等差数列的概念及其通项公式课件（第2课时）-高二数学北师大版选择性

作课人：廉文杰数学之王——欧拉北师大版（2019）高中数学选择性必修第二册作课人：廉文杰焦作市外国语中学第一章

数列第1节

等差数列2.1等差数列的概念及其通项公式第2课时（共2课时）学

习

目

标目

标重

点难

点1、理解数列的函数特性，会画数列的图象，会根据数列的通项判断数列的单调性.2、理解等差中项的概念．3、掌握等差数列性质．1、掌握等差数列的性质。2、理解等差中项的概念．1、掌握等差数列的性质。2、理解等差中项的概念．新

知

引

入数学王子——高斯

对于一个数列，如果从第2项起,每一项与它的前一项的差都是同一个常数，那么称这样的数列为等差数列。

称这个常数为等差数列的公差，通常用字母d表示.1、什么叫作等差数列？2、等差数列的通项公式是什么？an=a1+(n-1)d新

知

引

入韦

达3、一般地，对于一个数列{an},如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即__________，那么这个数列叫作递增数列.如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即___________,那么这个数列叫作递减数列.

an+1>anan+1＜an

我们知道，数列是一种特殊的函数，下面我们从函数的角度来研究等差数列的单调性。学

习

新

知欧几里得（约公元前300年）《几何原本》等差数列{an}的通项公式为：an=a1+(n-1)d=____n+________d(a1-d)可将an记作f(n),它是定义在正整数集（或其子集）上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d）上的一些等间隔的点，这些点的横坐标是正整数，其中公差d是该直线的斜率.当d______0时，数列{an}为常数列当d______0时，数列{an}为递增数列当d______0时，数列{an}为递减数列><=典

例

引

路集合论之父——康托例1、已知(1,1),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点.(1)求数列{an}的通项公式；(2)画出数列{an}的图象；(3)判断数列{an}的增减性.解(1)因为(1,l),(3,5)是等差数列{an}图象上的两点，所以a1=1,a3=5.由a3=a1+(3-1)d=1+2d=5,解得d=2,于是an=1+2(n-1)=2n-1.(2)数列{an}的图像是直线y=2x-1上一些等间隔的点，如图.⑶由⑴可知d>0,所以数列{an}是递增数列.同

步

练

习无冕的数学之王——希尔伯特练1、已知(3,-5),(5,-13)是等差数列{an}的图象上的两点．(1)求数列{an}的通项公式；(2)画出数列{an}的图象；(3)判断数列{an}的单调性．

典

例

引

路柯

西例2、在首项为31，公差为－4的等差数列{an}中，绝对值最小的项是___.

同

步

练

习解析几何之父——笛卡尔

典

例

引

路牛

顿例3、已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a8=6，则a6的取值范围是（

）A.(-∞,3)B.(3,6)C.(3,+∞)D.(6,+∞)

C同

步

练

习黎

曼练3、已知等差数列{an}单调递增且满足a1+a10=4，则a8的取值范围是（

）A.(2,4)B.(2,+∞)C.(-∞,2)D.(4,+∞)

B学

习

新

知阿基米德（公元前287年—公元前212年）《阿基米德全集》等差中项

在一个等差数列中，从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项.注意：1、2、

典

例

引

路狄利克雷例4、已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是________．

同

步

练

习庞加莱练4、（1）-3和5的等差中项是

.

（3）log64与log69的等差中项为

.

（4）若a是4+m，4-m的等差中项，则a=

.解：∵2a=(4+m)+(4-m)=8,∴a=4典

例

引

路皮

亚

诺

同

步

练

习莱布尼兹

学

习

新

知阿波罗尼奥斯（约公元前200年）

《圆锥曲线论》

注意：1、2、等号两边都是两项。

证明：典

例

引

路华罗庚例6、（1）已知等差数列{an}，a1+a15=15,a4=9，则a12等于

.解：∵a1+a15=a4+a12∴a12=a1+a15-a4=15-9=6（2）在等差数列{an}中，a1+3a8+a15=60，则2a9-a10的值为

.解：∵60=a1+3a8+a15=3a8+(a1+a15)=3a8+2a8=5a8∴a8=12∴2a9-a10=(a8+a10)-a10=a8=12（3）在等差数列{an}中，a1+a2=5,a5+a6=7，则a9+a10=

.解：∵a1+a2+a9+a10=(a1+a10)+(a2+a9)=2(a5+a6)∴5+a9+a10=14∴a9+a10=9同

步

练

习陈景润练6、（1）在等差数列{an}中，a3+a4+a5=30，则a2+a6的值为

.解：∵30=a3+a4+a5=a4+(a3+a5)=a4+2a4=3a4∴a4=10∴a2+a6=2a4=20（2）在等差数列{an}中，已知a7+a8+a12+a13=20，则a1+a19=

.解：∵20=a7+a8+a12+a13=(a7+a13)+(a8+a12)=2(a1+a19)∴a1+a19=10（3）已知{an}为等差数列，a2+a4+a5=a3+a6，a10=10，则a6=

.解：∵a4+a5=a3+a6∴由a2+a4+a5=a3+a6，得a2=0∵2a6=a2+a10=0+10=10∴a2=5学

习

新

知拉格朗日扩展的通项公式an=am+(n－m)d证明：∵an=a1+(n-1)dam=a1+(m-1)d∴an-am=[a1+(n-1)d]-[a1+(m-1)d]=(n-m)d∴an=am+(n-m)d变形得

典

例

引

路傅里叶例7、在等差数列{an}中，已知a15=10,a45=90,则a60=_____

同

步

练

习洛必达练7、在等差数列{an}中，a2=m，am=2，则am+2=____

学

习

新

知布

丰三数成等差数列，通常设为：a－d,a,a+d；(公差为d)四数成等差数列，通常设为a－3d,a－d,a+d,a+3d.(公差为2d)若d等差数列{an}的公差，则其子数列ak,ak+m,ak+2m，…(k,m∈N+)也成等差数列，且公差为md若{an}为等差数列，k∈R，则{kan}也是等差数列.典

例

引

路贝叶斯例8、已知三个数成等差数列并且数列是递增的，它们的和为18，平方和为116，求这三个数.

典

例

引

路伯努利例9、成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，这四个数为

．

同

步

练

习佩雷尔曼练8、三个数成等差数列，这三个数的和为6，积为-24，则这三个数为

．

典

例

引

路丘成桐例10、已知{an}为等差数列，a15=8，a60=20，则a75=________.

解：∵{an}为等差数列,

∴a15,a30,a45,a60,a75也成等差数列,设其公差d,

则a15为首项,a60为第4项.

∴a60=a15＋3d

∴20=8＋3d.解得d=4

∴a75=a60＋d=20＋4=24

同

步

练

习毕