高中数学椭圆的几何性质知识精讲文苏教版选修

高二数学椭圆的几何性质苏教版(文)

【本讲教育信息】

一.教学内容：

椭圆的几何性质

二.教学目标：

通过椭圆标准方程的讨论，使学生掌握椭圆的几何性质，能正确地画出椭圆的图形，并

了解椭圆的一些实际应用.

通过对椭圆的几何性质的教学，培养学生分析问题和解决实际问题的能力.

使学生掌握利用方程研究曲线性质的基本方法，加深对直角坐标系中曲线与方程的关系

概念的理解，这样才能解决随之而来的一些问题，如弦,最值问题等.

三.重点、难点：

重点：椭圆的几何性质及初步运用.

难点：椭圆离心率的概念的理解.

四.知识梳理

1、几何性质

(1)范围「+\=1,即|x|Wa,这说明椭圆在直线x=±a和直线y=±b

a~b~

所围成的矩形里.注意结合图形讲解，并指出描点画图时，就不能取范围以外的点.

(2)对称性

把A■换成一人或把j,换成一月或把小y同时换成一x、一y时，方程都不变，所以图

形关于y轴、x轴或原点对称

(3)顶点

X2v2

在r+J=i中，须令才=0,得二土〃，点4(0,一))、层(0,b)是椭圆和y轴

a2b2

的两个交点；令尸0,得x=±a,点4(—a,0)、4(a,0)是椭圆和x轴的两个交点.椭

圆有四个顶点4(一/0)、4(a0)、R(0,一力、员(0,b).

①线段44、线段〃H分别叫椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2庆

②a、6的几何意义：a是长半轴的长，力是短半轴的长；

(4)离心率

教师直接给出椭圆的离心率的定义：

椭圆的焦距与长轴的比e=£

椭圆的离心率e的取值范围：・・・a>c>0,・,・OVeVl.

当e接近1时，。越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;

当e接近。时，c越接近0，从而。越接近外因此椭圆接近圆;

当。=0时，。=0,a=b两焦点重合，椭圆的标准方程成为戈+尸=上图形就是圆了.

2、性质归纳为如下表：

x2v2

标准方程p-+A-=i(^>^>o)

a~b

\y/

图像_______1

Bil

1

A|

范围\x\<a,\x\<bf

对称性关于x轴、y轴均对称，关于原点中，心对称

长轴端点4(—a,0),A2(a,0)；长轴端点4（0,—a）,Az（0,a）；短

顶点坐标

短轴端点笈(0,-b),B：(0,b)轴端点笈（一40）,民（b,0）

焦点坐标F\（一。，0）,艮（。，0）R(0,一c),凡(0,。)

半轴长长半轴长：a,短半轴长：b

焦距2c

a,b,ccr=cr

关系

离心率e=££(0,1)

Cl

【典型例题】

例1.求椭圆16r+25.r=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描

点法画出它的图形.

解：（1）列表。将三+二=1变形为±1,25--,根据）,=+3j25-x2在第一

251655

象限xW5的范围内算出几个点的坐标（必y）

X012345

y43.93.73.22.40

（2）描点作图.先描点画出椭圆在第一象限内的图形，再利用椭圆的对称性就可以网

出整个椭圆.

例2.若椭圆二X:+2V-=1的离心率为e=一，求实数A的值。

%+492

解：当焦点在x轴上时，有人二2二,得〃=8.

k+44

S-k11I

当焦点在y轴上时，有二匕=上得衣=二.

944

所求的4=8或U。

4

例3.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点

到椭圆上点的距离的最小值为石，求椭圆的方程。

解=

4=2百

a-c=6c=6

2222

・•・所求的椭圆方程为二+21=1或21+二二1

129129

v2

例4.椭圆r+==l（或垃0）上一点必与两焦点石，K所成的角/凡肥=。，求证△

a-b-

用伤的面积为Iftan-.

2

解：,设MR=m,MR=n,

贝!j〃/+/?=2a,且4(?=痴+//—2勿“cos。=(勿+〃)*—2勿〃(1+cosa)

4万=2m〃(1+cosa：

sincr.a

Ss=—mnsina=lr----------=b~2tan—

21+cosa2

例5.如图，椭圆的长短轴端点为4B,过中心。作月"的平行线，交椭圆上半部分于点

P，过〃作x轴的垂线恰过左焦点%过内再作/区的平行线交椭圆于。，〃两点，求椭圆的

方程。

则尸（一C,一），

a

h2

A—r2

又AB//OP：.—=—=>b=c=>椭圆方程可化为2—+y2=c2

ac2

直线⑦的方程为尸—（x—c）,将其代入椭圆方程化简得，2f—2cx—/=o

2

1*[(屈+占)2_4为々]=孚=3

2

VCD=^(1+-)(X,-X2)

c=V2

所求的椭圆方程为工+匚=1

42

【模拟试题】（答题时间：60分钟满分：100分）

一、选择题（5分X8=4C分）

r2v2

1、已知椭圆L+'=l上一点尸到椭圆一个焦点的距离是3,则P点到另一个焦点的距

2516

离为：（）

428、3C.5。、7

2、椭圆的一个焦点与两个顶点为等边三角形的三个顶点，则椭圆的长轴长是短轴长的

（）

力、G倍8、2倍。、夜倍A-倍

2

3、椭圆二+^=1的一个焦点为月，点尸在椭圆上，如果线段小的中点"在y轴上，

123

那么点必的纵坐标是：（）

…百…也Cn*3

力、±B、±C、±D、±—

4224

4、以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率为（）

41斤也「正〃正

力、0、〃、

2223

22

5、椭圆二=1（力力0）的半焦距为。，若直线y=2x与椭圆的一个交点的横坐标

ab~

恰好为c,则椭圆的离心率为（）

42-V2B、巫」C、V3-1D、V2-1

22

6、若以椭圆上的一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1,则此椭圆长轴的长

的最小值为（）

A.1B、Qa2D、25/2

7、椭圆的两个焦点分别为月、£,以K为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点为加

已知直线£材与圆月相切，则离心率为（）

力、――B、――a6-1D、2-73

22

r22

8、设椭圆j+=v=l（冷核0）的两个焦点分别为&R,尸是椭I员I上一点，若PFJPB,

a2b2

则IPFLPFZI等于（）

A.y/a2-2b2B、2-2b1

C、\la2+b2I）、2\ja2+b2

二、填空题（5分X4=2C分）

9、平面上点〃到两个定点小〃的距离之和等于[47],则夕点轨迹是。

10、已知对称轴为坐标轴，长轴长为6,离心率为£的椭圆方程为__________o

3

11＞椭圆上+二=1的离心率为叵，则实数加的值为______________。

5m5

12、若必为椭圆上一点，R,E是椭圆的两个焦点，且乙％E=2乙陀出=2a（aW0）,

则椭圆的离心率是o

三、解答题（共40分）

22

13、（满分8分〉口知椭圆三十斗二1的焦点在尢轴上，焦距是4,且经过/（3,-2后），

a"\7

求此椭圆的方程。

丫2/

14、（满分10分）若点P在椭圆万+产=1上，耳、工分别是椭圆的两个焦点，旦

ZF}PF2=90\求的面积。

15、（满分10分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆左顶点力，上顶点反左焦点内

到直线/位的距离为也|加I，求椭圆的离心率。

16、（满分12分）已知外（-3,0）,6（3,0）分别是椭圆的左、右焦点，尸是该椭圆上

的点，满足PRUR,NE形的平分线交£用于必（1,0）,求椭圆方程。

【试题答案】

一、选择题

题号12345678

答案DBABDDCB

二、填空题

9、线段4〃

ty2/1

10、-=1或—=i

95

25

11、m=3或m=——

3

sin3a

12、

sina+sin2a

三、解答题

13、解：因为焦距为4,所以c=2即/=4+/①…・・3'

22

设椭圆方程为5+方=1因为M@,-2指)在椭圆上

32

所以一6'

a~

由①@得/=36,6=32所以椭圆方程为工+上=1

8'

3632

14、解：设。6=〃?,尸弓=〃

+2

由椭圆~^y=1得。=五,b=l,c=I2'

m4-/2=2>/2①