近世代数教学教案

序言

一、起源

古典代数学以研究代数方程的求解为中心，其历史源远流长.

19世纪初，青年数学家伽罗瓦（Galois）应用群的概念对高次方程是否可用根式求解

问题进行了透彻的研究并给出了明确回答，他成为抽象代数学新思想的启蒙者.

另阿贝尔（Abel）1823年证明了五次及五次以上方程无公式解（已证了一、二百年），

证明过程中同样运用了群论的观点.

随后，这种把大数学变成集合论的、公理化的科学的改造不断强化，产生了很多新的思

想、新的方法、新的观点和新的结果.

到了20世纪20年代，数学的最古老的分支之一的代数学完成了一次根本性的革命，它

的标志是范德瓦尔登（VanDerWaerden）的《近世代数学》一书的出版.

时至今日，抽象代数学已经成为很多数学分支中最常用的工具，空前普及，以致近年来,

人们不再把这门学问冠之以“近世”“抽象”等高贵头卷，而朴素地称它为《一般代数学》、

《基础代数》，甚至于《代数学》.

二、学科研究的对象

近世代数是以讨论代数体系的性质与构造为中心的一门学科，主要介绍群、环、域（以

及模）的基本概念和基本理论.

数、多项式和矩阵的出现是为了刻画一些物理量和几何量，如长度、面积、速度、物理

定律、空间中点的位置、平面的运动和几何变换等，但是当人们企图刻画对称性一无论是物

理现象中，还是数学世界中（尤其在儿何图形中）的对称性时，都无法用单个的数、多项式

或矩阵去刻画.而群是研究对称性的有力工具，由于物理、数学中对称这一概念的特殊重要

性，因而使群成为近世代数学极其深刻极其重要的概念之

因而，环、域、模也是刻画物理量和几何量的数学工具.

一个抽象集合，如果有一种或数种代数运算，就可笼统地称它是一个代数系统.简言之,

近世代数就是研究各种代数系统的•门学科.而由于代数系统中运算个数以及对运算所要求

的附加条件的不同，产生了各种各样不同的代数系统，即形成了近世代数中各个不同的分支,

如群、环、域等.

三、关于本门学科的学习

1、近世代数是数学中最适合自学的学科之一，可以只假定读者学过中学代数并知道一

点矩阵运算规则.此外不要求任何高等数学内容作为准备知识，当然，学过解析几何和高等

代数的读者理解本课程的概念会快此，但没学过的直接攻读并没有原则性障碍.

2、学好本课程的关键在于对“公理化”方法实质和一些重要抽象概念的理解.

初学者往往被代数学中一个接一个的新概念所困扰，难理解乂容易忘记，这实际上是理

解的深刻程度的问题，只要对重要概念多花些功夫，多思考，多分析比较各种实例，最后能

达到用自己的习惯语言描述这些概念就能运用自如.

整个课本中，抽象概念很多，但真正重要的，有开创意义的只有几个，只要把这几个理

解透彻，其余的属于平行引进.

注：学习近世代数的一个重要目的是提高“抽象思维”能力.

第一章基本概念

第一节集合

教学内容及要求：理解掌握集合的概念及集合的运算

教学重点：集合的运算

教学难点：集合的概念

教学过程：

一、概念

集合是1892年由康托引入的，它是数学中最基本的概念之是现代数学的重要基础,

并且已经深入到各种科学与技术的领域中.

讨论问题时，在一定范围内所说的对象称为元素或元.

若干个（有限个或无限个）固定元素的全体，叫做一个集合，或简称为集.

集合常用大写拉丁字母AR。等来表示；元素用小写拉丁字母aac，x，y等来表示.

如果。是集合A的一个元素，称〃属于A或A包含记为。£斗；若。不是A中的

元素，就说。不属于A或A不包含。，记为。史A.

今后常用的几个集合的表示法：整数集Z,非零整数集Z,有理数集0,非零有理数

集。二实数集R,复数集C.

不含任何元素的集合称为空集合，记为0.

集合的要素：确定性、相异性、无序性.

集合的表不方法有三种：列举法，列出集合的兀素，如人=描述法（构造法），

描出集合中元素适合的条件，如七=｛全体自然数｝;文氏图法.

定义L若集合A的每个元素都属于集合8,则称A是8的一个子集，记为

定义2.A是8的一个子集，又8中有元素不在A中，则称A是6的一个真子集，记

为AuB.

定义3.若4与B的元素完全一样，则称A和8相等.

显然：4=B=且8口人这是近世代数中的一般方法.

定义4.A是一个给定集合，A的所有子集（包括空集）作成的集合，称为A的嘉集,

记为P（A）或即尸（G={/B=

二、集合的运算

所谓集合的运算就是以给定集合为对象，按照确定的规则，产生另外一些集合.例如A

表示“上数学课的学生集合”，B表示“上物理课的学牛集合”，如果两门课安排在同一

时间进行考试，那么参加这两门考试发生冲突的学生集合是什么？如果在上数学课和上物理

课时分别宣布这一通知，那么知道这个消息的学生集合是什么？为使这些概念一般化，定义

集合的运算.

定义5.由集合A和集合5的所有共同元素作成的集合，记为ACI3,叫做A与B的

交集,简称A与8的交.即A口8={.小£人比《3}.

例如，A={0,1.2,3},3={024}.C={4,5,6},则AC|3={O.2},AnC=0.

定义6.由集合A和集合8的所有公共元素作成的集合，记为4UB,叫做A与8的

并集，简称A与8的并.即AU8"{"卜£人物63}

例如，A={〃/,G4},8={ad,e},则A|J5="c,d,e}

定理.集合的交、并运算满足以下性质：

①4n4=AA\JA=A（寡等律）

②人口5=5口AA\JB=B\JA（交换律）

③（An8）nc=An（8no,（AUB）UC=AU（BUC）（结合律）

④An（8uc）=（An3）u（Anc）,4U（5nc）=（AUB）n（AUc）（分配律）

⑤An（4U3）=AAU（An^）=A（吸收律）

⑥若则4u（3nc）=（AU8）nc（模律）

另有一些定义，如余集等，这里就不再一一写出了.

三、集合元素的个数

集合A中不同元素的个数，称为集合的阶或基，记为网或#人如果集合A包含无限

多个元素，记为Ml=8,称A为无限集，若A包含〃个元素，则记为阳=〃，称A为有限

集.

可知：1）当同二〃时，归⑷1=2"；

2）若A和8都是有限集，并且不相交，有

\AUB\=\A\+\B\|AUB|=M+|B|-|AnB|

9・

0：(4,42「一,4〃)-4(4£尸)是X到y的一个映射.

二、双射

映射是通常函数概念的一种推广，集合x相当于定义域，集合y包含值域，但不一定

是值域，即丫中不一定每个元素都有逆象.

定义2.设。是集合x到Y的一个映射，如果在。之下Y中每个元素在x中都有逆象,

则称。是x到y的一个满射，或x到y上的一个映射.

如果/是x到y的一个映射，令f(x)={/G)kwX},称/(X)为映射了的象，常

记为Im/,即Im/=/(X)={/(x)|xeX)

显然有

/是X到y的满射<=>f(X)=Y即Imf=Y

定义3.设/是集合x到丫的一个映射，若xoy有/*)*/())也,丁£丫，则称/

为X到y的一个单射，或x到y的1一1映射.

定义4.集合X到y的一个映射，如果既是单射，又是满射，则称它为x到丫的一个

双射(或x到y上的一一映射).

例6.设x=y=n,法则/：x一丁▼工^乂是氏到氏的一个双射.

例7.设X是数域/上全体〃阶方阵作成的集合，1二{0,1,2,…,，?},又用"A)表示

产上〃阶方阵的秩，则法则e：A-44)是X到y的一个满射，但不是单射，因不同的方

阵可有不同的秩.

定理L设。是X到集合y的一个映射，则。是x到y的一个双射=(P为双方单值.

即X,[ycy,”=/*)且Vy£X,3/%)=)，.

证明：1)设。是双方单值，则8当然是X到y的一个满射，又设司，王£、，且

叭X、)=x,9*2)=%,若,由于其逆象唯一，故玉="2,即。为x到丫的单射,

从而为双射.

2)设。为x到y的一个双射，则当然对““,小€匕”=/。)“，由于9为

满射，故。对y中每个元素都有逆象；又由于。是单射，故。对丫中每个元素只能有一个

逆象.

定义5.设。是集合x到Y的一个双射，且『⑴=y，则")：)，-人即a'(>0=元

便是集合y到x的一个双射,称°为。的逆映射0.

命题1.设X,y是两个有限集合，则X与y之间存在双射oM=ki.

证明：设/是一个双射，因/是映射，所以716万，¥（幻6丫；又因为/是单射，所

以当x产当时，/（X）工/（”从而因引H.另一方面，/是满射，所以

VysKBxeX,3），=/（元），又因为/是映射，当y=%时，其原象不々也不相等，从

而年因,因此国=|「

反之，设园=/，且、={《，％，…M〃},，={4也，…，〃J,令

/:q->4（i=l,2,.・・,〃），则/是X到丫的双射.

特别有

定理2.设x与y是两个有限集合且wI=IH,则X到y的映射。是满射当且仅当。

是单射.

证明：设园=国=",且x={内，工2,…，％},y={y，）’2,…，％},又。：芍—

是X到V的一个映射，其中i=L2,•••，〃；1工冗4n

若。是满射，则由工产占必有力产％,因若）％二%，则。（X）={几，/，…，%}

最多有〃一1个元素，因此。（x）=y,这与。是满射矛盾，所以0是单射.

反之，设。是单射，则由于X中不同元素的象也不同，故.（x）l=〃=IH,但

e（x）〈y,故奴x）=y,即。是满射.

定义6.设。与「都是集合x到y的映射，如果对x中每个元素x都有次x）=r（x）,

则称映射。与「相等，记为。=。

三、变换

变换是一种特殊的映射.

定义7.集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换.

同样可定义满射变换，单射变换和双射变换（一一变换）.集合x中每个元素与自身对

应的变换是X的一个一一变换，称为集合X的恒等变换.

X的一切变换记为7（X）,X的全体双射变换记为S（X）.

例8.设X为数域口上全体〃阶方阵作成的集合，则变换。（A）=A，及T（A）=C4cl

都是X的双射变换，其中A,为A的转置矩阵，C为“上任意一个固定的〃阶满秩方阵.

定理3.含八个元素的任意集合共有加个双射变换.

证明：设知={1，2「・,〃},则对〃的每一个双射变换。，都能确定元素L2,…，〃的

一个全排列到1)奴2)…奴〃)反之，元素L2,…,〃的任意一个全排列都确定取的一个双射

变换.因此，这〃个元素有多少个全排列，M就有多少个双射变换，由于〃个元素共有加个

全排列，故共有川个双射变换.

对有限集合的双射变换，常用以下特殊符号表示：

-2...n)

(P=

、。⑴。⑵…(p(n))

并称其为一个〃次置换.

(123、

(P\=

例如，当〃=3时，集合”="，2,3)共有3!=6个3次置换，它们是U23J,

(123)(1231(123)(123)

%=[132),。3=[213)L31J,%=[312),

(1231

21,

应注意的是，同一个〃次置换可以有〃!种不同的写法.例如上面的的6种写法是:

f1231(13131(23i312]_户2]、

吸21)[23厂13J=13I2厂1123厂1132,

312

课堂小结：映射、双射、变换的概念及性质.

课后作业：2,3,5,6

第三节代数运算

教学内容及要求：理解掌握代数运算的概念及简单性质：理解掌握变换的运算

教学重点：代数运算的概念

教学难点：代数运算的概念

教学过程：

山于近世代数的主要任务是研究各种抽象的代数系统，而代数系统是指带有运算的集合.

下面我们就来看一下“带有运算”指的是什么？

一、代数运算的概念

定义L设M是一个集合，如果有一个法则，它对于例中任意两个有次序的元素凡”，

在M中都有一个唯一确定的元素〃与它们对应，则称这个法则是集合M的一个代数运算.

或定义1'.设"是一个非空集合，"x"到M的--个映射/称为〃的一个代数运

算，即对于M中的任意两个元素兄”，通过了唯一地确定一个ce",使/(々,A)=j记

为aob=c.

注：1)如果。是M的一个代数运算，也称历对于代数运算。是封闭的.M有一个代

数运算。，(M，。)就叫做代数系统.

2)由于(&加和S，。)一般是"x"不同的元素，故。。b不一定等于6。”.

例1.普通加法、减法与乘法都是整数集、有理数集、实数集和复数集的代数运算.

例2.普通减法不是正整数集的代数运算，普通除法不是有理数集的代数运算.

例3.法则夕或=都是数域尸上全体〃阶方阵的集合的代数

运算.

例4a,b£R,aob=\a,beZ,aob=a±b

例5.给定非空集合A,对于2可中的任何元素，其交集、并集仍属于尸(人).因此集

的交、并都是P(A)的代数运算.

对有限集合的代数运算，常直观的列成一个表.例如，设知={《,生，…，〃〃},而

a*ij=%wM(j,/=L2,…是"的一个代数运算，则对此可列成下表:

O…a

%a2n

q%a\2…4”

a2%〃22…a2n

••••..•••...........

a”%22…ann

常称这种表为M的“乘法表”.

二、变换的运算

定义2.设M是一个集合，用T(M)表示"的全体变换作成的集合.任取

(7"£丁(")，则对M中任意元素x,规定

or(x)=o-(r(x))

显然5•是股的一个变换，即我们称此法则为变换的乘法，它是7(“)的一

个代数运算.叫做。与r的乘积.

若用£表示集合M的恒等变换，则对Vb£7("),都有

6(x)=£b(x)=b(x)VXGA/

从而有

命题1.C8=86=C

即在变换的乘法中，恒等变换起着数1在数的普通乘法中相同的作用.

令S(")表示集合M的全体双射变换作成的集合，于是S(M)qT(M),即S(M)是

T(M)的一个子集从而有

命题2.变换乘法是S(M)的一个代数运算，即例的任意两个双射变换乘积仍是M的

一个双射变换.

证明：设aeM,由于。是历的双射变换，故存在“€阳》6〃)=。

又因为丁也是M的双射变换，故存在ceMb(c)=b.从而OT(C)=〃，即乘积u是时的

满射变换.

又若则r(G)wr(C2),从而0T(9)=bKc?),即or又是M的单射变换

因此，s•是M的一个双射变换，即b£S(M).

023、

(P，=

例6.设"={123},则可知S(M)={01，%,仍，夕4，。5，。6},其中1123)

23[(123]<123「123'、

。2=36=匕13上心(P，=(231二、312,

123、

06=°

21>

而变换乘法是它的一个代数运算.例如

外0式1)=。式。4⑴)=夕.1(2)=1

夕3。4(2)=03(04(2))=例(3)=3

03*4⑶=%(。4(3))=/⑴=2

即

(\23V1231fl23)

已的二卜13123J=[l32片2

所以变换乘法是S(M)的一个代数运算.

课堂小结：代数运算的概念及变换的运算.

课后作业：124,5

第四节运算律

教学内容及要求：1、什么是结合律，交换律和分配律，它们成立的前提是什么？背景都有

什么不同？2、在研究抽象的对象时，频繁地使用数学归纳法，其特点是什么？如何掌握.3、

在判断代数运算是否满足这些性质时，怎样使用运算表？

教学重点：真正吃透每个运算律讨论过程中主干理论的含义和证明步骤

教学难点：分配律一一具有两个代数运算，两者之间有何联系？

教学过程：

给一个集合赋予了代数运算后，犹如使一潭死水泛起了波澜，好比对这集合赋予了生命.

本节的教学目的就是要针对不同的代数运算，讨论集合的生命的意义一一附有代数运算的集

介所具有的意义.近世代数讨论的是对代数运算加限制的集合.事实上，数、多项式、矩阵、

函数等的普通运算，一般都满足通常所熟悉的运算法则，如结合律、分配律和交换律等.

一、结合律

定义1.设M是一个有代数运算。的集合，如果对必中任意元素。，儿都有

(aob)oc=ao(boc)

则称用的这个代数运算。满足结合律.

显然，数、多项式、矩阵及函数等对通常的加法与乘法都满足结合律.但是一般的代数

运算不一定满足结合律.

例1.设M是自然数集，则历的代数运算。。匕=必+1不满足结合律.

证明：因为

(aob)oc=abc+c+1

ao(boc)=abc+a+\

而一般若awe,有次?c+c+l。c+a+1.所以(〃。〃)。《工4。(〃。仁)

例2.变换的乘法满足结合律.

证明：任取b，7'，8则根据变换乘法有

[(or)0](x)=(or)血工)=cr[r(^(x))]B(砂)K©=af(r^)(x)]=cr[r(^(.v))]

从而[(Or)el(X)=M(砂升(%).又由于X的任意性，所以(OT)0=b(9)

下面我们来看一看结合律的作用.

从M中任取〃个元素/生，…M〃，则写法《。生。…。4是无意义的.因为代数运算每

次只能对两个元素进行计算，〃个元素只能采取加括号的方法逐步加以计算，这就有不同的

加括号方法，也有不同的计算结果.

一般对〃个元素…可以证明(可参考贾考勃逊著《抽象代数学》第一卷)共

有

_(2/?-2)!

/?!(«-!)!

种加括号方法，可分别表示成"4°七。…。％),"%。生。

阳（4。。2。…。％）,我们规定：若可（%。。2。…。勺）,阳（％。〃2。…。。“）均相等，

则用符号％。〃2。…。《表示

下面我们来证明：

定理1.若集合M的代数运算满足结合律，则对M中任意〃23个元素无论怎样加括

号，其结果都一样.

［论证思路］

•因〃是有限数，所以加括号的步骤必是有限的.

•任取一种加括号的步骤"⑷。生。…。％），往证：

"（qoa20…°）=qo（a2o…o%）

•对〃用数学归纳法.

①4（4。。2。…。（）=2。82

②4和包分别是，和〃一，个元素经加括号而运算的结果.

③区”1,〃一注〃-1,由归纳假设释之.

证明：用数学归纳法.

当〃=3时，由于代数运算满足结合律，显然成立.

假定对元素个数工〃-1时定理成立，则任取为（卬。％°…。凡），1"/"〃，不管其怎

样加括号，其最后一步总是M中两个元素结合，设为…。%）=”泡,且设々

是4,%，••・，〃”中前％个元素结合的结果，区是后〃一A个元素结合的结果，由归纳法假设,

它们都是唯•确定的，故

7U-（axoa2。…°a”）=&ob2=（—oa2o…o%）o（ak+loak+2o…°a”）

=［4。（%。…。4）。（%1。%+2。…。％）

=4o（〃2O…04oa«+］。…。氏）

由归纳法假设，由于〃2°…。凡是M中唯一确定的元素，从而囚。（生。…。可）是M中一

个唯一确定的元素，因此每个与（4°4°…。凡），1工/工〃都等于这个确定的元素，从而

（4O。2。,••。〃“）=42（卬o生。…。4“）=…二驾（40/O…O4“）

根据这个定理，假使结合律成立，我们就可以随时应用4。4。…。凡这个符号，这对

于我们是极方便的一件事，结合律的重要性也在于此.

二、交换律

定义2.如果集合M的代数运算。对例中任意元素〃力，都有4。。=8。4,则称M的

这个代数运算满足交换律.

定理2.假如一个集合用的代数运算。同时适合结合律和交换律，那么在

里，元的次序可以调换.

［论证思路］

•采用数学归纳法，归纳假设1时命题成立.

•对〃的情形，任掉换出的位置，使之成为%…

•注意强，…儿是L2,…,〃的一个排列令『叱

•用结合律和归纳法假设证明之.

证明：用数学归纳法.

当〃=2时，由于代数运算满足结合律，显然成立.

假定当元素个数为"T时定理成立.在这个假定之下，我们证明，若把《的次序任意颠

倒一下，而作成•一个4°%。…。气,那么

=4。生。…。为

因为匕，力，•••，,〃中一定有一个等于〃，假定是白,贝!

%。气。…。%,二（%吗。…。％）［%。（%“。…。％）1

=（%。气。…。。岛）［（%。…吗）。凡］

=K气。气。必。…。气）1。4

=（4。生O…。％）。〃“=a\ca2。…O%-1°an

交换律在运算表中很容易得到检验.当M是有限集时，M上的代数运算。适合交换律

=。在运算表中关于主对角线对称的元素都相等.

我们普通所知道的代数运算，一般都适合交换律，如果碰到一些不适合交换律的代数运

算，会感到计算起来很不方便，因此交换律是一个重要的规律.

三、分配律

结合律和交换律都只同一种代数运算发生关系，下面讨论同两种运算发生关系的一种规

律.

定义3.设集合M有两个代数运算。及㊉，如果对M中任意元素GAC都有

ao（b^c）=（aob）^（aoc）

则称。对㊉满足左分配率；如果

（Z?㊉c）。。=（/?。a）㊉（coa）

则称。对㊉满足右分配率.

定理3.（M,。,㊉）是一个代数系统，㊉满足结合律，。对㊉满足左分配律，则对M中

任意元素。及如打，…，女，有

ao(4㊉4㊉…㊉/?")=(a)㊉(ao〃2)〶…㊉(。©b“)

［论证思路］

•采用数学归纳法，归纳假设时命题成立.

•对〃的情形，任掉换《的位置，使之成为%°6j

•注意睛2,…,M是12…,〃的一个排列,令ik=n

•用结合律和归纳法假设证明之.

证明：对〃用数学归讷法证明即可.

类似地，对有分配律有类似讨论.

课堂小结：代数运算的三种算律.

课后作业：1,2

第五节同态与同构

教学内容及要求：通过了解同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构(群第一、

一向构定理)环同态，环同构理论做准备.具体要求：1、在前几节的基础上，对各类映射再

做深入的研究.

2、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质.3、掌握同构映射的实质，

为以后教学内容奠定基础理解掌握代数系统的同态与同构的概念及性质.

教学重点：在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌

握

教学难点：代数系统的同态

教学过程：

由于近世代数主要具有代数运算的集合，因此，近世代数--般主要考察与代数运算发

生联系的映射一同态映射和同构映射.

一、同态

定义1.设有两个代数系统(M，。)，(MQ),若(p：MfM,且有

(p(aob)=(p(a)"o(p(b)Pa,beM

则称。是M到而的同态映射.

若。是满射时，称。是同态满射，M与必同态，记为M~而.

例1.(Z,+)和(*,・)，规定*为『⑴=靖，则。是Z到*的同态映射.

例2.(凡・)，规定s：R—R为了(幻=工2，DxeR,由于

/(x・y)=(x吁尸=x2..y2=/(x)./(y)

・•・/是及7R的同态映射.

例3.令M是数域产上全体〃阶方阵作成的集合，代数运算是方阵的普通乘法；再令

而二产，。是数的普通乘法，则°：4—是加到麻的一个满同态映射.

证明：(1)。是M到必的映射是显然的.

p0、

1

A=sM

(2)“/£而，则1°1)，且^A)=|川=气即o是满射

⑶二⑷即，即(p(AB)=(p(0(p(B),所以。是M到必的一个同态满射.

同态满射的最大作用在于比较代数系统，下面我们来看一下它的比较效果.

定理1.设有两个代数系统(加，。)，(M，下)，且朋~麻，贝！J

1)当。满足结合律，下也满足结合律；

2)当。满足交换律.《也满足交换律.

证明：用。表示M到麻的同态满射.

1)设不力WwM,由于。是朋到必的满同态，

3<7,b,cwM(p(a)=ci,叭b)=b,(p(c)=c,且

。(b。c)]=(p(a)"o(p{boc)=(p(a)3[(p(b)W(p(c)]=a~o(b~oc)

例(aoA)oc]=(p(aob)三(p(c)=[(p(a)3(p(b)]~(p(c)=(ci~b)~oc

由于。满足结合律，即acSoc)=(a")。。，所以少3尚不亍)=(5方〃)《J

2)类似地Yd、bsM,3a,bwM,3(p(a)=五,(p(b)=b,且

(p(a°b)=(p(a)~o(p(b)=a~ob,

(p(boa)=(p(b)7(p(a)=bSat由aob=b。。,可得万万方二万不万

定理2.设有两个代数系统(M，。，㊉)，(加，西6),。是M到麻的一个满射，且对。

与《及㊉与G同态，则当。对㊉满足左(右)分配律时，不对G也满足左(右)分配律.

证明过程与定理1类似.

二、同构与自同构

定义2.设夕是M到而的一个(关于代数运算。及为)同态满射，如果。又是单射时,

则称。是M到M的一个同构映射.

如果M到总'存在同构映射，就说M与必同构，记为而.

M到自身的同态映射，称为M的自同态映射，简称为M的自同态；M到自身的同

构映射，称为M的自同构映射，简称为M的自同构.

例4.。：〃一2〃是整数集、偶数集对普通加法的自同构映射，但不是对普通乘法的自

同构映射.

例5.（QZ）,。是Q的一个自同构，但对加法不是.

例6.设历={123},M={4,5,6}.M、而对。、W的运算表如下：

456

333

333

333

则。：1f4,2f5,3->6是闻到渺的同构映射.

注：1）同构映射与M和必的次序无多大关系.因夕是M到而的同构映射，则0।是

M到M的同构映射.

2）同构的性质：M=M；2nM2邕M；陷邕A/?，邕M=>陷邕/3.

下面我们看一看，同构映射在比较代数系统上的作用.

看例6,一般认为M、而不同，因L2,3与45,6不是相同整数，但从代数运算看，1

和1得3,1和2得3,……,对于。来说，L2,3已失去了普通整数的意义，对W来说4,5,6.

换一个角度，M有三个元素，第，个元素叫，，有一个代数运算，任两个元素之结果总是第

三个元素洞理分析必，此时，何同而已没有什么本质上的区别，只是命名上的不同而已.

下面看两个任意的，对于代数运算。和乃是同构的集合"={〃，".•一}和

例={2〃,5,…},且在同构映射。之下，afd,bTb,cf^,则由同构意义，

。。人=。0万兆5=5,即。在M里规定的运算规则同B在必完全类似，唯一不同的是一

个由小横，一个没有.也就是说，仅就。对于M，《对于而发生的影响看，“与必只有形

式上的不同，没有什么本质的区别.若一个集合由•个只与这个集合的代数运算有关的性质，

那么另一个集合由一个完全类似的性质.因此，在近世代数中常把同构的两个代数系统等同

起来，甚至有时候不加区分.

在上述的观点下，•个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质.于是,

由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质.我们将代数体系的代数性质的总合统称为

它的代数结构.因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构.研究代数体系的首要目的就

是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构.而为了确定一个代数体系的代数结

构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可.

课堂小结：同态映射、同构映射的概念及意义.

课后作业：123

第五节同态与同构

教学内容及要求：通过了解同态及同构的埋论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、

二同构定理）环同态，环同构理论做准备.具体要求：1、在前几节的基础上，对各类映射再

做深入的研究.

2、两个代数系统的同态的概念，尤其是同态的满射所具有的性质.3、掌握同构映射的实质,

为以后教学内容奠定基础理解掌握代数系统的同态与同沟的概念及性质.

教学重点：在于对同态映射定义的了解；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的掌

握

教学难点：代数系统的同态

教学过程：

由于近世代数主要具有代数运算的集合，因此，近世代数一般主要考察与代数运算发

生联系的映射---同态映射和同构映射.

一、同态

定义1.设有两个代数系统（M，。），（MQ）,若3：MfM,且有

（piaob）=（p[a}o叭b）M

则称。是用到必的同态映射.

若。是满射时，称。是同态满射，"与必同态，记为而.

例1.（乙+）和（？，・），规定0：ZfR'为『（x）=e二则。是z到R+的同态映射.

例2.（凡・），规定A-尺为/（©=/，YxwR,由于Vx,yeR,

f（x»y）=（x・y）2=x2»y2=f（—）

・•・/是R-R的同态映射.

例3.令M是数域尸上全体〃阶方阵作成的集合，代数运算是方阵的普通乘法；再令

必=/，。是数的普通乘法，则0：4—同是M到麻的一个满同态映射.

证明：⑴。是M到标的映射是显然的.

ao]

1

A=eM

J,且以4)=|4|=，即。是满射.

（2）V。eM,则\°

⑶|A8|=|4陶，即。(g=e(Am⑶所以。是M到必的一个同态满射.

同态满射的最大作用在于比较代数系统，下面我们来看一下它的比较效果.

定理1.设有两个代数系统(M，。)，(M，W),且〃~麻，则

1)当。满足结合律，《也满足结合律；

2)当。满足交换律，《也满足交换律.

证明：用。表示M到而的同态满射.

1)设7瓦,由于0是加到血的满同态，

3a,b,ceM,3(p(a)=a,(p(b}=b,(p{c}=c,目

(f\ao(boc)\=(p(a)~(p(boc)=(p(a)~o[(p(b)~o(p(c)}=a~o(b~oc)

(p\(aob)ocl=(p(aob)~c(p(c)=\(p(a)~c,(p(b)]~o(p(c)=(a~ob)~oc

由于。满足结合律，即〃cSoc)=(a")oj所以万6(5"})=(°W")三5

——

2)类似地Pd、b・M,3tz,/?eM,9(p(a)=a,(p(b)=b,且

(p(aoZ?)=(p(a)~c(p(b)=a~Bb

中(boa)=(p(b)o(p(a)=boa,由aob=Z?o4,可得=

定理2.设有两个代数系统(加，。，㊉)，(M，W，④)，。是M到麻的一个满射，且对。

与《及㊉与㊉同态，则当。对㊉满足左(右)分配律时，《对㊉也满足左(右)分配律.

证明过程与定理1类似.

二、同构与自同构

定义2.设。是“到花的一个(关于代数运算。及不)同态满射，如果。又是单射时,

则称。是M到必的一个同构映射.

如果M到必存在同构映射，就说“与而同构，无为M三麻.

M到自身的同态映射，称为M的自同态映射，简称为M的自同态；M到自身的同

构映射，称为M的自同构映射，简称为M的自同构.

例4.2〃是整数集、偶数集对普通加法的自同构映射，但不是对普通乘法的自

同构映射.

例5.（0〉），Z是°的一个自同构，但对加法不是.

例6.设"={123},M={4,5,6},M＞而对。、W的运算表如下:

贝ij0:1-4,2—5,3—6是加至ij必的同构映射.

注：】）同构映射与M和而的次序无多大关系.因夕是M到必的同构映射，则“‘是

M到M的同构映射.

2）同构的性质：M=M：%三%n"2仝"i；必仝心，"2=”3=1必二“3.

下面我们看一看，同构映射在比较代数系统上的作用.

看例6,一般认为M、而不同，因L2,3与4,5,6不是相同整数，但从代数运算看，1

和1得3,1和2得3,……,对于。来说，L2,3已失去了普通整数的意义，对w来说4,5,6.

换一个角度，M有三个元素，第，•个元素叫，，有一个代数运算，任两个元素之结果总是第

三个元素.同理分析而，此时，/同而已没有什么本质上的区别，只是命名上的不同而已.

下面看两个任意的，对于代数运算。和W是同构的集合M={〃,A,G…}和

M={万，瓦口…},且在同构映射。之下，则由同构意义，

4。/?=C。5为5二不，即。在M里规定的运算规则同W在而完全类似，唯一不同的是一

个由小横，一个没有.也就是说，仅就。对于“，下对于而发生的影响看，M与而只有形

式上的不同，没有什么本质的区别.若一个集合由一个只与这个集合的代数运算有关的性质，

那么另一个集合由一个完全类似的性质.因此，在近世代数中常把同构的两个代数系统等同

起来，甚至有时候不加区分.

在上述的观点下，一个代数体系经同构映射而保持不变的性质叫做它的代数性质.于是,

由代数运算所表述的任意一个性质都是代数性质.我们将代数体系的代数性质的总合统称为

它的代数结构.因此，同构的代数体系由于完全相同的代数结构.研究代数体系的首要目的就

是确定所有互不同构的代数体系以及它们的代数结构.而为了确定一个代数体系的代数结

构，只须让它与一个代数结构已经清楚的代数体系同构则可.

课堂小结：同态映射、同构映射的概念及意义.

课后作业：1,2,3

第二章群

第一节群的定义和性质

教学内容及要求：依教材作一些一般性地介绍，为扩大知识面，这里将适当引入一些如同“半

群”和“monoid（幺半群）”这样的基本概念，要求学生对逆元（左逆元、右逆元），单位元

（左单位元、右单位元）要弄清楚，尤其是彼此的联系务必要明白其脉络。教材中定义的群

的第一定义和第二定义的区别及关系必须清楚.

教学重点：半群，幺半群和群的关系.

教学难点：论证部分

教学过程：

一、定义

定义L设G是一个非空集合，•是它的一个带速运算，如果满足以下条件：

1）集合律成立，即Va,AcwG,有3・〃）・c、=a・S・c）；

2）G中有元素叫叫做G的左单位元，即有e・Q=〃；

3）3a'&Gt叫做。的左逆元，3a^a=e,

则称G对代数运算•作成一个群（G，・）.

由定义1可知，判断一个非空集合G是否成群的条件为：①封闭性（即判断运算是否

为代数运算），②结合性，③左单位元，④左逆元.

若群G的代数运算满足交换律，则称群G为交换群或A拉，/群，否则称为非交换群或非

群.

例1.整数加群（乙+）,代数运算用“+”，且是交换群.

例2.Z对普通乘法作不成群，因除±1外无左逆元.

例3.O'。*对"普通乘法都做成群，称为非零有理数乘群和正有理数乘群.

例4.G只包含一个元g,乘法是力喏=g,则G对这个乘法作成群.

1）G是封闭的；

2）结合律成立：（g・g"g=g«g・g）=g；

3）因g・g=g,・•・身是8的左单位元；

4）因g*=g,.•.）?是g的左逆元.

例5.G为整数集，G的运算为。・〃=。+〃+4可做成群，其中Y是。的左单位元，

一8-。是。的左逆元.

例6.G为实数二维数组（。，〃）的全体（。，份*（c，d）=（4c，A+d）,则G对.作不成群.

（1--）&G

因1）封闭性，2）结合律满足，3）左单位元为（1，°）,4）可。力）£6,若。工0,/a,

（L-2）（a,b）=（1,0）

Qa，但若。二°,则无逆元，故不成群.

注：1）同一个集合，对有的代数运算作成群，对有的不能.不同的代数运算作成不同的

群.

2）在一个群中结合律是成立的，所以4%…凡有意义，是G的一个元，从而可有

n

/--Z--X

a"=aa…a

称为〃的〃次方.

3）一个群的元的个数是一个有限整数，则称为有限群，否则称为无限群.有限群G中所

含元素的个数〃叫做这个群的阶,记作二〃

上面的几个例子中除例4为有限群外，均为无限群.再举几个有限群的例子.

例7.6={1，£］，£2，-，%_|}中元素为〃次方根，则G对数的普通乘法作成一个群，叫

做〃次方根群，记为

例8.G={1,-1/,T}对数的乘法作成群，为四次方根群.

二、群的性质

下面我们来看群的性质，也就是说一个群具有怎样的简单性质，将来，一旦验证了某个

集合及其上的一个运算满足了群的定义中的三条要求，那么它就一定有这些性质，就不需要

每次都来证明他有这种共性了，这也是公理化方法的优点.

定理1.群G的元素〃的左逆元a"也是。的一个右逆元，即有

a~'a=aa~'=e

证明：因为"“cG,故。一|在G中也有左逆元，设为〃'，即.由此

aa~'=e（aa~［）=a）a~l］

=d（eax）~aax=e

从而。一%=〃。/=e.

以后称。।为〃的逆元.

定理2.群G的左单位元e也是G的一个右单位元，即对Vc/wG,有ea=ae=e.

证明.ae=a（a%）=（aa1）a=ea=a

以后称e为G的单位元.

定理3.群G的单位元即每个元素的逆元都是唯一的.

证明：设《与《都是G的单位元，则根据单位元的定义，有ee'=e'=e.

其次，设。"及"都是〃的逆元，即有。力二时」=e,a'a=aa'=e,由此

d—ae=a（aa1）=（aa）a1=