哈三中2026年高三学年第二次模拟考试 数学+答案

哈三中2026年高三学年第二次模拟考试

数学

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写

在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定

的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，用黑色碳

素笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I卷(选择题，共58分)

一、选择题(共58分)

(一)单项选择题(共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的)

1.已知集合A={x|x²-x-6≤0},B={x∈N|x≥1},则A∩B=

A.{x∈Z|x≥-2}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4,5,6}

2.已知复数,则z的虚部为

A.B.D.

3.方程·表示焦点在x轴上的椭圆，则实数m的取值范围为

A.B.

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4.若函则f(f(2))=

A.-3B.2C.3D.4

5.已知；,α∈(0,π),,则sina-cosa=

B.D.

6.已知数列{a,}是等比数列，若则

A.13B.C.7D.

7.已知数据x₁,x₂,…,x₁₀的平均数x=3,方差为s².设y,=2x,-1,(i=1,2…10),数

据y₁,y₂…,yY1。的方差为s2,数据x₁,x₂…,x10,yY1,y₂…y10的方差为s³²,下列说法错

误的是

A.B.

C.s²=2s²+1D.

8.四面体ABCD的各顶点均在同一个球面上，且AD=CD=AB=CB=√3,当四面

体ABCD的体积最大时，该球的表面积为

A.5πB.6πD.8π

(二)多项选择题(共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，

全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)

9.若a,b∈R,则a>b成立的充分不必要条件可以是

A.a>|bB.a²>b²C.log₂a>log₂bD.2“>2

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10.下列叙述正确的是

A.已知幂函数f(x)=(m²-m-1)x”是奇函数，则实数m=-1

B.先将曲线y=sin2x向右平移·个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来

的,所得曲线的解析式为

C.若关于x的不等式kx²+2kx+1>0有解，则实数k的取值范围为(-1,0)

D.函数f(x)=Inx+2x-4在区间(1,2)内有零点

11.如图，记△ABC的三个内角分别为A,B,C,其对边分别为a,b,c,△ABC的面

积为S.点P为△ABC内一点，满足∠PAB=∠PBC=∠PCA=θ,则

A.当AB=AC时，PB²=PA·PC

B.当AB=AC且PC=√2PB时，

C.当时，a²+b²+c²=4√3S

D.当时，

第II卷(非选择题，共92分)

二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上)

12.若向量a,b满足|a|=√2,向量5在向量a上的投影向量为,则a.(b-2ā)=

13.已知圆C经过点A(2,5),且与直线4x-3y+6=0相切于点B(3,6),则圆C的标

准方程为

14.若直线y=kx+b是曲线y=e-¹和曲线y=1n(x+1)的公切线，则实数k=_

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三、解答题(本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

15.(13分)

在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为梯形，AD//BC,AB=AD=DC=2,

BC=4,△PAB为等边三角形，侧棱PC=4.

(1)求证：平面PAB⊥底面ABCD;

(2)求平面PAB与平面PCD夹角的余弦值.

16.(15分)

已知函数f(x)=(m+1)lnx+mx²,(m∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)在定义域内单调递减，并且对任意正数x,x₂都有

|f(x₁)-f(x₂)|≥4|x₁-x₂|,求实数m的取值范围.

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17.(15分)

在统计调查中，问卷的设计是一门很大的学问.对一些敏感性问题，更要精心设计问

卷及调查方法，设法消除被调查者的顾虑，使他们能够如实回答问题，否则，被调

查者往往会拒绝回答，或不提供真实情况.某地区的公共卫生部门为了调查本地区中

学生的吸烟情况，对随机抽出的80名初中生和120名高中生进行了调查.调查者设计

了一个随机化装置，这是一个装有大小、形状和质量完全一样的10个白球和20个

黑球的袋子.每个被调查者随机从袋中摸取1个球(摸出的球再放回袋中),摸到白球

的学生若吸烟，则写下①,若不吸烟，则写下②;摸到黑球的学生若吸烟，则写下

②,若不吸烟，则写下①.由于问题的答案只有①和②,而且摸到的是白球还是黑球

也是别人不知道的，因此被调查者可以毫无顾虑地给出符合实际情况的答案.设事件

A=“被调查者吸烟”,B=‘被调查者写下①”.

(1)为了进一步了解学生的吸烟情况，从被调查的初中生和高中生中用比例分配的分

层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取3名学生进行问

卷调查，记抽取的3名学生中初中生的人数为X,求X的分布列和数学期望；

(2)用频率估计概率，若200名学生中有130人写下①,试估计P(A)的值；

(3)若0<P(4)<1,求P(A|B)+P(AB)的最小值并求出此时P(A4)的值.

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18.(17分)

已知数列{a,}满足q=2,a+1=a+2(n+1),n∈N*,等比数列{b}的前n项和为Sn,

且满足b₂=a₂-2,

(1)求数列{a}和{b}的通项公式；

(2)设,证明：

(3)设,求数列{[d,]}的前n项和T,(其中[x]表示不超过x的最大

整数，如[-3.5]=-4,[2.1]=2)

19.(17分)

已知双曲线C:(a>0,b>0)的离心率为2,焦距为4.

(1)求双曲线C的标准方程；

(2)已知P为双曲线C右支上位于x轴上方的一点，直线1交X轴于点N.

(i)设双曲线C的左、右顶点分别为A₁,A₂,直线PA₁与直线PA₂分别交直线1于

D,E两点，若D|E|=3,求P点坐标；

(ii)设双曲线C的右焦点为F,点P关于x轴的对称点为点Q,直线QN和双曲

线C的右支交于点M,当直线PF的倾斜角时，求△PMN面积

的取值范围.

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哈三中2026年高三学年第二次模拟考试

数学答案

一、选择题

1-5.CABDB6-8.BCA

9.AC10.AD11.ACD

二、填空题

13.(x+1)²+(y-9)²=2514.1或·

三、解答题

15.(1)

y

过A作AH⊥BC于H,易知BH=1

△PAC中AP²+AC²=PC²→AC⊥AP(2分)

(4分)

又∵ACc底面ABCD,∴平面PAB⊥底面ABCD(6分)

1

(2)以A为坐标原点，AB,AC方向为x,y轴正方向

垂直于面ABCD方向为z轴正方向，建立如图所示坐标系

A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2√3,0),D(-1,√3,0),P(1,0,√3)(7分)

平面PAB的法向量n=(0,1,0),平面PCD的法向量m=(√3,-1,-3)(11分)

∴平面PAB与平面PCD夹角的余弦值(13分)

16.(1),(x>0)(1分)

①当m≥0时，f(x)在(0,+∞)上递增；

②当-1<m<0时，f(x)在上递增，f(x)在内递减；

③当m≤-1时，f(x)在(0,+o)上递减(7分)

(2)因为f(x)在定义域内单调递减，所以m≤-1.

不妨设x₁≥x₂,那么有f(x₁)≤f(x₂),

那么不等式|f(x₁)-f(x₂)≥4|x-x₂|等价于f(x₂)-f(x₁)≥4(x₁-x₂)

等价于f(x₂)+4x₂≥f(x₁)+4x

则y=f(x)+4x即y=(m+1)lnx+mx²+4x在(0,+o)上递减，(11分)

对任意正数x恒成立，

那么有对Vx>0恒成立，则m≤-2,

所以实数m的取值范围为[-∞,-2](15分)

2

17.(1)抽取的10名学生中有4名初中生，6名高中生(1分)

X的可能取值为0,1,2,3

∴X的分布列为

X0123

P

(5分)

(6分)

(2)设事件C=“被调查者摸到白球”

(8分)

当时，(10分)

(13分)

当时，的最小值为(15分)

18.(1)当n≥2时，a-aₙ-1=2n

aₙ=2n+2(n-1)+…4+2=n(n+1)

当n=1时，q=2满足上式，∴aₙ=n(n+1)(3分)

3

(5分)

(8分)

(11分)

(12分)

先证2”>2n-1

法一：当n=1时，成立

当n≥2时，

要证,只需证立

∴2">2n-1

法二：当n=1时，成立

当n≥2时，设f(n)=2”-2