第31讲解直角三角形的应用

第二篇图形与几何第七章图形变换与解直角三角形第31讲解直角三角形的应用1.

了解解直角三角形的定义.2.

熟悉解直角三角形的常用关系.3.

掌握解直角三角形的应用（仰角、坡度、方向角等）.

类型一

解直角三角形常见数量关系例1

如图，矩形ABCD的对角线交于点O.

已知AB＝m，∠BAC＝α，则下列结论错误的是（

C

）A.

∠BDC＝αB.

BC＝m·tan

αC.

AO＝

D.

BD＝

【解后感悟】根据已知条件选择合适的三角函数.

C

1.

如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内）.已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝α，则点A到OC的距离等于（

D

）A.

a

sin

α＋b

sin

αB.

a

cos

α＋b

cos

αC.

a

sin

α＋b

cos

αD.

a

cos

α＋b

sin

αD类型二

解直角三角形的测量问题例2

综合与实践活动中，要用测角仪测量某河上一座桥的桥塔AB的高度（如图1所示）.某学习小组设计了一个方案：如图2所示，点C，D，E依次在同一条水平直线上，DE＝36

m，EC⊥AB，垂足为C.

在D处测得桥塔顶部B的仰角（∠CDB）为45°，测得桥塔底部A的俯角（∠CDA）为6°，又在E处测得桥塔顶部B的仰角（∠CEB）为31°.（1）求线段CD的长.

（2）求桥塔AB的高度.（结果取整数，参考数据：tan

31°≈0.6，tan

6°≈0.1）【解后感悟】本题考查了仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角的定义并构造两直角三角形.

2.

某校学生开展综合实践活动，测量一建筑物CD的高度，在建筑物旁边有一高度为10

m的小楼房AB，小李在小楼房楼底B处测得C处的仰角为60°，在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为30°（AB，CD在同一平面内，B，D在同一水平面上），则建筑物CD的高为（

B

）A.20

mB.15

mC.12

mD.

（10＋5

）

mB类型三

解直角三角形的数学建模例3

有一种升降熨烫台如图1所示，其原理是通过改变两根支撑杆夹角的度数来调整熨烫台的高度.图2、图3是这种升降熨烫台的平面示意图.AB和CD是两根相同长度的活动支撑杆，点O是它们的连接点，OA＝OC，h（cm）表示熨烫台的高度.

（1）如图2所示，若AB＝CD＝110

cm，∠AOC＝120°，求h的值.

（2）爱动脑筋的小明发现，当家里这种升降熨烫台的高度为120

cm时，两根支撑杆的夹角∠AOC是74°（如图3所示）.求该熨烫台支撑杆AB的长度（结果精确到1

cm.参考数据：sin

37°≈0.6，cos

37°≈0.8，sin

53°≈0.8，cos

53°≈0.6）.

【解后感悟】本题从生活情景中取材，考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键.

3.

共享单车为市民出行提供了便利.图1为单车实物图，图2为单车示意图，AB与地面平行，点A，B，D共线，点D，F，G共线，坐垫C可沿射线BE方向调节.已知∠ABE＝70°，∠EAB＝45°，车轮半径为30

cm，BE＝40

cm，小明体验后觉得当坐垫C离地面高度为90

cm时骑着比较舒适，此时CE的长约为（

B

）（结果精确到1

cm，参考数据：sin

70°≈0.9，cos

70°≈0.3，tan

70°≈2.7）BA.25

cmB.27

cmC.22

cmD.20

cm类型四

解直角三角形中一个常见的模型例4

越来越多太阳能路灯的使用，既点亮了城市的风景，也是积极落实节能环保的举措.某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板离地面的高度.如图，已知测倾器的高度为1.6

m，在测点A处安置测倾器，测得点M的仰角∠MBC＝33°，在与点A相距3.5

m的测点D处安置测倾器，测得点M的仰角∠MEC＝45°（点A，D与N在一条直线上），求电池板离地面的高度MN的长（结果精确到1

m.参考数据：sin

33°≈0.54，cos

33°≈0.84，tan

33°≈0.65）.

4.

如图，小明用无人机测量教学楼的高度，将无人机垂直上升至距地面30

m的点P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6

m至点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°，则教学楼AB的高度约为

17

m（精确到1

m，参考数据：sin

37°≈0.60，cos

37°≈0.80，tan

37°≈0.75）.17

【课本改编题】某学校的校门是伸缩门（如图1所示），伸缩门中的每一行菱形有20个，每个菱形边长为30

cm.校门关闭时，每个菱形的锐角度数为60°（如图2所示）；校门打开时，每个菱形的锐角度数从60°缩小为10°（如图3所示）.问：校门打开了多少米（结果精确到1

m.参考数据：sin

5°≈0.087

2，cos

5°≈0.996

2，sin

10°≈0.173

6，cos

10°≈0.984

8）？【答案】如图，校门关闭时，取其中一个菱形ABCD.

根据题意，得∠BAD＝60°，AB＝0.3

m.∵在菱形ABCD中，AB＝AD，∴△BAD是等边三角形，∴BD＝AB＝0.3

m，∴大门的宽是0.3×20＝6（m）；校门打开时，取其中一个菱形A1B1C1D1.根据题意，得∠B1A1D1＝10°，A1B1＝0.3

m.∵在菱形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∠B1A1O1＝5°，∴在Rt△A1B1O1中，B1O1＝sin∠B1A1O1·A1B1＝sin

5°×0.3≈0.026

16（m），∴B1D1＝2B1O1≈0.052

32

m，∴伸缩门的宽是0.052

32×20＝1.046