函数的极值最值课件-高三数学二轮复习

第5讲函数的极值、最值专题六

不等式、函数与导数

√探究真题明确方向

解析

√√√对于A，因为f(x)是定义在R上的奇函数，则f(0)=0，故A正确；对于B，当x<0时，-x>0，则f(x)=-f(-x)=-{[(-x)2-3]e-x+2}=-(x2-3)e-x-2，故B正确；对于C，f(-1)=-(1-3)e-2=2(e-1)>2，

故C错误；对于D，当x<0时，f(x)=(3-x2)e-x-2，则f'(x)=-(3-x2)e-x-2xe-x=(x2-2x-3)e-x，令f'(x)=0，解得x=-1或x=3(舍去)，当x∈(-∞，-1)时，f'(x)>0，此时f(x)单调递增，当x∈(-1，0)时，f'(x)<0，此时f(x)单调递减，则x=-1是f(x)的极大值点，故D正确.解析

√√√

解析4.(2025·全国Ⅱ卷，T13)若x=2是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-a)的极值点，则f(0)=

.

-4

解析5.(2024·新课标Ⅱ卷，T16)已知函数f(x)=ex-ax-a3.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；当a=1时，则f(x)=ex-x-1，f'(x)=ex-1，可得f(1)=e-2，f'(1)=e-1，即切点坐标为(1，e-2)，切线斜率k=e-1，所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1)，即(e-1)x-y-1=0.解(2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围.方法一

因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，若a≤0，则f'(x)>0对任意x∈R恒成立，可知f(x)在R上单调递增，无极值，不符合题意；若a>0，令f'(x)>0，解得x>ln

a，令f'(x)<0，解得x<ln

a，可知f(x)在(-∞，ln

a)上单调递减，在(ln

a，+∞)上单调递增，解

解方法二

因为f(x)的定义域为R，且f'(x)=ex-a，若f(x)有极小值，则f'(x)=ex-a有零点，令f'(x)=ex-a=0，可得ex=a，可知y=ex与y=a有交点，则a>0，令f'(x)>0，解得x>ln

a；令f'(x)<0，解得x<ln

a，可知f(x)在(-∞，ln

a)上单调递减，在(ln

a，+∞)上单调递增，解则f(x)有极小值f(ln

a)=a-aln

a-a3，无极大值，符合题意，由题意可得，f(ln

a)=a-aln

a-a3<0，即a2+ln

a-1>0，令g(a)=a2+ln

a-1，a>0，因为y=a2，y=ln

a-1在(0，+∞)上均单调递增，所以g(a)在(0，+∞)上单调递增，且g(1)=0，不等式a2+ln

a-1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1，所以a的取值范围为(1，+∞).解命题热度：本讲是历年高考命题必考的内容，属于中高档题目，具有一定的难度，三种题型都有所考查.分值约为11~26分.考查方向：考查重点：一是函数极值，主要是求函数的极值，由极值求参数的值、范围等，二是函数的最值以及最值的应用.考点二利用导数研究函数的最值考点一利用导数研究函数的极值内容索引专题突破练考点三已知函数极值、最值求参数考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f'(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点.(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点.

(2025·沧州模拟)已知函数f(x)=-|x|+ln(|x|+a)，曲线y=f(x)在点(3，f(3))处的切线与直线2x-y=0垂直.(1)求实数a的值；例1

解(2)求函数f(x)的极值点和极值.

解(1)不能忽略函数的定义域.(2)f'(x0)=0是可导函数f(x)在x=x0处取得极值的必要不充分条件，即f'(x)的变号零点才是f(x)的极值点，所以判断f(x)的极值点时，除了找f'(x)=0的实数根x0外，还需判断f(x)在x0左侧和右侧的单调性.(3)函数的极小值不一定比极大值小.易错提醒跟踪演练1

(1)(2025·东莞模拟)已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则A.f(x)有2个极值点B.f(x)在x=1处取得极小值C.f(x)有极大值，没有极小值D.f(x)在(-∞，1)上单调递减√由导函数f'(x)的图象可知，当x<3时，f'(x)≥0，当且仅当x=1时，f'(x)=0；当x>3时，f'(x)<0，所以函数f(x)在(-∞，3)上单调递增，在(3，+∞)上单调递减，所以函数f(x)只有x=3一个极大值点，无极小值点，所以f(x)有极大值，没有极小值.解析(2)函数f(x)=ex(sinx-cosx)在区间(0，10π)上的极大值点的个数为A.3 B.4 C.5

D.6√f'(x)=ex(sin

x-cos

x)+ex(cos

x+sin

x)=2exsin

x，因为ex>0，故由正弦函数的性质知，当0<x<π时，sin

x>0，f'(x)>0，函数f(x)单调递增，当π<x<2π时，sin

x<0，f'(x)<0，函数f(x)单调递减，则x=π为函数f(x)的一个极大值点，所以当0<x<2π时，函数f(x)有1个极大值点，由正弦函数的周期性可知，在(0，10π)上，函数f(x)有5个极大值点.解析返回考点二利用导数研究函数的最值1.求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.2.若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值.

例2

解(2)求f(x)在[1，2]上的最小值g(a).

解

解(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值就是最值，要通过比较大小才能下结论.(2)求函数无穷区间(或开区间)上的最值，不仅要研究其极值，还需研究单调性，结合单调性和极值情况，画出函数图象，借助图象得到函数的最值.易错提醒跟踪演练2

(1)(2025·固原模拟)函数f(x)=sinx-(x+2)cosx-1在区间[0，2π]上的最小值、最大值分别为A.-2π-3，π+1 B.-2π-3，-3C.-3，π+1 D.-3，2√f'(x)=cos

x-cos

x+(x+2)sin

x=(x+2)sin

x，所以在区间[0，π)上，f'(x)≥0，即f(x)单调递增；在区间(π，2π]上，f'(x)≤0，即f(x)单调递减，又f(0)=-3，f(2π)=-2π-3，f(π)=π+1，所以f(x)在区间[0，2π]上的最小值为-2π-3，最大值为π+1.解析

√

解析返回考点三已知函数极值、最值求参数

例3√

解析

√

解析(1)已知函数的极值点(极值)求参数时，要验证极值点(极值).(2)方程、不等式恒成立、有解问题都可以用分离参数法转化为求函数的最值.分离参数时，易忽视等式或不等式两边符号变化以及除数不能等于0.易错提醒跟踪演练3

(1)(2025·苏州模拟)已知函数f(x)=x3-3x2+ax+2，若f(x)在(-1，1)内有唯一的极值点且为极大值点，则实数a的取值范围为

.

(-9，3)

解析(2)(2025·沈阳模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=-1处有极值8，则f(1)=

.

-4

解析返回专题突破练对一对答案123456789101112题号12345678答案BBBCCBBDACD题号910答案-3-答案12345678910111211.

答案12345678910111211.当0<x<2时，g'(x)<0，g(x)单调递减；当x>2时，g'(x)>0，g(x)单调递增，又g(1)=0，g(2)=1-2ln

2<0，g(e2)=e2-5>0，所以x=1是g(x)的一个变号零点，且g(x)在(2，e2)上有一个变号零点，即f'(x)有2个变号零点，所以f(x)有2个极值点.答案12345678910111212.

答案12345678910111212.

√123456789101112答案

解析123456782.已知函数f(x)的导函数为f'(x)，则“f'(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件√9101112答案若函数f(x)在x=x0处有极值，则一定有f'(x0)=0；反之，若f'(x0)=0，函数f(x)在x=x0处不一定有极值，如f(x)=x3在x=0处满足f'(0)=0，但f(x)在x=0处不取极值，所以“f'(x0)=0”是“函数

f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.解析

√123456789101112答案

解析12345678

√9101112答案123456789101112答案

解析5.已知函数f(x)及其导函数f'(x)均为R上的连续函数，且函数y=xf'(x)的图象如图所示，则A.-3是f(x)的极小值点B.0是f(x)的极大值点C.f(-3)是f(x)的最大值D.f(-3)=f(0)√123456789101112答案123456789101112答案根据题意，当x<-3时，xf'(x)<0，则f'(x)>0，所以f(x)在(-∞，-3)上单调递增；当-3<x<0时，xf'(x)>0，则f'(x)<0，所以f(x)在(-3，0)上单调递减；当x>0时，xf'(x)<0，则f'(x)<0，所以f(x)在(0，+∞)上单调递减，且f'(-3)=0，所以-3是f(x)的极大值点，故A错误；由上分析，0不是f(x)的极值点，故B错误；因为f(x)为R上的连续函数，所以f(x)在(-∞，-3)上单调递增，在(-3，+∞)上单调递减，所以f(-3)是f(x)的最大值，f(-3)>f(0)，故C正确，D错误.解析123456789101112答案

√123456789101112答案

解析123456789101112答案

√√123456789101112答案

解析123456789101112答案

√√√123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案

解析123456789101112答案三、填空题9.(2025·哈尔滨模拟)已知x=1是函数f(x)=(ax2+3x-3)ex的极值点，则函数f(