变化率问题课件-高二下学期数学人教A版选择性

第五章

一元函数的导数及其应用5.1.1变化率问题学习目标学科素养1.通过实例分析，体会由平均速度过渡到瞬时速度的过程，理解平均速度、瞬时速度的区别和联系.(重点)2.掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题.3.理解割线的斜率与切线的斜率之间的关系,会求其斜率.(重点)4.体会极限思想.(难点)数学抽象逻辑推理数学运算人教A版2019选择性必修第二册高中数学中导数的江湖地位引入新知

为描述现实世界中的运动、变化规律，在数学中引入了函数；在对函数的深入研究中，数学家创立了微积分(微分学和积分学).17世纪，牛顿和莱布尼兹在前人探索与研究的基础上，凭着敏锐的直觉和丰富的想象力，各自独立地创立了微积分.19世纪下半叶，法国数学家柯西创立了极限理论，使得微积分从此建立在一个严密的分析基础之上.本章介绍微积分的创立主要与四类问题的处理相关:已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度；求曲线的切线方程；求已知函数的最大值与最小值;求长度、面积、体积和重心等.引入新知探究新知

导数是微积分的核心概念之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；导数定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方法.

因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、速度、加速度等实际问题的基本工具.

在本章，我们将学习导数的概念和导数的基本运算，体会导数和极限的思想，感受导数在研究函数和解决实际问题中的作用，体会导数的意义.探究新知问题1.高台跳水运动员的速度

在一次高台跳水运动中，运动员在运动过程中的重心相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在函数关系h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11.思考1：你能否根据经验描述运动员从起跳到入水的过程中运动的快慢程度？析：在上升阶段越来越慢,在下降阶段越来越快.

可以把整个运动时间段分成许多小段，用运动员在每段时间内的平均速度近似地描述他的运动状态.

探究新知hOt••••h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11.探究新知

即用平均速度不能准确地描述运动员在某一时间段里的运动状态.瞬时速度运动员在这段时间里并不处于静止状态.h(t)=﹣4.9t²＋4.8t＋11.hOt••••探究新知思考4：瞬时速度与平均速度有什么联系与区别？

你能否利用这种关系求运动员在t0时的瞬时速度？

hOt••••瞬时速度是某一时刻的速度；平均速度是某一时间段内的速度.

瞬时速度我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度（instantaneousvelocity）探究新知

思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？探究新知不断缩短时间间隔，计算其平均速度得到如下表格

－4.951

－4.9951

－4.99951

－4.999951

－4.9999951……0.01－5.0490.001－5.00490.0001－5.000490.00001－5.0000490.000001－5.0000049……探究新知思考5：你能否利用上述关系求运动员在t=1s时的瞬时速度？v(1)=﹣5m/s我们发现，当△t

无限趋近于0，即无论t从小于1的一边，还是从大于1的一边无限趋近于1时，平均速度都无限趋近于﹣5.

探究新知运动员在t=1s时的瞬时速度：思考6：求运动员在t=2s时的瞬时速度？思考7：求运动员在t=t0s时的瞬时速度？探究新知瞬时速度平均速度本质：瞬时速度是平均速度的极限.平均速度：瞬时速度：无限逼近的极限思想hOt••••探究新知解:(1)教材P61探究新知解:(2)教材P61探究新知3．一个小球从5m的高处自由下落，其位移y（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为y(t)＝－4.9t2．求t=1s时小球的瞬时速度．解:∴

t=1s时小球的瞬时速度为－9.8m/s．教材P62探究新知1．某质点沿直线运动，位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足关系式y＝5t2＋6．求：（1）2≤t≤3这段时间的平均速度；（2）t＝2s时的瞬时速度．补充练习

探究新知我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切.思考1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？P0不一定！xyOf(x)＝x2112234P0问题2：抛物线切线的斜率探究新知思考2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？不一定！f(x)＝sinxxyO－11由此，我们不能再像研究直线与圆的位置关系时那样，通过交点的个数来定义相切了.探究新知思考3：对于一般曲线C，如何定义它的切线呢？下面我们以抛物线

f(x)＝x2

为例.对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线呢？在点P0(1,1)附近任取一点P(1+△x,f(1+△x))当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置P0T，故把直线P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线.探究新知思考4：如何求抛物线

f(x)=x2在点P0(1,1)处的切线P0T的斜率k0？无限逼近本质：切线斜率是割线斜率的极限切线斜率割线斜率无限逼近取极限切线位置割线位置例.试计算曲线y=x2+2x在点(2,8)处的切线斜率，并求该切线方程.探究新知探究新知解:教材P64探究新知切线斜率：割线斜率：本质：切线斜率是割线斜率的极限.yOx••••探究新知补充练习

1．求抛物线

f(x)＝－2x2＋1在点(1，－1)处的切线方程．2.求曲线y＝