命题点4正方形的性质与判定(必考)

第五章四边形课标要求①理解正方形的概念.②探索并证明正方形的性质定理，以及它的判定定理；正方形具有矩形

和菱形的一切性质.命题点4正方形的性质与判定(必考)要点归纳

1.

定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的

⁠叫作正

方形.平行四边形(1)四条边相等；(2)四个角都是

⁠；(3)对角线相等且

，每一条对角线平分一组对角；(4)既是中心对称图形又是轴对称图形，有

条对称轴，两条对

称轴是两条对角线所在的直线，另两条对称轴是过对角线交点与边

平行的直线；(5)正方形的面积等于边长的平方或两条对角线之积的一半.直角（90°）

互相垂直平分42.

正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形和菱形的一切性质.3.

正方形的判定(1)判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等；先证它是菱形，再证有一个角是直角.(2)判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形，

再证明它是菱形(或矩形)，最后证明它是正方形.

5.

与正方形有关的常见模型(1)正方形中的十字垂直：基本图形

重要结论△ABE≌△BCF，AE＝BFHF＝GE△ABG≌△DAF，FG＝DF－BG四边形

MNOP是正方形(2)赵爽弦图及其变形：基本图形

重要结论△ABF≌△BCG≌△CDH≌△DAE；四边形EFGH是正方形；AE＝BF＝CG＝DH△AEH≌△BFE≌△CGF≌

△DHG；四边形EFGH是

正方形

四边形MNOP，四边形ABCD都是正方形，EP＝FM＝

GN＝HO点P在CD的延长线上；CH

＝DE，

BH＝PD(3)旋转型：基本图形

重要结论

将AE绕点E顺时针旋转90°得到

EF，则CF平分∠DCH

正方形ABCD绕点A逆时针旋转，△ADH≌△AEH，HF＝HC正方形OGHM绕点O旋转，

△OCE≌△ODF，DF＝CE，OF＝OE，S四边形OECF＝S△OCD等腰Rt△AEF绕点A旋转，

△ABE≌△ADF，BE＝DF，

BE⊥DF命题点4正方形的性质与判定(必考)随堂检测

1.

(2023自贡)如图，边长为3的正方形OBCD两边与坐标轴正半轴重

合，点C的坐标是(

C

)A.

(3，－3)B.

(－3，3)C.

(3，3)D.

(－3，－3)C2.

下列说法错误的是(

D

)A.

连接对角线互相垂直的四边形各边中点所得的四边形是矩形B.

连接对角线互相平分的四边形各边中点所得的四边形是平行四边形C.

连接对角线相等的梯形各边中点所得的四边形是菱形D.

连接对角线互相垂直平分的四边形各边中点所得的四边形是正方形D3.

(2023黑龙江)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，

试添加一个条件

，使得矩形ABCD为正

方形.AB＝AD（答案不唯一）.解析：添加AB＝AD.

理由：∵四边形ABCD是矩形，AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形.或∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD，∴四边形ABCD是正方形，故答案为：AB＝AD（答案不唯一）.4.

(2025北京中考)如图，在正方形ABCD中，点E在边CD上，

CF⊥BE，垂足为F.

若AB＝1，∠EBC＝30°，则△ABF的面积

为

⁠.

5.

(2025河北唐山二模)如图，在正方形ABCD中，AB＝1，P是边BC上

的一个动点，由点B开始运动，运动到C停止.连接AP，以AP为直角

边向右侧作等腰直角三角形，另一个顶点为Q.

则点P从B运动到C的

过程中，点Q的运动路径长为

⁠.

解析：如图，延长AD到M，使得DM＝AD，

连接CM，则点Q运动轨迹是线段CM，∵在正方形中ABCD中，AB＝1，∴∠B＝∠D＝90°，AD＝BC＝AB