关于食堂排队的数学模型建立及其求解

数学建模报告

关于食堂排队的数学模型

建立及其求解

目录

一\刖己不不补不不不不不林不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不林不不不不不不不不不不不J

二、内容摘要****************************************3

1

r7',I—jj^»^L»K.L^dj_.»^L»s^z»^L»^x>4

二、天键l可不不不不不不不不不不不不不不不不不不不林不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不不4

四\模型的建立与分析********************************4

(1)调查数据*************************************4

X^irTT|I/nn、ri、L41/、l.」■-L-I.“）、L■_，..，）■，,di,、LJ/-l,、■一、，/、，/J，、，,■，上■[4.，，-I--1）4J-dL.L

(2)才臭里〔F又l支木木木木木木木木木木木平木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木木7

,f,11I7二,4*^7

(3)A^tyJ/[J\//

(4)模型求解*************************************8

(5)模型分析************************************1Q

五\优化设计方案**************************************12

j-T、4|

■|二、|~|^^^******************************************〔3

八、MATLAB源程序*************************************13

关于食堂排队的数学模型建立及其求解

前言

相信每一位有过求学经历的人，对于饭点时如潮水的人流疯狂挤向食堂排队

打饭的情形并不陌生。然而好不容易挤入食堂，面对着长冗的队伍以及其缓缓向

前挪动的速度，选择继续排队或者离开食堂，这每个人，我想，都曾在自己饥肠

辘辘时踌躇过。此时，作为一名食堂的经营者一定考虑过通过何种改变来留住就

餐人员，保证营业额，而最直接的方式就是增加窗口，分担其他窗口的服务量，

缓解压力，减少队伍的长度，但是一旦窗口数量过多就会造成资源浪费。如何优

化就是此次数学建模的主要内容，本文以作者所在的北京航空航天大学的五食

堂为例，建立数学模型，通过作者的调查和计算，进而优化食堂排队方案，解决

食堂拥挤和成本的问题。

内容摘要

1、在做此次建模中作者查阅的不少参考书籍，队伍食堂排队

模型多用排队论中方法，而且学生到达食堂的规律遵循泊

松分布。作者以为学校食堂就餐学生到达食堂的规律更遵

循是的正态分布。

在此次建模中，作者采用的数据多为亲身实地调查，符合

作者的生活实际。

在确定最合适窗口数为9个后，作者又对其采用灵敏度分

析，分析其经济学价值。

关键词

数学建模、排队、正态分布、概率论、灵敏度

时间-11:40-11:50-12:00-12:10-12:20-12:30

人数177245296279235137

时间-12:40-12:50-13:00-13:10-13:20-13:30

人数85616346199

作图如下:

人数

其中人数在12:00到达顶峰。人数基木服从正态分布，其密度函数为

图像如下

设10:30时t=0,以分为一个单位，则

0,0

(具体计算过程如下:

尸(一30/5＜，＜30/3)=1369/1957=0.6995,

2R3

P(tv30/3)=1---------=0.8553

1957

通过查表可得：

①(1.06)=0.8554

所以通过概率论只是可得:

步.06

则5=28.3)

2.此外，作者通过网络的投票调查发现同学们在就餐排队时，当队

伍人数超过平均最低满意人数012时，会选择离开队伍，重新寻找

队伍排队甚至离开食堂，见下表：

食堂排队打5-67-89-1011-1213-1415及以上

饭，当所在

排队人数超

过多少人时，

你会选择放

弃排队，离

开食堂

队伍人数

票数390321

3.作者还发现食堂的服务员工一般平均服务以为同学打饭共需

Az=20s=0.33o

4.食堂从11:45起出现排队现象

模型假设

1.学生单独道来食堂就餐是相互独立的，没有必然的联系；

2.学生对于食堂饭菜的口味没有特殊的偏好；

3.食堂各个窗口的服务质量和数量相同，饭菜的供给量充足。

4.学生排队时自动选择人少的窗口。

模型建立

基于以上的假设，我们建立的模型中学生来到食堂基本符合，

的标准正态分布，来到食堂后学生自动寻找人数较少的窗口人进

行排队，等待服务直至轮到自己。

其中模型中指标有：

学生就餐总人数：A=1957

学生来到食堂的密度函数：

1(/-90)2

WsQ)=-----e160178

"70.94，

平均到达时间:胤

到达时间的方差：，

食堂服务人员服务单个同学平均需要时间：

学生平均最低满意队伍人数:团

起始窗口数量:团

窗口数量：N

队伍中排队人员的数量：Q

模型求解

首先我们要确定食堂出现排队的时刻：当在某一时刻，如果食堂在

一个服务时期内，服务总人数即等于窗口数，小于在此时间段内

进入食堂的人时，出现排队。

在时间内，当来到食堂人数多于6人时，开始出现排队现象，即:

心，.。一—。『二工二。曲

28.328.31957

通过查询正态分布表可得：，也就是在时间为11：40时出现排队

现象,计算得出的数据基本与作者调查数据一致。

在11:40到12:00,也就是70<仅90是时间内，就餐学生总人数

则，也就是说在70<t<90时间内窗口数无法满足需求，在一定时

间后，队伍长度的积累量将超过学生最低满意满意队伍人数：。

所以，为了减轻每个窗口的服务压力，留住就餐人员，就要适当的

增加窗口。

在12点

高峰期，

即t=90

时的一

个服务

期，

进入食

堂的学

生人数

为

45取些罢?吗一心Z驾马।=1957*0.(X)8=16

也就是说，当窗口数N=16时，永远不会出现排队现象。

设数列｛｝及｛｝，其中，。

从开始，计算

9。一(『加/2)9。-(「△〃说

)=

28.328.31957

得，即食堂窗口数时开始出现排队的时间;

若，停止循环，得出

否则继续，直至N=16；

通过以上算法，可得当窗口数量n=9,从出现排队现象到排队现象消

失，队伍长度不会超过学生平均最低满意满意队伍人数：。

模型分析

对于本数学模型，在一定的时间段内还是符合实际情况的。学生对

于饮食居于一定的偏好性，所以对于食堂的选择还是比较固定的。中

午11：45是学校集中下课的时间，而且下课后一般同学们因饥饿会直

接走向食堂，考虑到从教学楼到食堂的步行时间，同学们会在12:00

集中到达食堂。同学们对于队伍的选择最直观的评判标准就是视觉一

一队伍的长度，所以选择学生平均最低满意满意队伍人数：作为求

解过程中终止条件是有事实根据的。此外对于,之所以选择20s,是

因为一旦时间过短，必然会忙中出错，导致服务质量下降，对于学生

的影响力下降，销售额必然也会下降。对于窗口数N和拥挤时间T

具有的关系，我们进行分析：

首先我们利用matlab得到N-T散点图，见下图回

我们再用matlab对N-T散点图进行三次函数拟合，得0

拟合得到的三次多项式为：

T=0.1164N3—0.1805N2—31・3641N+212.9779

从上图中，可以看出当窗口数增加之后，排队时间急剧下降。但是当

N>9时，下降趋势变缓。

引用灵敏度函数比

经过计算可得，灵敏度函数团随着n上升而下降，在n从9变为10时,

队伍排队时间只减少了0.283s,此时增加窗口不符合经济效益，因此

无意义

优化设计方案

通过上述可知，当N=9时，食堂窗口数刚好从出现排队现象到排队

现象消失，队伍长度不会超过学生平均最低满意满意队伍人数，而

且取此食堂的窗口数时，灵敏度函数大，当N》10时，尽管排队时

间会变少，但灵敏度变的极低，减少的排队时间不过0.283s,对学生

影响不会很大。加上增加窗口还需添加设施及服务人员等所耗用的成

本，综合考虑所以北航五食堂最佳的窗口数为9个，此时既能满足学

生的用餐需求，不会应为过于拥挤而造成就餐人员流失，而且适当的

减少了食堂的运行成本，从而实现资源利用的最大化。并且就所采集

的数据来看，食堂的高峰介于11：30到12:30,增加窗口时间应取在

该时间段。

总结

此次数学建模中，从拿到题目到调查取样，再到建立模型，计算完

成，到最后的校验时间不到一周，尽管时间紧张，但是作为一学期

的数学建模的总结还是不得不令人对此引起足够的重视的。在此次建

模中，前期的调查时间，作者觉得还是不够充分，例如选取北航五

食堂作为样本采集地时，采集样本只有一次，数据上略显带单薄。此

外在处理数据时，由于作者的matlab水平有限，增加了不少工作量,

例如在求解过程中的那个算法完全是依赖作者的手动计算，然且在

计算过程中查询的《正态分布表》数据精确到4位小数，离作者心目

中的要求还是有一定的差距。最后感谢此次建模中所有对本文由帮助

的人，尤其是陈建仲、谢锋和牛宝龙同学，陈建仲同学对于作者

matlab的使用起了很重要的帮助和指导作用，谢锋同学在建模前期

和作者的交流中提出的意见和想法在本文中作者有不少的采纳，牛

宝龙同学在编程实现时给了不少简化方案，再次