大连交通大学《高等数学3下》2025-2026学年第一学期期末试卷（A卷）

站名：站名：年级专业：姓名：学号：凡年级专业、姓名、学号错写、漏写或字迹不清者，成绩按零分记。…………密………………封………………线…………第1页，共1页大连交通大学《高等数学3下》2025——2026学年第一学期期末试卷（A卷）注意事项:1.请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分100分，考试时间120分钟专业学号姓名题号一二三四五六七八总分统分人复查人得分一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母填在题后括号内。）

1.关于多元函数的连续性，下列说法正确的是（）

A.偏导数存在则函数必连续

B.函数连续则偏导数必存在

C.函数可微则必连续

D.连续函数的偏导数必连续

2.设函数f(x,y)=x^2+y^2，则f在点(1,1)处的全微分df为（）

A.2dx+2dy

B.dx+dy

C.2dx

D.2dy

3.计算二重积分∫∫DxdA，其中D是由y=x,y=0,x=1围成的区域，结果为（）

A.1/2

B.1/3

C.1/4

D.1/6

4.曲线积分∫C(xdx+ydy)，其中C是从(0,0)到(1,1)的直线y=x，值为（）

A.1

B.1/2

C.1/4

D.0

5.无穷级数∑{n=1}^∞(-1)^n/n的收敛性为（）

A.绝对收敛

B.条件收敛

C.发散

D.不确定

6.微分方程y’+2y=0的通解为（）

A.y=Ce^{-2x}

B.y=Ce^{2x}

C.y=Cx

D.y=C/x

7.设向量场F=(y,x)，则curlF为（）

A.(0,0,0)

B.(0,0,1)

C.(0,0,-1)

D.(1,1,0)

8.函数f(x,y)=x^2y在点(1,1)处的方向导数沿方向(1,1)为（）

A.√2

B.2√2

C.1

D.0

9.曲面z=x^2+y^2在点(1,1,2)处的切平面方程为（）

A.2x+2y-z=2

B.x+y-z=0

C.2x+2y+z=5

D.x+y+z=3

10.三重积分∫∫∫VdV，其中V是由x=0,y=0,z=0,x+y+z=1围成的区域，值为（）

A.1/6

B.1/3

C.1/2

D.1

11.幂级数∑{n=0}^∞x^n/n!的收敛半径为（）

A.0

B.1

C.∞

D.2

12.设函数f(x,y)=sin(xy)，则∂f/∂x在点(π/2,1)处的值为（）

A.0

B.1

C.-1

D.π/2

13.曲线积分∫C(ydx-xdy)，其中C是单位圆x^2+y^2=1逆时针方向，值为（）

A.0

B.2π

C.-2π

D.π

14.微分方程y’’-y=0的通解为（）

A.y=C1e^x+C2e^{-x}

B.y=C1x+C2

C.y=C1e^{2x}+C2e^{-2x}

D.y=C1sinx+C2cosx

15.函数f(x,y)=e^{x}cosy在点(0,0)处的Hessian矩阵为（）

A.[1,0;0,-1]

B.[0,1;1,0]

C.[1,1;1,1]

D.[0,0;0,0]

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，请将答案直接填在题中横线上，结果保留合理有效数字。）

1.函数f(x,y)=x^2+y^2在点(1,2)处的梯度为________。

2.二重积分∫∫D(x+y)dA，其中D是由x=0,y=0,x=1,y=1围成的正方形，结果为_________。

3.曲线积分∫C(x^2dx+y^2dy)，其中C是从(0,0)到(1,1)的抛物线y=x^2，值为_________。

4.无穷级数∑{n=1}^∞1/n^2的和为_________（已知π^2/6）。

5.微分方程y’=y的通解为y=__________。

6.向量场F=(x,y,z)的散度divF为__________。

7.曲面z=xy在点(1,1,1)处的法向量为__________。

8.三重积分∫∫∫VzdV，其中V是由z=0,z=1,x^2+y^2=1围成的圆柱体，结果为_________。

三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分，需写出详细解题步骤，步骤缺失酌情扣分。）

1.计算二重积分∫∫_De^{x+y}dA，其中D是由x=0,x=1,y=0,y=1围成的正方形区域。

2.求微分方程y’’+4y=sinx的通解。

3.计算曲线积分∫_C(ydx+zdy+xdz)，其中C是螺旋线x=cost,y=sint,z=t从t=0到t=2π。

四、证明题（本大题共1小题，10分，需结合课程理论进行逻辑推导，证明过程需清晰完整。）

证明格林公式：设D是由正向简单闭曲线C围成的平面区域，函数P(x,y)和Q(x,y)在D及C上具有一阶连续偏导数，则∫_C(Pdx+Qdy)=∬_D(∂Q/∂x-∂P/∂y)dA。

五、综合应用题（本大题共1小题，20分，需结合实际场景分析，计算过程需详细，结果需合理。）

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