高中数学人教A版选修21讲义第二章2.3双曲线

双曲线

2.3,1双曲线及其标准方程

k嫄/EE爪双隹・课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P52〜55,思考并完成以下问题

1.平面内满足什么条件的点的轨迹是双曲线？双曲线的焦点、焦距分别是什么？

2.什么是双曲线的标准方程?

［新知初探］

1.双曲线的定义

把平面内与两个定点尸“尸2的距离的差的绝对值等于非零常数（小于IQBI）的点的轨迹

叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.

［点睛］平面内到两定点尸1,尸2的距离的差的绝对值为非零常数，即||“尸||一眼尸2||=

2%关键词“平面内”.

当2GV|FI尸2|时，轨迹是双曲线；

当2〃=吗?2|时，轨迹是分别以"1,22为端点的两条射线；

当20＞历尸2|时，轨迹不存在.

2.双曲线的标准方程

焦点在X轴上焦点在y轴上

X2£1

kA1%-户=1

标准方程

(〃>0,/»0)(。>0,6>0)

焦点坐标尸1（—C,0）,用2（。,0）―1(0,—c),

尸2(0,c)

a,b,c的关系c2=a2-hbi

［点睛］(1)标准方程的代数特征：方程右边是1,左边是关于X,y的平方差，并且分

母大小关系不确定.

(2)%b,c三个量的关系：

标准方程中的两个参数。和儿确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这

里〃=。2—“2,与椭圆中》2=〃2—相区别，且椭圆中°>力>0,而双曲线中，(I,)大小不确

定.

［小钦身孑］

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“J”，错误的打“X”)

(1)平面内到两定点的距离的差等于常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线

()

(2)在双曲线标准方程£一£=1中，〃>0,力>0且)

(3)双曲线标准方程中，a,力的大小关系是公>。()

答案：(1)X(2)X(3)X

2.已知尸1(3,3),尸2(—3,3),动点尸满足|尸尸1|一厂加=4,则尸点的轨迹是()

A.双曲线B.双曲线的一支

C.不存在D.一条射线

答案：B

3.已知双曲线的。=5,c=7,则该双曲线的标准方程为

答案:B若=1曜子=】

题型一双曲线标准方程的认识

।典例।己知方程£一亩J=i对应的图形是双曲线，那么&的取值范围是(

)

K\K|乙

A.k>5B.Q5或一24V2

C.Q2或Av-2D.-2<k<2

［解析］・・,方程对应的图形是双曲线，

・・・(左一5)他-2)>0.

A—5>0,A—5<0,

即｛或，

［四一2>0,川一2Vo.

解得k>5或一2v〃v2.

［答案IB

将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为〜£=1,则当〃，〃<。时,

心0,m<0,

方程表示双曲线.若则方程表示焦点在x轴上的双曲线；图则方程表示

〃<0,〃>0,

焦点在y轴上的双曲线.

［活学活用］

若A>L则关于x,)，的方程(1一公小+产=公一1所表示的曲线是()

A.焦点在x轴上的楣圆

B.焦点在y轴上的椭圆

C.焦点在y轴上的双曲线

D.焦点在x轴上的双曲线

解析：选c原方程化为忐■一系=1,

•:k>l,・・・42-1>0,fc+l>0.

・・・方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线.

|匿WI；求双曲线的标准方程|

［典例］求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(l)a=4,经过点4(1,一生曹)；

(2)经过点(3,0),(—6,-3).

［解］(1)当焦点在x轴上时，

X2V2

设所求标准方程为金一方=130),

把A点的坐标代入，得力2=一《乂喏<0,不符合题意；

当焦点在)，轴上时，

设所求标准方程为方1=130),

把A点的坐标代入，得力2=9,

・・・所求双曲线的标准方程为4一］=1.

⑵设双曲线的方程为〃了+〃)，=l(m/z<0),

・・•双曲线经过点(3,0),(-6,-3),

，=1

9m+0=l,,n=9f

：.,解得《,

36w4-9w=l,_1

、”_一?

1?2

所求双曲线的标准方程为7=1.

1.双曲线标准方程的两种求法

(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的叫bfC,再写出双曲线的标准方程.

⑵待定系数法：先设出双曲线的标准方程今一£=1或，一疝im,b均为正数),然后

根据条件求出待定的系数代入方程即可.

2.求双曲线标准方程的两个关注点

(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦

点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；

(2)定量：“定量”是指确定屋，小的具体数值，常根据条件列方程求解.

—"［活学活用］

根据下列条件，求双曲线的标准方程.

(1)与椭圆旨+m=1有共同的焦点，且过点(行，4)；

(2)c=y/6f经过点(-5,2),焦点在x轴上.

2，

解：(1)椭圆方+左=1的焦点坐标为入(0,-3),

尸2(0,3),故可设双曲线的方程为卜最=1.

苏+加

=9,2

a=49

由题意，知(洞2

2

示一b2=1，b=5.

故双曲线的方程为(一?=1.

(2)工•焦点在x轴上，c=而，

・・・设所求双曲线方程为手一士=1(其中OO.V6).

•・•双曲线经过点(一52),

254

—T7=1,.•"=5或幺=30(舍去).

ZO-Z

・•・所求双曲线方程是"一炉=1.

双曲零建嫌应用

—

［典例］已知尸1，尸2分别是双曲线方一条=1的左、右焦点，若P是双曲线左支上的点,

且|P尸1卜|尸"2|=32.试求△尸1尸尸2的面积.

［解］因为尸是双曲线左支上的点，所以|尸尸2|一|P/11=6,两边平方得|PFiF+|Pr2『一

21P外卜|尸尸21=36,所以IPF1F+IP尸2产=36+2|尸尸］|・|尸/21=36+2X32=100.

在△尸出入中，由余弦定理，

|P尸iF+lPBF—四尸2P

得

cosNBPB=2\PF^\PFi\

100-100…

=而丽丽i=°，所以N凡P&=90。，

所以SAF,PF2=1|PFI||PF2|=1X32=16.

［一题多变］

1.〔变条件，变设问］若本例中双曲线的标准方程不变，且其上一点P到焦点外的距

离为10.求点尸到尸2的距离.

解：由双曲线的标准方程£一£=1,

=

得。=3,b4tc=5.

由双曲线定义得||PPi|一|PP2ll=2a=6,

A|10-|PF2||=6,

解得|PBI=4或|PBI=16.

2.［变条件］若本例条件“|PF4|PBI=32”改成a\PFi\：附21=2：5”其它条件不

变，求△尸1P尸2的面积.

解：由|PFi|：|PB|=2：5,

|PF2|-|PFI|=6,

可知|PBI=10,|PFi|=4,

AS△尸i尸尸2=；X4X4#=8#.

在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件IIP凡I・|Pg||=2〃的应用；

与三角形有关的问题要考虑正、余弦定理、勾股定理等.另外在运算中要注意一些变形技巧

和整体代换思想的应用.

除1寐a唳磔由1课后层级训练，步步提升能力

层级一学业水平达标

1.已知尸|（一8,3）,尸乂2,3）,动点P满足|PFi|一|P&l=10,则尸点的轨迹是（）

A.双曲线B.双曲线的一支

C.直线D.一条射线

解析：选D%,尸2是定点，且田/'2|=10,所以满足条件|P/"|一|PP2|=10的点尸的

轨迹应为一条射线.

2.在方程小3—/町2=〃中，若〃?〃vo,则方程表示的曲线是（）

A.焦点在x轴上的椭圆B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆D.焦点在j轴上的双曲线

解析：选D将方程化为七一3=1,

--------

mm

由,知一»，

所以方程表示的曲线是焦点在卜轴上的双曲线.

3.已知定点A,8且质用=4,动点尸满足照|一|尸8|=3,则妙|的最小值为（）

3

A-2B.2

7

C.2D.5

解析：选C如图所示，点尸是以A,6为焦点的双曲线的右支上的

37

点，当尸在M处时，阳最小，最小值为。+。=/2=5.

4.椭圆7+夕=1与双曲线》一4=1有相同的焦点，则°的值是（

UC/N

A.TB.1或一2

乙

C.1或3D.1

4>0,

解析：选D依题意知,OvMv%解得a=l.

.4-”2=a+2,

5.焦点分别为（一2,0）,（2,0）且经过点（2,3）的双曲线的标准方程为（）

X2-^-=1B.

解析：选A由双曲线定义知,

2a=^/(2+2)2+32-V(2-2)24-32=5-3=2,

又c=2,/.Zr=c2—a2=4—1=3,

6.设，〃是常数，若点尸(0,5)是双曲线5=1的一个焦点，则小=.

解析：由点网0,5)可知该双曲线^一方土的焦点落在y轴上，所以心0,且加+9=52,

解得m=16.

答案：16

7.经过点P(—3,25)和Q(—65-7),且焦点在j轴上的双曲线的标准方程是

解析：设双曲线的方程为77/x24-wj2=l(mn<0),

9m+28w=l,

72m+49〃=1,

故双曲线的标准方程为太一a=l.

8.已知双曲线的两个焦点户|(一正，0),尸2(小，0),尸是双曲线上一点，且|p居|・|尸尸2

=0,|PF4|P尸21=2,则双曲线的标准方程为.

解析：由题意可设双曲线方程为

由|尸居「尸尸21=。，得2尸1，尸尸2.根据勾股定理得

222

|PFI|+|PF2|=(2C),即|PB|2+|PBF=20.

根据双曲线定义有|P/I|-|PF2|=±2«.

两边平方并代入|PFIHPBI=2得

20-2X2=4*,解得标=4,从而加=5—4=1,

所以双曲线方程为，一炉=1.

答案：？一尸1

9.已知与双曲线条一9=1共焦点的双曲线过点4-半，一而)求该双曲线的标准

方程.

解：已知双曲线含一]=1,由。2=。2+62,

得。2=]6+9=25,：.c=5.

设所求双曲线的标准方程为，一方=1(。>0,力>0).

2222

依题意，c=5,,,b=c—a=25—af

故双曲线方程可写为，一三与=1.

・・•点《一坐，一水;在双曲线上，

.(省(一的2

•,«2_25_苏_1・

化简，得加4一129层+125=0,

解得“2=1或°2=竽.

12s12S2s

又当“2=7-时，力2=25—“2=25一7]=一1<0,不合题意，舍去，故°2=1,82=24.

2

，所求双曲线的标准方程为X2-^v=l.

10.已知△/!〃。的两个顶点A,8分别为椭圆炉+5炉=5的左焦点和右焦点，且三个

内角A,B,。满足关系式sin8—sinA=；sinC.

(1)求线段A3的长度；

(2)求顶点C的轨迹方程.

♦

解：(1)将椭圆方程化为标准形式为(+)，2=1.

22222

.*.a=5,b=\tc=a-b=4f

则A(—2,0),8(2,0),|AB|=4.

(2)VsinB—sinA=；sinC,

・•・由正弦定理得

\CA\-\CB\=^\AB\=l<\AB\=4t

即动点。到两定点4,3的距离之差为定值.

・•・动点。的轨迹是双曲线的右支，并且C=2,<7=1,

・••所求的点的轨迹方程为2r

CX-3=l(x>l).

层级二应试能力达标

1.设修，兀），则关于x,y的方程总+£=1所表示的曲线是（）

\■xol11ULU。U

A.焦点在y轴上的双曲线

B.焦点在x轴上的双曲线

C.焦点在y轴上的椭圆

D.焦点在x轴上的椭圆

解析：选B由题意，知si：〃--Is因为夕6©^'所以sinGO,—cos^>0,

则方程表示焦点在x轴上的双曲线.故选B.

2.若双曲线千一产=1（心1）的左、右焦点分别为尸尸2,点尸在双曲线上，且满足|尸尸1|

+|P尸2l=2«Ti,则△PFiB的面积为（）

C.2D.4

解析：选A设点P在双曲线的右支上，则上尸［|一］。尸2|=25，已知|PFI|+|PF2|=

2而百，解得|p「ii=gTi+g,|尸产2］=屈工一血，I尸尸出尸尸2|=2.又।尸।尸2l=2gTi,

则IPFiF+l尸尸2|2=|尸1F2F,所以△尸尸1尸2为直角三角形，且N尸1尸尸2=90°,于是SAPFiFz

=||PFI|-|PF2|=1X2=1.故选A.

3.若双曲线8A/一幻2=8的一个焦点坐标是（3,0）,则〃=（）

A.1B.-1

C.|D.—I

/£

化为

可-

解析：选依题意，知双曲线的焦点在轴上,1-8

Ax则k>Qf且

一

A一

我

a2=v,"号，所以蹲=%解得A=1.

KKKK

4.已知双曲线宗一方=13>0,力>。），Fi,B为其两个焦点，若过焦点*的直线与双

曲线的一支相交的弦长|A8|=m,则AAVr2的周长为（）

A.4aB.4a—m

C.4。+2〃?D.4a~2m

解析：选C由双曲线的定义，知以尸2|一汝尸］|=2%|8尸2］一|8尸11=2%所以■尸2|十|8尸2|

=(|4入|+|4尸i|)+4a=m+4a,于是△/!〃尸2的周长，=依尸2|+|8尸2|+|/13=4。+26.故选C.

5.已知双曲线卷一9=1的两个焦点分别为用，尸2,双曲线上的点尸到品的距离为

12,则点尸到尸2的距离为.

解析：设F］为左焦点，尸2为右焦点，当点尸在双曲线的左支上时，IP&I一|尸尸||=10,

所以|PBI=22;当点尸在双曲线的右支上时，|P尸i|一|尸川=10,所以|P尸2|=2.

答案：22或2

6.过双曲线若一会=1的一个焦点作x轴的垂线，则垂线与双曲线的一个交点到两焦

点的距离分别为.

解析：因为双曲线方程为名一乐=1,

所以c=#144+25=13,

设尸1,尸2分别是双曲线的左、右焦点，

则Fi(-13,0),尸2(13,0).

设过尸1且垂直于x轴的直线/交双曲线于A(—13,j)(j>0),则亚=搐一1="^,

2525

所以y=ii，即八尸|『五・

又|4?2|一依尸1|=2。=24,

所以叱2|=24+居2s=3詈13

即所求距离分别为2言5音313.

25313

答案:12,~n

7.已知△0*2的面积为2#,且:。尸I园=〃］,其中O为坐标原点.

(1)设出〈勿<4而，求正与园的夹角0的正切值的取值范围；

(2)设以。为中心，尸为其中一个焦点的双曲线经过点Q,如图所示，位］|

=c,〃尸曾一),当国|取得最小值时，求此双曲线的标准方程.

|l1^HPQ|sin(7T—0=276,

解：(1)因为

I|℃卜|尸0卜os0=111,

所以tan〃=今色.

又加V，〃V4AR,所以Ivtan0v4.

即tan0的取值范围为(1,4).

⑵设双曲线的标准方程为方一£=1(公＞0,加＞0),0(X1,ji),则I*。||=(工1一。,Ji),

所以SAOFP=|||OF||»^I|=2-\/6,则以=±^.

又OF1^1=7%即(c,0)・(xi—c,yi)=G亨—1)。2,解得不=监,

所以国|=也而=y!¥+需遮=2小,

当且仅当c=4时，也0|最小，

这时。的坐标为(#,*)或(#,一#).

(66.

。2=422

因为所以,,于是双曲线的标准方程为?一毛7=1.

p2=12.―1Z

。2+护=16,

8.设圆C与两圆(x+邓)2+y2=%(工一价)2+"=4中的一个内切，另一个外切.

(1)求C的圆心轨迹L的方程；

同(挈，嚼，尸(小，0)，且P为心上动点.求IIMPLIPPII的最大值.

(2)已知点

解：⑴两圆的圆心分别为4一,，0),Bg0),半径为2,设圆C的半径为/■.由

题意得|C4|=r-2,|CB|=r+2或|C4|=r+2,\CB\=r-2t

两式相减得IC4LIC川=-4或|。|一|。引=4,即||C*一|CB||=4.

2

则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a=4,c=让，b=lt

・••圆C的圆心轨迹L的方程为宁一y2=l.

(2)由(1)知户为双曲线L的一个焦点，如图，连接M尸并延长交双曲

线于一点P,此时|「知|一『尸|=|"为为||尸,切一尸尸||的最大值.

又是目2=2,

・・・||MP|一田P||的最大值为2.

2.3.2双曲线的简单几何性质

课前自主学习，基稳才能楼高

预习课本P56〜60,思考并完成以下问题

1.双曲线有哪些几何性质？

2.双曲线的顶点、实轴、虚轴分别是什么？

3.双曲线的渐近线、等轴双曲线的定义分别是什么？

[*上崭燕]

1.双曲线的几何性质

注=】

标准方程

（。＞0,方＞0）（a＞0,力＞0）

图形

性质焦点一|（一C,0）,尸（2C,0）产i（0,-c）,—（0,c）

焦距历尸2l=2c

范围xW-a或y£Ra或xWR

对称性对称轴：坐标轴;对称中心、原点

顶点Ai（一。,0）,42（。,0）41（0,—a）,-2（0,a）

实轴：线段&区，长：2a；

性质轴虚轴：线段R&，长：2b；

半实轴长：at半虚轴长：b

离心率g=^g(b+0°)

渐近线产备产冷

2.等轴双曲线

实轴和虚轴转的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y=±x,离心率为

［点睛1对双曲线的简单几何性质的几点认识

(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置；

(2)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越

大，反之亦然.

［小钦身孑1

1.判断下列命题是否正确.(正确的打“，错误的打“X”)

(1)双曲线:一(=1的焦点在y轴上()

(2)双曲线的离心率越大,双曲线的开口越开阔()

(3)以y=±2x为渐近线的双曲线有2条()

答案：⑴X(2)V(3)X

2.双曲线Z?一炉=8的实轴长是()

A.2B.272

C.4D.4啦

答案：C

3.双曲线六一方=1的渐近线方程为()

A.3x±4j=0B.4x±3j=0

C.9x±16j=0D.16x±9j=0

答案：A

4.双曲线的渐近线方程为＞，=玲，则离心率为.

・・・。2=9,〃2=%:・a=3,b=2,c=g.

又双曲线的焦点在x轴上，

・•・顶点坐标为(一3,0),(3,0),

焦点坐标为(一行，0),(V13,0),

实轴长2a=6,虚轴长2。=4,

离心率e=：=4^,渐近线方程为y=±1x.

已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a"的

对应值，利用=a2+b2得到c,然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质.

［活学活用］

求双曲线9好一步=81的实轴长、虚轴长、顶点坐标、焦点坐标、离心率和渐近线方程.

解：将9d一炉=»1变形为5■一金=1,即，—&=［

・•・实轴长2a=6,虚轴长2。=18;

顶点坐标为(3,0),(-3,0);

焦点坐标为(3标，0),(-3^/10,0);

离心率0=/再，渐近线方程为y=±3x.

题型二由双曲线的几何性质求标准方程

［典例］求过点(2,-2)且与:一)，2=1有相同渐近线的双曲线的标准方程.

［解］法一：当焦点在x轴上时，由于《=乎・

故可设方程为金一方

代入点(2,—2)得力2=—2(舍去);

当焦点在)，轴上时，可知得=乎，

故可设方程为5—券=1,

代入点(2,-2)得“2=2.

所以所求双曲线方程为

/一1.

y2

法二：因为所求双曲线与已知双曲线・一产=1有相同的渐近线，故可设双曲线方程为军

一尸蛇H。),

代入点(2,—2)得久=一2

所以所求双曲线的方程为三一步=一2,

班-£=1.

⑴一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a,b的值和焦点所在的坐标轴，若给

出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得.再结合=。2+加及e列

关于。，力的方程(组)，解方程(组)可得标准方程.

(2)如果已知双曲线的渐近线方程为尸%那么此双曲线方程可设为后一如MWO).

［活学活用］

求适合下列条件的双曲线的标准方程：

⑴虚轴长为12,离心率为全

(2)顶点间距离为6,渐近线方程为)，=亭.

解：⑴设双曲线的标准方程为1一方=1或1一本=1(°＞0,历＞0).

c§

由题意知2力=12,,=彳且。2=°2+)2,

:・b=6,c=10,。=8,

・,・双曲线的标准方程为芸一专=1或若一冬=1.

64306436

(2)设以_y=±1x为渐近线的双曲线方程为

丁丁=〃冲0),

当幺＞0时，42=42,；・2。=2^/^=602=/

当久＜0时，。2=_%,・・.2a=2正元=602=-1.

・・・双曲线的标准方程为卷一篝=1或&?=1.

双曲线的离心率

1-----

［典例］(山东高考)过双曲线C：£一色=1(〃＞0,力＞0)的右焦点作一条与其渐近线平行

的直线，交C于点P.若点尸的横坐标为射，则C的离心率为.

［解析I如图所示，不妨设与渐近线平行的直线，的斜率为»又直『

线/过右焦点F(c,O),则直线/的方程为尸，(x—。).因为点P的横坐标

为2a,代入双曲线方程得当"一卡=1,化简得y=一小小或了=小伙点尸/为^

在x轴下方，故舍去)，故点P的坐标为(2%一小b),代入直线方程得一小6=，(2。-c),

化简可得离心率e=，=2+dl

［答案|2+小

求双曲线离心率的两种方法

(1)直接法：若已知a,c可直接利用。=；求解，若已知”，b,可利用e=11+好求

解.

(2)方程法：若无法求出°,瓦c的具体值，但根据条件可确定。，6c之间的关系，

可通过从=02—“2,将关系式转化为关于*c的齐次方程，借助于e=；,转化为关于e的

〃次方程求解.

I活学活用J

1.如果双曲线，一%=1右支上总存在到双曲线的中心与右焦点距离相等的两个相异

点，则双曲线离心率的取值范围是.

解析：如图，因为AO=A尸，尸(c,0),

y

所以％=会因为A在右支上且不在顶点处，所以£>%所以。=宗2.\

答案：(2,+8)♦。*

2.设尸I，尸2是双曲线C：，一1=1(公>0,5>0)的两个焦点，P是。上一点，若IPFil

+|PB|=6a,且△PF/2的最小内角为30。，则。的离心率为.

解析：不妨设IPPQIPBI,则|PPiL|PBI=2%又|尸尸］|+|尸尸21=6%得|PP］|=4Q,|P尸2|

=2%|FIF2|=2C,则在APFIF?中，/尸尸1尸2=30。，由余弦定理得(2«)2=(4〃)2+(2(?)2—

2X(4a)X(2c)Xcos30。，整理得(e—小户=0,所以e=小.

答案：小

1.下列双曲线中离心率为当的是（）

则审"T•噂=g即“2=2加.因此可知B正确.

2.中心在原点，实轴在x轴上，一个焦点在直线次一町+12=0上的等轴双曲线方程

是（）

A.y2=8B.X2—j2=4

C.y2—x2=8D.y2—x2=4

解析：选A令y=0得，x=-4,

・••等轴双曲线的一个焦点坐标为（一4,0）,

，c=4,a2=|cr2=1x16=8,故选A.

3.双曲线，+?=1的离心率e£（l,2）,则4的取值范围是（）

A.(-10,0)B.(-12,0)

C.(一3,0)D.(-60,-12)

22

解析：选B由题意知AvO,a=4tb=—k.

,a2+b24—kk

•・e~=出2-~4~=1-4T.

又e£(l,2),1<4,：.-\2<k<0.

4.已知双曲线E的中心为原点，F（3,0）是£的焦点，过尸的直线/与E相交于4,B

两点，且的中点为M-12,—15）,则E的方程为（

A・

D-H='

c.

解析：选B设双曲浅的标准方程为言一方=l(a>0,d>0),由题意知c=3,=+护=9,

2?

r£a1|

--=

2-2

X

设A(xi,vi),8(x2,及)则有《-22

X22

--=

2-2

衣W庇罡勺丁1-）'2』（工1+12）-12在4b2

两式作差得"二高=丽丽=三数=可'

—15一0

又48的斜率是32=1,

-12—3

2

所以4b2=5M,代入〃2+力2=9得Q2=%b=5t

所以双曲线标准方程是J=L

*T，

X?v*

5.（2016・浙江曲学）已知椭圆Ci：m+^=1（〃>1）与双曲线G：m一）?=1（〃>0）的焦

点重合，el,62分别为C|,。2的离心率，贝!1（）

A.〃且6建2>1B.，〃>〃且eie2Vl

C.m<nJ@Lei€2>lD.〃且2Vl

解析：选AG的焦点为（N那一1,o）,C2的焦点为（RM+I,0）,・・・G与C2的焦点

重合，y]m2—1=yjn2-^-l,.\/n2=/i2+2,/.W2>M2.V/7/>1,M>0,:.m>n.

・.・G的离心率e尸窄I,cz的高心率『空，

yjin2—l7层+1^/（m2-1）（/J2+1）/（m2-l）（z124-l）/（w2+l）2

•・6必=/n・〃=皿=、J加〃2丽而=

/〃4+2层+1厂

7〃计2层>小=1・

6.（全AD卷U）已知双曲线过点（4,小）,且渐近线方程为），=纵，则该双曲线的标准方

程为.

解析：法一：・・,双曲线的渐近线方程为j=i1x,

・•・可设双曲线的方程为X2—4）口=2（；1金0）.

,・,双曲线过点（4,瓜・9=16-4X（巾）2=4,

2

・・・双曲线的标准方程为，一），2=1.

法二：・・・渐近线^=上过点（4,2）,而小<2,

・,•点（4,小）在渐近线y=%的下方，

在y=-%的上方（如图）.

工双曲线的焦点在x轴上,

故可设双曲线方程为

^2—^2=1（«>0,。>0）,

由已知条件可得

(b_l

a=2f«2=4,

解得

163〃=1,

〔不一户

・,・双曲线的标准方程为?一），2=1.

答案：?一产=1

r2v2

7.双曲线”一方=13>0,力>0）的左、右焦点分别为Fi,尸2,P为双曲线上一点，且

PF|・「用=0,△/小尸2的内切圆半径r=2a,则双曲线的离心率e=

解析：可设户为第一象限的点，

由双曲线的定义可得|产入|一|尸「2|=2。，①

♦R•P可=（）,可得尸尸一尸尸2,

由勾股定理可得|PFIF+|PF2F=|尸1尸2|2=4。2,②

②一①2,可得21P产出尸尸2|=4。2—4。2=4力2,

即有IP/11+|P-2|=d4c2+4",

由三角形的面积公式可得

|r(|PFi|+|PF2|+|FiF2|)=||PFi|-|PF2|,

即为2a（q4c2+452+2。）=252,整理得：c?—4ac—5。2=0,解得c=5a（c=一。舍去）,

即有e=~

答案：5

1?2

8.双曲线方一木=1的右顶点为A,右焦点为尸，过点尸平行于双曲线的一条渐近线

的直线与双曲线交于点比则的面积为

A22A

解析：双曲线1于一北=1的右顶点A（3,0）,右焦点尸（5,0）,渐近线方程为），=土？.

7A"0

4

不妨设直线尸〃的方程为y=Q（x-5）,代入双曲线方程整理，得工2一（工一5）2=9,解得

所以既，-tt)-

所以SAAF»=1|AF|^B|=1(C-aMyB|=1x(5—3)Xy|=Yj.

答案蜜

9.（全国卷I）已知F是双曲线。：/一（=1的右焦点，尸是C的左支上一点,40,6#）.当

△APb周长最小时，求该三角形的面积.

解:设双曲线的左焦点为尸I,由双曲线方程d=1可知，a=l,c=3,故尸(3,0),

O

尸1(一3,0).

当点尸在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知|PF|-|PP||=2,所以|PF|=|PPi|+2,

从而尸产的周长=|AP|+|P尸|+|A产|=|AP|+|P尸il+2+gr

因为凶尸|=、32+（6#）2=15为定值,所以当（|AP|+|P户1|）最小时，△?!尸尸的周长最小,

由图象可知，此时点尸在线段4尸1与双曲线的交点处（如图所示）.

由题意可知直线的方程为y=2班x+WB,

p=2^6x4-6^/6,

由日，

得y?+6#y-96=0,

解得y=2#或y=-8#（舍去），

所以SMPF=S4AF\F-S4PF\F

=1x6X676-1x6X276=12^6.

10.己知双曲线C：福一3=13。，力＞0）的离心率为小，且勺=坐.

UUCJ

（1）求双曲线。的方程；

（2）已知直线x-y+〃i=。与双曲线。交于不同的两点A,B,且线段A3的中点在圆d

+炉=5上，求机的值.

a2x/5

3，a=lt

解：（1）由题意得4

解得4<=小.

所以b2=c2-a2=2.

所以双曲线C的方程为x2-£=1.

⑵设4,B两点的坐标分别为（xi,ji）,（X2,J2）,线段45的中点为M（xo,y0）.

x-y+/〃=0,

由T=i,

得炉一2姓一加一2=0（判另4式j＞（））.

”Xl+4

所以Xo=—2m,yo=xo+m=2/〃.

因为点A/(xo,)o)在国x24-j2=5上,

所以〃产+(2m)2=5.

故m=±l.

层级二应试能力达标

V

1.双曲线:1的焦点到渐近线的距离为（）

412

A.2小B.2

C.小D.1

解析：选A不妨取焦点（4,0）和渐近线），则所求距离=2小.故选

\3+1

A.

2.若双曲线与椭圆余喏=1有相同的焦点，它的一条渐近线方程为尸一X,则双曲

线的方程为（）

A./-x2=96B.j2-x2=160

C./一/=80D.j2-x2=24

解析：选D设双曲战方程为/一），2=42。0）,因为双曲线与椭圆有相同的焦点，且焦

点为（0,±4小），所以幺＜0,且一22=（4、/5）2,得2=-24.故选D.

3.若中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,-2）,则它的离心

率为（）

A.4B.y[5

C亚D・李

2

解析：选D设双曲线的标准方程为今一营=13＞。，＞＞0）.由题意，知过点（4,-2）

的渐近线方程为尸一，所以一2=一34,即。=24设力=以公＞0）,则。=2A,c=y[5kt

所以©=常噜=^\故选D.