东北师范大学《高等数学3上》2025-–2026学年第一学期期末试卷（A卷）

站名：站名：年级专业：姓名：学号：凡年级专业、姓名、学号错写、漏写或字迹不清者，成绩按零分记。…………密………………封………………线…………第1页，共1页东北师范大学《高等数学3上》2025—–2026学年第一学期期末试卷（A卷）注意事项:1.请考生在下列横线上填写姓名、学号和年级专业。2.请仔细阅读各种题目的回答要求，在规定的位置填写答案。3.不要在试卷上乱写乱画，不要在装订线内填写无关的内容。4.满分100分，考试时间120分钟专业学号姓名题号一二三四五六七八总分统分人复查人得分一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分，在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将正确选项的字母填在题后括号内。）

1.设函数f(x,y)=x^2+y^2，则其在点(1,2)处的偏导数∂f/∂x为（）

A.2x

B.2y

C.2

D.4

2.二重积分∬DdA，其中D是由x=0,y=0,x+y=1围成的区域，其值为（）

A.1/2

B.1

C.2

D.1/4

3.幂级数∑{n=1}^∞(x^n)/n的收敛半径为（）

A.0

B.1

C.∞

D.2

4.函数f(x,y)=e^{xy}的全微分df在点(0,0)处为（）

A.dx+dy

B.0

C.xdx+ydy

D.ydx+xdy

5.曲线积分∫C(xdx+ydy)，其中C是单位圆x^2+y^2=1逆时针方向，其值为（）

A.0

B.π

C.2π

D.π/2

6.设向量场F=(y,x,z)，则旋度curlF为（）

A.(0,0,0)

B.(1,-1,0)

C.(0,0,1)

D.(1,1,0)

7.函数f(x,y)=x^3-3xy^2的极值点为（）

A.(0,0)

B.(1,1)

C.(1,-1)

D.(0,1)

8.三重积分∭VdV，其中V是球体x^2+y^2+z^2≤1，其值为（）

A.4π/3

B.π/3

C.2π/3

D.π

9.级数∑{n=1}^∞(1/n^2)的和为（）

A.π^2/6

B.π^2/12

C.π/6

D.1

10.设曲面S为z=x^2+y^2，0≤z≤1，则其面积为（）

A.π/2

B.π

C.2π

D.π/4

11.函数f(x,y)=sin(xy)在点(π/2,1)处的方向导数沿方向(1,1)为（）

A.0

B.√2

C.1

D.-1

12.曲线积分∫C(ydx-xdy)，其中C是椭圆x^2/4+y^2/9=1逆时针方向，其值为（）

A.-6π

B.6π

C.0

D.3π

13.设函数f(x,y)=ln(x^2+y^2)，则其在点(1,0)处的梯度为（）

A.(2,0)

B.(0,2)

C.(1,0)

D.(0,1)

14.幂级数∑{n=0}^∞(n!x^n)的收敛域为（）

A.(-∞,∞)

B.{0}

C.(-1,1)

D.[0,1]

15.设区域D为x^2+y^2≤4，则∬D(x^2+y^2)dA的值为（）

A.8π

B.16π

C.32π

D.4π

二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，请将答案直接填在题中横线上，结果保留合理有效数字。）

1.函数f(x,y)=x^2y+y^3在点(1,2)处的全微分df为________。

2.二重积分∬D(x+y)dA，其中D由y=x,y=0,x=1围成，其值为_________。

3.曲线积分∫C(x^2dx+y^2dy)，其中C是直线y=x从(0,0)到(1,1)，其值为_________。

4.函数f(x,y)=e^{x}cos(y)的极值为__________。

5.三重积分∭VzdV，其中V是柱体x^2+y^2≤1,0≤z≤2，其值为_________。

6.幂级数∑{n=1}^∞(x^{2n})/n的收敛半径为_________。

7.向量场F=(x,y,z)在点(1,2,3)处的散度divF为__________。

8.曲面积分∬S(xdS)，其中S是球面x^2+y^2+z^2=1的上半球面，其值为_________。

三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

1.计算二重积分∬_D(x^2+y^2)dA，其中D是由y=x^2,y=0,x=1围成的区域。

（1）画出积分区域D；（2分）

（2）设置积分限并计算积分值；（6分）

2.求函数f(x,y)=x^3+y^3-3x-12y+20的极值点，并判断其性质。

（1）求偏导数并解方程组；（4分）

（2）计算二阶偏导数并判断极值性质；（4分）

3.计算曲线积分∫_C(ydx+zdy+xdz)，其中C是螺旋线x=cost,y=sint,z=t从t=0到t=2π。

（1）参数化曲线；（2分）

（2）设置积分限并计算积分值；（6分）

四、分析题（本大题共1小题，10分）

分析格林公式的条件及其应用，举例说明其在计算曲线积分中的作用。

（1）阐述格林公式的数学表达式和适用条件；（4分）

（2）举例说明如何应用格林公式简化曲线积分计算，需结合具体例子；（6分）

五、综合应用题（本大题共1小题，20分）

某物体占据空间区域V，其密度函数为ρ(x,y,z)=x^2+y^2+z2。区域