<9一4)皿2,综上，原不等式得证。

链接

丁

1.证明：当x>0时，有x----<sin^<x

6

2.已知数列｛aj各项均为正数,2为其前n项和,对于任

意的n£N*,都有4Sn=(a/l)2

(1)求数列｛须｝的通项公式：

(2)若2"2tSn对于任意的n£N*成立，求实数t的最大值。

2

分析:利用分-S『产&用22)易得&=2n-L,从而SnF?则问(2)转化为tW二；恒成

T

立，故只需求出数列2=装的最小项，有以下求法：

法一：研究数列｛bn｝的单调性。

法二：数列作为一类特殊的函数，欲求｛^｝的最小项可先研究连续函数），=r（x〉O）

nx

的单调性，求导得y=2'x（E：2—2）,易得X=2为函数y=4的极小值也是最小值

xln2x~

7229732

点，又〈丁，所以1-1=3而4=前<“，故144二6

IneIn2InIn239

注意：导数的引进为不等式的证明，甚至为研究数列的性质提供了新途径，充分地体现了数

列作为一类特殊函数其本质所在。

特别提示：上几例充分体现了导数作为工具分析和解决一些如函数性质、方程、不等式、

数列等问题的方法，这类问题用传统教材无法解决；此外，例10还说明了一点：欲用导数，

得先构造函数。

例11已知双曲线。：），二”。〃<0）与点M（1,1）,如图所示./[

（1）求证：过点M可作两条直线，分别与双曲线C两支相切；穴4：/一

（2）设（1）中的两切点分别为A、B,其△MAB是正三角形，\

求m的值及切点坐标。、，

（1）证明：设。。，丝）£。，要证命题成立只需要证明关于t的方

t

程zu=攵板有两个符号相反的实根。

y'IE=kMQ<=>一]=——<=>r-2mt4-m=0.且tWO,tW1。

设方程/一2〃，+加=0的两根分别为与t2,则由t代2=水0,知-t2是符号相反的实

数，且匕，t2均不等于0与1,命题获证。

"2

（2）设4乙，一）,一）»由（1）知，t）+t2=2m»tit2=m>从而

A’2

L2A=（'+-）=M）=也1二m，即线段AB的中点在直线y=X上。

22t22f也2m

inin

又、心"二二：：:；）—,「.AB与直线y=x垂直。

故A与B关于y=x对称，

设4匕竺)”<0),则8(丝,f)

tt

有t2-2mt+m=0①

ninr

由Q==——,ZAMB=60°及夹角公式知

tk

tan60°=

由①得机二

2r-l

r1.］、4r(l-r)八

从而-r——=---------(z2r-l)=-..........>0

rin2t-\2t-\

由②知;一匚二26二=6-2,代入③知f=—叵口

vmr2

EM136+1石-1、

因此，/H=--,A(一——

链接

求切线方程的常见方法有：1、数刑结合。2、将直线方程代入曲线方程利用判别式。3、

利用导数的几何意义。

小结：深刻理解导数作为一类特殊函数，其几何意义所在，熟练掌握利用导数求函数的

极值、单调区间、函数在闭区间上的最值等基本方法；导数的应用为研究函数性质、函数图

象开辟了新的途径，成为勾通函数与数列、圆锥曲线等问题的一座桥梁；此外，导数还具有

方法程序化，易掌握的显著特点。

情景再现

7.设，工0,点P(f,0)是函数/*)=/+如与且(幻="2+(?的图象的一个公共点，两

函数的图象在点P处有相同的切线.

(I)用，表示a,b,c；

(II)若函数y=/(幻一g(x)在(一1,3)上单调递减，求Z的取值范围.

8.已知函数/(x)=-x3+3/+9x+a

(I.)求/(x)的单调减区间；

(II)若/(x)在区间[-2,2].上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.

9.(2005山东)已知x=l是函数/(x)=八/―3(〃?+1*+〃x+1的一个极值点，其中

m,ne0>

(I)求“7与〃的关系式：

(II)求f(X)的单调区间；

(III)当时，函数y=/(x)的图象上任意一点的切线斜率恒大于3〃?，求〃7

的取值范围.

情景再现答案

dr<1

1.解y=f(x)="-在x=l处可导，必连续limf(x)=1

ax+bx>Ix->L

lim/(x)=ci-\-b/(1)=1/.6/+Z?=1

lim包二2lim包=

/.a=2b=—1

-—AfA.r

2解：⑴"/m+3/，)-73j)/(«+3/?)-/(«)+f(a)-f(a-h)

/TO2h2/2

=iini—+linifS-h)

力TO2/t2。2h

3limAa+3h)_f(a)1f(a-h)-f(a)

2〃T。3h2J。-h

31

=-f\a)^-f\a)=2b

(2)后一/⑷二岛—宿一人叫

/TOh力T。

..f(a+h)-f(a)...z、八八

=hm--------：~•hmh=/(a)•0=0

/.->0/TO7

3.解：/(x)=(x-l)[(x-2)(x-3)-(x-100)]

.../'W=(x-l)'[(x-2)(x-3)...(x-100)]+(x-l)[(x-2)(x-3)-(x-W0)]'

=(x-2)K-3)...(x-100)+(x-l)[(x-2)(x-3)・・・(x-100)]

令X=1得

/'(1)=(1-2X1-3)-(1-100)+0

=(-1)1(-2)……(-99)

=-(99)!

4.答案C

11m+处)-f(/一心)

AXTOX

_f(x+必t)-f(x)+f(x)-/(x-aAx)

—rnm-0000

AVTOAJV

]im-©)-/(/)+〃lim(X。)

aA'T°a^X-“Aso—4Ax

=2af(x0)

1X2-1

5证：(1)/(x)=ln(l+x)-(x-y)/(())=0fix)=---\+x=--->0

I+xx+1

，y=/(x)为(0,+8)上TxG(0,+oo)f(x)>0恒成立

x尸

ln(l+jv)>x-gg(x)=x--ln(l-x)g(0)=0

2(1+x)

4X2+4X-2X212x2八

---------------o=----------—>0

4(1+A)~14-X4(1+A:-)

g(x)在(0,十8)上T/.JIG(0,+oo)~~一ln（l十x）>0恒成立

,八、e—sinx2

(2)原式<=>---->—令fM=sinx/A

ATC

XG(0,y)COSX>0x-tanx<0

cosjc(x-tanx)A-e(O,y)f\x)<0(0,1)；

尸0

f。)=~sinr>—

27t71

(3)令/(/)=tanJV-2x+sinx/(O)=0

“、2c(1-cosA-Xcosx+sin2x)

f(x)=sec~x—2+cosx=--------------------------------

cos-x

XE(O,9/V)>o・•・(o,§T

:.tanx-x>x-sinx

6解：(1)/⑴的导数r(x)=-T，由此得切线/的方程

X"

1-31

)'------L=r(LX|)，

为汇

(2)依题得，切线方程中令y=0,得

2

x2=x1(l-ar])+$=$(2—eg),其中0<司<一,

2]]

(i)由0<$<一,x-,=Xj(2-ax),有x,>0,及x2=一。(再——)2+一,

a~x_aa

/.0<x2<-,当且仅当为二■!■时，X2=lo

aaa

(ii)当X]<4时，axi<1,因此，x2=内(2—。内)>X],且由(i),x2<—,

a~a

所以王</<—o

7.解：(I)因为函数/"),g(x)的图象都过点(f,0),所以/⑺=0,

即产+w=o.因为fNO,所以。=一产.

g(t)=0,即加2+c=0,所以c=ab.

又因为f(x),以外在点(30)处有相同的切线,所以/'«)=/«).

而—)=3/+a,g'(x)=2/次，所以3产+a=2bt.

将。=—»代入上式得/?=/.因此c=。〃=—/.故。=—I?,b=t,c=—z3.

(II)解法一y=f(x)-=x3-t2x-tx~+r3,y'=3x2-2tx-r=(3x+O(x-z).

当y'=(3x+r)(xT)vO时,函数y=/(x)-g(x)单调递减.

由Vv0,若，>0,则—vxv/；若fv0,贝Uf<xv—.

33

由题意,函数y=/x)-g(x)在(一1,3)上单调递减,则

(—1,3)u(―Q,f)或(一1,3)u(Z,——).

Jj)

所以/>3^-->3即Z<-9或/>3.

3

又当一9<3时，函数y=/(x)—g(x)在(-1,3)上单调递减.

所以f的取值范围为（—8,—9]u[3,+oo）.

8.解：(I)f\x)=-3x2+6x+9.

令/'(x)vO,解得x<—l或x>3,

所以函数/(x)的单调递减区间为(-8,-1),(3,+8).

(II)因为/(-2)=8+12-18+。=2+。，

/⑵=—8+12+18+4=22+4,

所以/(2)>/(—2).

因为在(—1,3)上/⑶>0,所以/⑴在［一1,2］单调递增,又由于

/3)在［—2,—1］上单调递减，因此/(2)和/(—I)分别是一⑴在区间

［-2,2］上的最大值和最小值.

于是有22+。=20,解得a=-2.

故/(犬)=-43/+9工-2.

因此/(_1)=1+3_9_2=_7.

即函数f(x)在区间［-2,2］上的最小值为—7.

9.解：。);(工)=3加丫2-6(机+1)工+〃

•・•x=l是函数/*)的一个极值点

.・./«)=o,即3,„-6(m+1)+〃=0

/.〃=36+6

r/2

(II)由(I)知，f\x)=3mx2-6(w+l)x+3/«+6=3w(.v-1)x-1+—

Iin

2

当〃Y。时，有i>i十一，当人•变化时，与r（x）的变化如下表:

m

(,2、

X-co,l+一1+—1（L+CO）

Itn)m

/'*)<0X)>00<0

f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减

故有上表知，当，〃<0时，f(x)在(-8,1+22

单调递减，在(1+—,1)单调递增，在

kfnm

(1,+00)上单调递减.

(III)由已知得r(x)>3/〃，即〃zN-2Q〃+l)x+2>0

Vm<0

2。22

X~---(/〃+1)X4--<0即---(/71+1)XH<0,XG[-1,1]①

mmmm

i9

设8。)=12-2(1+一次+一，其函数开口向上，由题意知①式恒成立,

mm

22

.g)<01+2+-+—<044

••A—mm解之得--<乂，71<0所以—<///<0

[g⑴<033

-l<0

4

即机的取值范围为(一一,0)

3

本节习题

「x2x20

1.已知函数尸f(x)=]那么y1一。的值为()

Lxx<0

A.OB.1C.1或0D.不存在

2.已知曲线C:y=3x-x'及点P(2,2),则过点P可向C引切线的条数为()

A.0B.1C.2D.3

3.下列求导的式子中正确的是()

A.[cos(1-x)]--sin(-x)B.(e'V=e"+e，x

C.(a')/=xa'HD.(In-)=--

xx

4.函数y=〃5111工+工5加3工在工=工处有极值，则()

33

A.a=2B.a=lC.a=—D.a=-2

2

5.函数y=x3-3x,五£“々2+1,0]的最小值是a&T,则实数a的值是()

A.0B.6/=—C.a=一■-D.1

22

6.^f(x)=ax3+bx2+cx+d(a>0)为增函数，则()

A.b2-4ac>0B.b>0,c>0C.b=0,c>0D.b-3ac<0

7.函数了=/*)在区间(0,+8)内可导，导函数/”")是减函数，且/'(工)>0.设

与£((),+8),y=Ax+m是曲线y=/*)在点(与，/(%))处的切线方程，并设函数

g(x)=kx+ni.

(I)用/、fGo)、/(%)表示m；

(H)证明：当X£(0,+8),g(x)>f(x)；

32

(IH)若关于X的不等式/+1之。x+/在一工3在［0,+8)上恒成立，其中a、b为实数,

2

求b的取值范围及a与b所满足的关系.

0.已知函数/十"2十CV十d的图象过点P(0,2),且在点M(1,f(1))处

的切线方程为6工一)，+7=0.

(I)求函数y=/(幻的解析式；

(.II)求函数y=/(x)的单调区间.

9.已知/(6=〃3+灰2-cx+d是定义在灯上的函数，其图象交x轴于AB,C三点，若

点8的坐标为(2.0),月〃丫)在［―1,0］和［4,