湖南长沙市第一中学2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

高三数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无

效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的)

1.已知集合,B={x|y=In(1-x)},则A∩B=

A.[-2,3]B.(-2,1)

C.(-2,1)D.[1,3]

2.已知复数,则|=

A.√2B

c.√3D

3.如图所示，某单峰频率分布直方图在右边“拖尾”,若由频率分布直方图估计样本数据的平均

数为a,中位数为b,众数为c,则

A.a=b=cB.a<b<c

C.b<c<aD.c<b<a

4.一条河的宽度为d,一船从A处出发到河的正对岸B处，船速的大小为|V₁,水速的大小为

|v₂|,则船行到B处时，行驶速度的大小为

AIv₁I²+Iv₂I²

c.√Iv₁I²+Iv₂I²

5.若(a+2x)(1+x)⁴的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则实数a=

A.1B.2C.3D.4

6.已知函数若对任意的X₁<X₂都有

f(X₁)-f(X₂)<2x₁-2X₂,则实数a的取值范围是

AB

C.D.[1,2]

7.双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,以右焦点F₂为焦点的抛物线

y²=2px(p>0)与双曲线交于第一象限的点P,若|PF₁I+|PF₂I=3|F₁F₂I,则双曲线的离

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A.2B.5

C.D.

8.如图，已知点E是ABCD的边AB的中点，Fn(n∈N*)为边BC上的一列点，连接AFn交BD于

Gm点Gn(n∈N)满足G₂D=a₂+1·GnA-2(2an+3)·GE,其中数列{an}是首项为1的正项

数列，Sn是数列{an}的前n项和，则下列结论不正确的是

A.a3=13

B.数列{a+3}是等比数列

C.a₂=2²-3

D.Sn=2+2-3n-4

二、选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，至少有两项符合题

目要求，若全部选对得6分，部分选对得部分分，选错或不选得0分)

9.设α,β为两个不同的平面，m,n为两条不同的直线，且α∩β=m,则下列说法正确的是

A.若n//α或n//β,则m//n

B.若m//n,则n//α或n//β

C.若nlα或n⊥β,则mln

D.若mLn则n⊥α或n⊥β

10.已知抛物线C:y²=2px(p)0)的焦点为F,P为C上的一动点，且|PF|的最小值为1.过点F

作直线1₁,交抛物线C于A、B两点(点A在第一象限),1为C的准线，AMI,垂足为M,0为

坐标原点，则下列说法正确的是

A.|AM|=|AF|

B.存在直线1₁,使得OA·OB=-3

C.若直线1的斜率为√3,则△OAB的面积为

D.过点B作BN⊥1于N,则以MN为直径的圆恒过定点(1,0)和(-3,0)

11.已知△ABC的三边长是三个连续的正整数.则下列判断正确的是

A.若△ABC是直角三角形，则△ABC的内切圆面积为π

B.若△ABC是钝角三角形，则△ABC的外接圆半径必为

C.若△ABC的一个内角是另一个内角的两倍，则△ABC的周长必为15

D.若△ABC的周长为1,则

三、填空题(本大题共3个小题，每小题5分，共15分)

12.已知一圆台的上、下底面圆的半径分别为r₁,r₂,侧面展开图的扇环面积为9π,若该圆台

存在内切球，则r₁+r₂=--------.

13.已知),且,则tanβ的最大值为

14.已知函数f(x)=x+e,g(x)=x+Inx,若f(x₁)=g(x₂)=t(t)0),则x₁+xX₂-Int的取

值范围为

四、解答题(本大题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(本小题满分13分)

已知数列{an}的前n项和为Sna₁=1,Sn=n²,数列{b。}满足b₁=1,bn+1=2bn+1

(1)求数列{an},{bn}的通项公式；

(2)若数列{Cn}满足求数列{cn}的前n项和Tn.

16.(本小题满分15分)

某游戏设计者设计了一款游戏：玩家在一局游戏内，每点击一次屏幕可以获得一张卡片，

共有“A”和“B”两种卡片.每位玩家的初始分数为0,每获得一张“A”加1分，每获

得一张“B”减1分.已知某位玩家在一局游戏内共点击屏幕i次，设该玩家获得“A”

的次数为Xi,最终分数为Yi.

(1)若玩家每次点击屏幕时，获得“A”和“B”的概率均为,求X₃的分布列与数学期望，并直

接写出E(Xi)的值；

(2)若该游戏系统通过一个计数器来控制玩家获得“A”和“B”的概率.计数器会记录玩家已经

点击屏幕的次数n(初始值为0),若n为偶数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“A”和“B”

的概率均为,,若n为奇数，则玩家下一次点击屏幕时，获得“A”的概率为,,获得“B”

的概率为.求D(Y).

附：若随机变量X₁和X₂的取值是相互独立的，则D(X₁+X₂)=D(X₁)+D(X₂).

17.(本小题满分15分)

已知半圆的圆心为0,直径AB=2,C为AB的中点，将扇形BOC绕着OC翻折使B到达

B'的位置，如图所示，扇形BOC在翻折过程中形成的几何体B'BOC的体积为.点D,

E分别在A,BC上且不与端点重合，AD=CE.

(1)求证：OA⊥B'E;

(2)求平面OAB'与平面ODE夹角的余弦值的最大值.

18.(本小题满分17分)

已知椭圆的左、右顶点分别为A₁A₂,上、下顶点分别为B₁、B₂0为坐

标原点，记四边形A₁B₁A₂B₂的内切圆为C,P为I上任意一点，过P作圆C的两条切

线分别交椭圆I于M,N两点.

(1)求圆C的标准方程；

(2)求证：直线MN过定点；

(3)求|MPI+|NP|的最