《空间解析几何》课件 第一章 向量代数

空间解析几何西南交通大学出版社第四章

平面二次曲线的分类第一章

向量代数第三章

曲面与空间曲线第二章

平面与空间直线第一章向量代数§1.1向量及其线性运算§1.3

标架与坐标系§1.2空间的线性结构§1.4向量的数量积§1.6向量的多重积§1.5

向量的向量积§1.1向量及其线性运算一、基本概念三、向量的数乘二、向量的加法

定义1.1.1

既有大小又有方向的量叫向量或矢量.向量的几何表示：向量的模：向量的大小.

数量(标量)--只有大小的量;有向线段.两类量：一般记为：

.模为1的向量.单位向量：与向量具有相同方向的单位向量，叫做

的单位向量，记为.零向量：模为0的向量.一、基本概念规定：所有的零向量都相等.

定义1.1.2

如果两个向量的模相等且方向相同，那么叫做相等向量，记为.＝

注：模相等的两个向量不一定相等，因为它们方向可能不同.

定义1.1.3

两个模相等，方向相反的向量叫做互为反向量.

方向相同或相反的向量称为平行向量，记作.平行向量也称为共线向量.推广：如果非零向量

对应的有向线段所在的直线平行于某一直线(或恰好是某直线)，则称

平行于该直线(或在该直线内).结论：两非零向量平行当且仅当它们对应的有向线段所在的直线相互平行或重合.规定：零向量与任何向量平行.

类似地，如果非零向量

对应的有向线段所在的直线平行于某一平面(或恰好在某平面内)，则称其平行于该平面(或在该平面内).

定义1.1.4

能够平行移动到同一平面或恰好在同一平面的向量称为共面向量.规定：零向量与任何共面向量组共面.自由向量：大小和方向明确，但不固定起点和终点的向量.

显然，自由向量可以在空间内任意平行移动，但移动后的向量均与其相等.ABC这个定义向量和的方法称为三角形法则.

定义1.1.5

对于两向量，任取空间点A，依次作，，称

为向量与的和，记做.二、向量的加法说明：三角形法则是将两向量依顺序尾首相连.

给两非零向量

,在空间任意点A处分别作,，以他们为邻边画出平行四边形ABCD，此时对角线向量ABDC平行四边形法则说明：平行四边形法则是将两非零向量起点移动到同一点.

定理1.1.1

向量加法的运算规律：（1）交换律：（2）结合律：（3）零元:（4）负元:

即将有限个向量依顺序尾首相连，由第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量就是他们的和.推广：有限个向量

的和OA1A2A3A4An-1An该方法叫做多边形法则，

任取空间点O，依次作容易证明向量

恰好就是

的和.于是，

把向量

与

的起点归结为空间同一点A，设

，

，从而

定义1.1.6

如果

与

的和等于

，即

，则称

为

与

的差，记作因此

可见，如果将两向量起点归结为同一点时，它们的差是由减号后面向量的终点指向前面向量的终点的向量.

向量减法也有三角形法则.说明：

减去

等于

加上

的反向量.上式两边加上

，便有

当

时，则

，即有

移向法则：在向量等式中，将某一向量从等号一端移到另一端，需改变它的符号.例1

设A、B、C、D是空间中任意四点，证明

证

上式移项得证.当时，

是零向量，方向任意，

当

时，规定

与方向相同，

定义1.1.7

实数与向量的乘积是一个向量，记作，它的模是，这种运算称为向量的数乘.当时，规定

与方向相反.方向如下规定：

三、向量的数乘如果

与

反向，取

，则也有

命题1.1.1

设

为非零向量，则

与

是共线向量的充要条件是存在实数

使得

已知

与

是共线向量，如果它们同向，因为

与

大小相等方向相同，

证

只需证明必要性.取则

如果

为非零向量，则有

，其中

表示

的单位向量.因此.说明：一个非零向量乘以其模的倒数是他的单位向量.

定理1.1.2

向量的数乘符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)证(2)当或其中有一个为零，则结论成立.如果

同号时，两向量均与同向；如果

异号时，两向量均与反向；当

，

时，向量

与

的模都等于

综上可知：

.

(3)当或中至少有一个为0时，结论成立.证

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)下面证明，且

的情况：当

时，和

同向，且

(3)②

证

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)当

时，不妨设①

即，由结合律可知此时移项得

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)

(3)证③

，

同②

(4)当或中至少有一个为零向量时，结论成立.

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)

(3)证③

，

同②

下面证明，，的情况：

当反向时，取，设共线，当同向时，取，则则

以为边可得

，以为边可得所以

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)

(4)证设共线，则设不共线，

(4)

当时，如左下图

当时，如右下图由与相似可知：

定理1.1.2

数与向量的乘积符合下列运算规律：(2)结合律：(3)第一分配律：(4)第二分配律：(1)证

假设另存在实数

也使得

，则

从而

由于

是非零向量，所以.

定理1.1.3

设

为非零向量，则

与

是共线向量的充要条件是存在唯一的实数

，使得.说明：该定理与命题1.1.1的区别在于实数x多了唯一性.下证该唯一性.

例2

设AM是三角形ABC

的中线，求证:证

如图，点M是线段BC的中点，则

.

因为所以而则因此ABCM

设

两边AB和AC的中点分别为M和N，那么例3

用向量方法证明：联结三角形两边中点的线段平行于第三边且等于第三边的一半.证所以且ABCMN§1.2空间的线性结构一、线性关系的概念与性质二、相关的结论

(1)称

是

的线性组合.(2)如果

，则称

可以由空间向量组

线性表示，或者说，

可以分解成

的线性组合.空间的线性结构是指空间向量之间的线性关系.

设

是一组空间向量，

均为实数，

是一向量.一、线性关系的概念与性质则称

线性相关，否则线性无关.

定义1.2.1

设

是一组向量，如果存在不全为零的实数

使得注：(1)一组向量

线性无关是指：式子成立只能.(2)任何一组向量要么线性无关，要么线性相关，二者必只居其一.(3)如果一组向量包含零向量，则其线性相关.所以

线性相关.

定理1.2.1(性质)

一组向量中如果有部分向量线性相关，则这组向量必定线性相关.证：不妨设

前s个向量线性相关，即存在s个不全为零的实数

使得

说明：部分相关则整体相关.从而

定理1.2.2

设,为空间任意两向量，则它们共线的充要条件是

，线性相关.证

必要性

如果

，中有一个零向量，则它们线性相关.

若

与

均为非零向量，由定理1.1.3可知，存在唯一的实数k使得

，则

充分性

由条件，存在不全为零的实数k和l使得假设

，则.因此

与

共线.二、相关的结论

推论1.2.1

设,为空间任意两向量，则它们不共线的充要条件是

，线性无关.

定理1.2.2

设,为空间任意两向量，则它们共线的充要条件是

，线性相关.则

与

可以确定一个平面.

如果x，y均不为零，作

，

，以OC

和OD为邻边有平行四边形OCED.因为

并且

、

、

共面，即

、、共面.因为

与

不共线，所以

且.

设O是空间一定点，作有

，

，证

定理1.2.3

设

、和

为空间三向量，其中

与

不共线，那么

、、共面的充要条件是存在唯一一组实数x，y使得.充分性如果x，y有一为零，显然，、、共面.必要性

如果

与

或

共线，不妨设

与

共线，可得.

定理1.2.3

设

、和

为空间三向量，其中

与

不共线，那么

、、共面的充要条件是存在唯一一组实数x，y使得.证

先说明实数x，y的存在性.

如果

与

、均不共线，作

，

，.再过点E分别作直线交OA、OB延长线于点C

、D.由平行四边形法则，

如果还存在x1，y1也使得

最后说明实数x，y的唯一性.于是

定理1.2.3

设

、和

为空间三向量，其中

与

不共线，那么

、、共面的充要条件是存在唯一一组实数x，y使得.证

说明：在平面上，给定两不共线的向量，则平面上任何向量均可由它们唯一的线性表示.从而则因此

由条件，存在不全为零的实数k1、k2、k3使得

充分性证

不妨设

，则于是

、

、

共面.

推论1.2.2

设

、、为空间三向量，那么

、、共面的充要条件是

、、线性相关.

必要性

如果

与

不共线，由

、、共面和定理1.2.3得

从而.因此

、

、

线性相关.

如果

与

共线，则

与

线性相关.由部分相关则整体相关的性质，所以

、、

也线性相关.不共面的充要条件是

、

、

线性无关.

如果

与

、、

中任意两个向量共面，不妨设

与

、共面，由定理1.2.3，则

定理1.2.4设

、和

为空间三不共面向量，那么空间任意向量

都可以由

、、

线性表示且表示法唯一，即存在唯一一组实数x、y、z使得

因为

、

和

不共面，所以它们均不为零向量且两两不共线.首先说明实数x、y、z的存在性.证而

平行于

，所以存在实数z使得.因为

与

、

共面，由定理1.2.3，则因此

下设

与

、、中任意两向量不共面.将

、、和

的起点归结为点O，作

，

，

，

，

由条件和假设可知，向量

和

不在平面OAB内.

过点D作平行于OC的直线交平面于点M.说明：上述定理是下节所要学习的空间标架和坐标系建立的理论基础.证

首先证明n=4的情形.设有向量

、、、.

如果

、、共面，则

、、线性相关，由部分相关必整体相关知

、、、

线性相关.

如果

、、不共面，由定理1.2.4知存在实数x、y、z使得

从而因此

、、、

线性相关.定理1.2.5

空间任何

个向量必定线性相关.

再证n>4的情形.此时，在n个向量中任取4个向量，它们必定线性相关，再由部分相关必整体相关的性质，结论成立.例1

在三角形OAB中

，点M、N分别是两边OA、OB上的点，且

，设AN与BM相交于P，试把向量

分解成

的线性组合.而ONBPAM解因为所以例1

在三角形OAB中

，点M、N分别是两边OA、OB上的点，且

，设AN与BM相交于P，试把向量

分解成

的线性组合.解则ONBPAM，得所以说明：由此例我们可以证明三角形中线合一.

连接四面体ABCD对边AB与CD的中点E、F.设EF的中点为P1.例2

证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABCDEFP1e1e2e3记线性表示.可以用证因AP1是△AEF的中线，有

又AF是△ACD

的中线，则例2

证明四面体对边中点的连线交于一点，且互相平分.ABDEFP1e1e2e3证而可得因AP1是△AEF的中线，有

又AF是△ACD

的中线，则设剩下两组对边中点所连线段的中点为P2，P3同理得从而P1，P2，P3重合.§1.3标架与坐标系一、标架与坐标系二、坐标系下向量的线性运算三、坐标系下点的相关结论

在空间任意取定点O，从O引出三个不共面的有序向量

，空间任何向量

，都可以由

线性表示且表示法唯一，即则称

为空间的一组基底(基)，实数组

称为向量

在该基底下的坐标，记作.基中包含向量的个数3称为空间的维数，空间也叫作三维向量空间.一、标架与坐标系

任何向量在

下的坐标是指其在基下的坐标.

定义1.3.1

空间中定点O连同三个不共面的有序向量

叫做空间中的一个仿射标架，记作

，点O和

分别称为该仿射标架的原点和坐标向量.如果

两两相互垂直，则称

为直角标架.

定义1.3.2设P为空间任意一点，在仿射标架[O；e1、e2、e3]下，向量

称为点P的定位向量，在[O；e1、e2、e3]下的坐标

叫作点P在该标架下的仿射坐标，简称坐标，记作.

取仿射标架

，那么三元有序数组

是点P的坐标当且仅当

这种点与三元有序数组的对应关系称为由仿射标架决定的仿射坐标系，也表示为.1－1对应三元有序数组空间点P

每两条坐标轴所决定的平面叫做坐标面，分别记为

平面，

平面和

平面.

点坐标

中x称为横坐标,y称为纵坐标，z称为竖坐标.

xOyz直角坐标系:

直角标架决定的坐标系.

过原点O按照坐标向量

的顺序以他们的指向为正向分别做三条数轴依次叫做x轴，y轴，z轴，统称为坐标轴.Ⅶ坐标面把空间分成8个部分，称为8个卦限，如下图ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ

卦限坐标ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧx+--++--+y++--++--z++++----坐标面上点的坐标有一个为零，坐标轴上点的坐标有两个为零,原点，坐标全为零.

空间中有三类特殊点：坐标面上的点、坐标轴上的点、原点.

空间任一仿射坐标系，如果右手四指弯曲方向是由x轴正向转向y轴正向(转角小于180°),此时大拇指与z轴正向都指向

面的同一侧，则称其为右手坐标系(右手系)，否则称为左手坐标系(左手系).

右手直角坐标系记为

，其中

都是单位向量.O

定理1.3.1设两向量

的坐标分别为

，

，那么(1)的坐标是

(2)对实数

的坐标是证

由条件得

由向量线性运算的规律，则二、坐标系下向量的线性运算

以下讨论均在仿射坐标系

下进行.

推论1.3.1

设两向量

的坐标分别为

，

，则

的坐标是

推广：有限个向量的线性运算，设向量

的坐标是

，

是n个实数，则的坐标是于是证

因为向量

非零，则与

共线当且仅当存在实数λ使得.

定理1.3.2

已知两个非零向量

的坐标

，则

共线的充要条件是即证.

定理1.3.3已知三个非零向量

坐标分别为

，

，

，则

共面的充要条件是

证

三向量共面当且仅当它们线性相关，即存在不全为零的实数

，使得.于是齐次线性方程组有非零解等价于证

由条件得

定理1.3.4

设点A、B的坐标是

则向量

的坐标是

从而向量

的坐标是

三、坐标系下点的相关结论

定理1.3.5设三不同点A、B、C的坐标是

，则他们共线的充要条件是

定理1.3.6

设A、B、C、D的坐标分别是

，因此A、B、C、D共面的充要条件是则

与

的坐标分别为解设点C坐标为(x,y,z)，

例1.3.1

设非零向量

起止点得坐标是

和

，如果点C分

成定比λ，即

，求点C的坐标.由条件解

例1.3.1

设非零向量

起止点得坐标是

和

，如果点C分

成定比λ，即

，求点C的坐标.所以点C的坐标为特别地，点C为中点，此时λ=1，则点C坐标为§1.4向量的数量积一、夹角与投影二、向量的数量积三、直角坐标系下的数量积四、向量的方向角及在轴上的投影设和是非零向量，点O是空间任意一点，作，

.

由射线OA和OB构成的大于等于0小于等于π的角，叫做

和

的夹角，记作规定：零向量与任何向量的夹角是大于等于0小于等于π的任何角度.说明：(1),(2)当

时，

当

时，一、夹角与投影(夹角)记作.向量与数轴的夹角:设O是数轴l上任意一点，

是与l正向同向的单位向量，作,则

与

的夹角.说明：如果

，有.l

设A是空间一点，l是数轴，过A作垂直于l的平面交l于

，称

为A在l上的投影.

向量

叫做

在数轴l上的投影向量(射影向量).一、夹角与投影(投影)

定义1.4.1

向量

在数轴l上的投影向量是

取与l正向同向的单位向量

，存在唯一实数λ使得l称λ为

在l上的投影(射影)，记作说明：投影向量与射影的关系，注1：向量的投影仅是一个数值.注2：延申为向量在向量上的投影

当时，

与

同向,证

记

当时，结论成立.

定理1.4.1

向量

在数轴l(非零向量)上的投影下面讨论

时的情况.

当时，

与

反向，证

定理1.4.1

向量

在数轴l(非零向量)上的投影证

(1)设为l的单位向量，如图，记

定理1.4.2

对于向量

，实数k有(1)(2)即则如果或，则命题成立.设，当

时，证

(2)

定理1.4.2

对于向量

，实数k有(1)(2)当

时，有二、向量的数量积说明：功是两向量

和

的运算,结果是一个数量.M1M2力所做的功

定义1.4.2

两个向量和的以下运算

叫做

和

的数量积(也称内积)，记作说明：（1）记.则.（2）数量积等于其中一个向量的模乘以另一个向量在这向量的方向上的射影.(4)分配律：

定理1.4.4

设

是空间任意向量，则(1)正定性：

等号成立当且仅当(2)对称性：(3)关于数乘的结合律：

定理1.4.3

向量

的充要条件是证

如图又

代入上式得例1

试证：三角形的三条高交于一点.所以

即

因此线段BH垂直于边CA.即证.三、直角坐标系下的数量积

以下讨论均在直角坐标系

下进行.证

定理1.4.5设

的坐标是

则

推论1.4.2

设向量

的坐标是

则

的充要条件是

定理1.4.6

设A、B两点坐标是

非零向量

的坐标是

则(1)A、B两点之间的距离为

(2)向量

夹角的余弦说明：

，则

(2)(1)则

于是夹角为60°.求：(1)(2)例2

已知三点

且解

由条件可知

的坐标为

三方向角记为：

方向角：空间向量与三条坐标轴正向的夹角.

方向余弦：方向角的余弦.四、向量的方向角

取直角坐标系

.

设非零向量

的坐标为

，则.说明：（1）（2）向量

在三个坐标轴上的投影分为

说明：向量在三坐标轴上的投影构成的有序数组恰好是其坐标.四、向量在轴上的投影

取直角坐标系

.

设向量

的坐标为

，则.

§1.5向量的向量积一、向量积的概念和几何意义二、向量积的运算规律三、直角坐标系下的向量积（2）当

不共线时，它的方向与

和都垂直，并且按

这个顺序，构成右手标架.

定义1.5.1空间两向量与的向量积(也称外积)是一个向量，记做，它的模是（1）当

共线时，由于

，

是零向量，方向任意；一、向量积的概念和几何意义

定理1.5.1两向量与共线的充要条件是

定理1.5.2

两不共线向量与的向量积的模

等于以与为边所构成的平行四边形的面积.关于向量积a×b的方向，下列说法正确的是？与a

和b

都平行A位于a和b所在的平面内B方向由左手定则确定C方向垂直于a和b所在的平面内，且a，b，a×b构成右手标架D提交单选题1分

定理1.5.3

对于向量,任意实数

，总有(1)反对称性

(2)数乘的结合律

证

(1)首先，两向量的模相等；其次，，方向分别满足如下右手标架：二、向量积的运算规律证

(2)当

或

共线时，结论成立；如果

且不共线.首先，三向量的模相等；当时，三个向量的方向都与向量积反向.当时，三个向量的方向都与向量积同向；综上知

定理1.5.3

对于向量,任意实数

，总有(1)反对称性

(2)数乘的结合律

关于分配律有以下几何直观和命题几何直观

设d为单位向量且垂直于d΄，那么d×d΄垂直于d和d΄所在的平面，且刚好等于由d΄绕着d逆时针旋转90o而得到的向量.

命题1.5.1

对于向量

且

则其中

是

的单位向量，

和

是

与

分别在向量

上的外投影.()证

易知

，从而

记设

如图，

是

绕

逆时针旋转90o得到.所以即证.如图，

是

绕

逆时针旋转90o得到.

命题1.5.1

对于向量

且

则其中

是

的单位向量，

和

是

与

分别在向量

上的外投影.()证

从而

命题1.5.2

对于向量

且

，则证

若

共线，那么

，则

若

不共线，因为

，所以

令

有从而又

同向.

定理1.5.4

对于向量,则左分配律右分配律证

若

是零向量，则结论成立.

以下假设

非零向量.这里只证明第一个等式.

设

是

的单位向量.注:（1）向量积具有反对称性，也称满足反交换律.所以作向量积时顺序很重要.（2）向量积也具有分配律和数乘的结合律.

定理1.5.3

对于向量,任意实数

，总有(1)反对称性

(2)数乘的结合律

定理1.5.4

对于向量,则左分配律右分配律

定理1.5.5

设坐标为

那么证三、直角坐标系下的向量积解

由条件知

坐标为

所以从而例3已知空间三点，试求：（1）ΔABC的面积；（2）ΔABC的边AB上的高.

§1.6向量的多重积一、混合积的概念和性质二、直角坐标系下混合积的运算三、二重向量积

定义1.6.1

给空间三个向量，称

为三向量

的混合积，记作

一、混合积的概念和性质

将

的起点归结为同一点，记

决定的平面为π.如果

与

指向π同一侧，则称

符合右手系，否则称为左手系.左手系右手系证

当

构成右手系，如图所示，平行六面体的底面是以

为邻边的平行四边形，面积为.高为.因此体积为

定理1.6.1

设空间三向量

不共面，将他们的起点归结为同一点，以这三向量为棱的平行六面体的体积等于

，即混合积的绝对值.

h证

当

构成左手系，如图所示，平行六面体的底面是以

为邻边的平行四边形，面积为.高为.因此体积为h

定理1.6.1

设空间三向量

不共面，将他们的起点归结为同一点，以这三向量为棱的平行六面体的体积等于

，即混合积的绝对值.

定理1.6.2

空间三向量共面的充分必要条件是

定理1.6.1

设空间三向量

不共面，将他们的起点归结为同一点，以这三向量为棱的平行六面体的体积等于

，即混合积的绝对值.说明：三个向量

中有两个相同，则他们的混合积为零，如说明：当三个不共面向量符合右手系，他们混合积大于零；如果符合左手系，则混合积小于零.

另外这三个混合积的绝对值都等于