高中数学知识点总结五：概率统计1

创想教育个性化辅导讲义

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;授课号期：课时数：口2卜D3h班型：口1对1辅导□精品小班

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课程内容形式口新授课口习题课口知识串讲课□学工方法课口阶段性考试口讲评试卷

第一步：本讲知识要点及考点分析

本讲知识点标题难度分级考纲要求考频分级常考题型及高考占分

难度分级：容易、较易、一般、较难、困难考纲要求：了解、理解、掌握、灵活运用、综合运用

填写说明考频分级：必考、常考、高频、中频、低频常考题型与高考占分：近五年高考试题分析得出

考频分级：必考、常考、高频、中频、低频常考题型与高考占分：近五年高考试题分析得出

第二步：本讲专题知识梳理(教育理念：没有不好的学生，只有不会教的老师！)

II

考试内容：

随机事件的概率.等可能性事件的概率.互斥事件有一个发生的概率.相互独立事件同时发生

的概率.独立重复试验.

考试要求：

(1)了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义.

1.概率：随机事件A的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.

2.等可能事件的概率：如果一次试验中可能出现的结果有年n个，且所有结果出现的可能性都相等，那么,

每一个基本事件的概率都是比如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率团.

3.①互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫互斥事件.如果事件A、B互斥，那么事件A+B发生(即A、B中

有一个发生)的概率，等于事件A、B分别发生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B),推广:国.

②对立事件：两个事件必有一个发生的互斥事件叫对立事件.例如：从1〜52张扑克牌中任取一张抽到“纤

桃”与抽到“黑桃”互为互斥事件，因为其中一个不可能同时发生，但又不能保证其中一个必然发生，故不

是对立事件.而抽到“红色牌”与油到黑色牌“互为对立事件，因为其中一个必发生.

注意:i.对立事件的概率和等于1:0.

ii.互为对立的两个事件一定互斥，但互斥不一定是对立事件.

③相互独立事件：事件A(或B)是否发生对事件B(或A)发生的概率没有影响.这样的两个事件叫做相互独立事

件.如果两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积，即P(A・B)=P(A)-P(B).由此，

当两个事件同时发生的概率P(AB)等于这两个事件发生概率之和，这时我们也可称这两个事件为独立事

件.例如：从一副扑克牌(52张)中任抽一张设A:“抽到老K”；B:“抽到红牌”.A应与B互为独立事件［看

上去A与B有关系很有可能不是独立事件，但同又事件AB表示“既抽到老K对抽到红牌"即"抽到红桃老

K或方块老K”有例,因此有固

推广：若事件团相互独立，则团.

注意：iL般地，如果事件A与B相互独立，那么.与国与B,回与国也都相互独立.

ii.必然事件与任何事件都是相互独立的.

4iii.独立事件是对任意多个事件来讲，而互斥事件是对同一实验来讲的多个事件，且这多个事件不能同时

发生，故这些事件相互之间必然影响，因此互斥事件一定不是独立事件.

S④独立重复试验：若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖于其他各次试验的结果，则称这n

次试验是独立的.如果在一次试验中某事件发生的概率为P,那么在n次独立重兔试验中这个事件恰好发生

k次的概率：0.

6对任何两个事件都有。(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

概率与统计

考试内容：

抽样方法.总体分布的估计.总体期望值和方差的估计.

考试要求：

(1)了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样.

(2)会用样本频率分布估计总体分布.

(3)会用样本估计总体期望值和方差.

知识要点

一、随机变量.

1.隆机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足卜述条件：

①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止•个；③每次试验总

是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.

它就被称为一个随机试验.

2.离散型随机变量：如果对于随机变最可能取的值，可以按一定次序一一歹IJ出，这样的随机变鼠•叫做离散型

随机变量.若€是一个随机变量,a,b是常数.则团也是一个随机变量.一般地，若€是随机变量,但拮连续函数或

单调函数，则国也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.

设离散型随机变量€可能取的值为:0

€取每一马X2•••X，

个值团的

概率团,则

表称为随

机变量€

的概率分

布，简称

€的分布

列.

b

PPlPl•••Pi・・・

有性质①=1,2,•••；(2)P]+〃2+……=1.

注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：团即团可以取0〜5之

间的一切数，包括整数、小数、无理数.

3.⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这个事件恰好发生k

次的概率是:题其中因

于是得到随机变量，的概率分布如下：我们称这样的随机变量g服从二项分布，记作用〜B(n・p),其中

n,p为参数，并记因

⑵二项分布的判断与应用.

①二项分布，实际是对n次独立直复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复，且每次试验只有两

种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布.

②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说乂比较小，而每次抽取时乂只有两种试验结果,

此时可以把它看作独立重复试脸，利用一项分布求其分布列.

4.几何分123k

布：“团”表

示在第k次

独立重复

试验时，事

件第一次

发生，如果

把k次试验

时事件A

发生记为

0,事A不

发生记为

团，那么0.

根据相互

独立事件

的概率乘

法分式：相

于是得到

随机变量

€的概率

分布列.

3K

Pqqpq2P・・•q''p・・•

我们称&服从几何分布，并记团，其中团

5.⑴超几何分布：一批产品共有N件，其中有M（M<N）件次品，今抽取团件，则其中的次品数W是一离

散型随机变量，分布列为回.（分子是从M件次品中取k件，从N-M件正品中取n-k件的取法数，如果规定团

V国时瓦则k的范围可以写为k=0,1,…，n.）

⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由a件次品、b件正品组成，今抽取n件（lWnWa+b）,则次品数

g的分布列为胤

⑶超几何分布与二项分布的关系.

设一批产品由a件次品、b件正品组成，不放回抽取n件时，其中次品数自服从超几何分布.若放回式抽取，则

其中次品数回的分布列可如下求得：把回个产品编号，则抽取n次共有团个可能结果，等可能：团含团个结果，故

团，即团〜町我们先为k个次品选定位置，共回种选法；然后每个次品位置有a种选法，每个正品位置有b种

选法］可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，团，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽

样可近似看作放回抽样.

二、数学期望与方差.

1.期望的含X2*

义：一般地，

若离散型随

机变量1的

概率分布为

3K

PPlPl・・・Pi•••

网称偌=5〃什*2〃2+……为£的数学期望或平均数、均值.数学期望又简称期望.数学期望反映了离

散型随机变量取值的平均水平.

2.⑴随机变量团的数学期望:.

①当团时,团，即常数的数学期望就是这个常数本身.

②当历时，团，即随机变量€与常数之和的期望等于C的期望与这个常数的和.

⑵单点分布:自其分布列为:0.③当团时，0,01

⑶两点分布：团，其分布列为：（p+q=D即常数与

⑷二项分布:团其分布列为团〜因（P为发生团的概率）随机变量

⑸几何分布:由其分布列为团〜团.（P为发生国的概率）乘积的期

3.方差、标准差的定义：当已知随机变量,的分布列为团时，则称望等于这

自为€的方差.显然回，故团为&的根方差或标准差.随机变量&的方个常数与

差与标准差都反映了随机变量4取值的稳定与波动，集中与离散随机变量

的程度.回越小，稳定性越高，波动越小.期望的乘

4.方差的性质.积.

⑴随机变量〃=喈+〃的方差。。7）=。（，砥+切=。切久（a、b均为S

Pqp

常数）

⑵单点分布:回其分布列为回

0i

⑶两点分布:13其分布列为:（p+q=D

pqp

⑷二项分布:团

（5）几何分布:田

5.期望与方差的关系.

⑴如果团和团都存在，则团

⑵设€和团是互相独立的两个随机变量，贝胞

⑶期望与方差的转化:团（4）田（因为团为一常数）团.

三、正态分布.（基本不列入考试范围）

1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量"位于x轴上方，，落在任一区间团内的概率等于它与x轴.

直线团与直线团所围成的曲边梯形的面积

（如图阴影部分）的曲线叫&的密度曲线，以其作为

图像的函数团叫做《的密域函数，由于“回”

是必然事件，故密度曲线与X轴所夹部分面积等于1.

2.⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量&的概率密度为：团.建为常数，且加，称，服从参数为⑦的正态分

布，用回〜团表示.团的表达式可简记为氏它的密度曲线简称为正态曲线.

⑵正态分布的期望与方差：若同〜团则€的期望与方差分别为：0.

⑶正态曲线的性质.

①曲线在x轴上方，与x轴不相交.

②曲线关于直线4=〃对称.

③当团时曲线处于最高点，当X向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.

④当回〈团时，曲线上升；当团>（3时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向

X粕无限的靠近.

⑤当12—定时，曲线的形状由（3确定,（3越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；但越小，曲线越“瘦高”,

表示总体的分布越集中.

3.⑴标准正态分布：如果随机变量g的概率函数为团，则称自服从标准正态分布.即用〜国有瓦。求出，而P（a

<0<b）的计算则是区

注意：当标准正态分布的团的X取。时，有团当国的X取大于。的数时，有团.比如团则团必然小于0,如图.

⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若团〜0则€的分布函数通

常用团表示，且有团.

4.⑴"3。”原则.

假设检时是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从

正态分布因②确定一次试验中的取值13是否落入范围团.③做出判断：如果（3,接受统计假设.如果团，由于这是

小概率事件，就拒绝统计假设.

⑵“30”原则的应用：若随机变量自服从正态分布①则1落在（3内的概率为99.7%亦即落在团之外的概率为

0.3%,此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即自不服从正态分布）.

⑵“3酎原则的应用：若随机变最&服从正态分布12则€落在国内的概率为99.7%亦即落在国之外的概率为

0.3%,此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即《不服从正态分布）.

（2）"3。”原则的应用：若随机变量］服从正态分布则E落在（〃-3cr,〃+3b）内的概率为99.7%亦即

落在（〃-3b,〃+3b）之外的概率为0.3%,此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产益不合格（即

《不服从正态分布）.

第三步：例题精讲（必考题型、常考题型、典型题型）

（全国卷）19.（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效）

乒乓球比赛规则规定：一局比赛，双方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮

换.每次发球，胜方得1分，负方得。分。设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6,各

次发球的胜负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中，甲先发球。

（I）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；

（II）团表示开始第4次发球时乙的得分，求（3的期望。

（新课标卷）18.（本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干只玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，乳沟

当天卖不完，剩下的玫瑰花做垃圾处理。

（I）看花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：

枝，）的函数解析式。

（II）花点记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表:

♦.■■

后・拿餐；L-r0-•

U16-201

城f•t•.独.20I.JLJ131。j

以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。

（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，x表示当天的利润（单位：元），求x的分布列，数学期望及

方差；

若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝?

（天津卷）16（本小题满分13分）

现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择.为增加趣味性，约定：每个人

通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于

2的人去参加乙游戏.

（I）求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率：

（II）求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戒的人数的概率；

（n【）用X,Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.

（四川卷）17（本小题满分12分）

某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”

字样即为中奖，中奖概率为13.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料。

（I）求甲中奖且乙、丙都没有中奖的概率；

（II）求中奖人数&的分布列及数学期望E€.

（重庆卷）17（本小题满分13分，（I）小问5分，（II）小问8分）

在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起，若采用抽签的

方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1,2,……6）,求：

.（I）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；

（II）甲、乙两单位之间的演出单位个数4的分布列与期望。

（山东卷）20（本小题满分12分）

①某学校举行知识竟赛，第一轮选拔共设有口四个问题，规则如下：

②每位参加者计分器的初始分均为