2026届湖南天壹名校联盟高三下学期3月质检数学试卷+答案

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2026届高三3月质量检测●数学

参考答案、提示及评分细则

1.【答案】C

【解析】由题意可得A＝{2,3,4},B故∁RB,故选C．

2.【答案】B

【解析】由题意可得z2=(2-i)2=4-4i＋i2=3-4i,于是z2+1=4-4i=242+(-4)=42,故选B．

3.【答案】A

【解析】对于甲,由lnx＞0得x∈(1,+∞),对于乙,由lnx≥0得x∈[1,+∞),可知甲是乙的充分不必要条

件,故选A．

4.【答案】D

【解析】由题意可得x(a.b),即(x(a.b)＝(x(x+2)=0,解得x或-2,故选D．

5.【答案】B

【解析】因为BM＞AM,所以点M在y轴左侧,如图,作MN⊥x轴,垂足为

N．由tan∠BAM,得sin∠BAM,所以MN＝AMsin∠BAM=8,即

yM=8,则ANBN所以AB=

2a=18,即a=9,则xM=-9+6=-3,故选B．

6.【答案】C

１１４

【解析】先安排队头有A３种排法,再安排队尾有A２种排法,然后安排4名女同学有A４种排法,最后在4名女

１１１４１

同学中安排剩下男同学有A３种排法,根据分步乘法计数原理可知,不同的排法种数为A３A２A４A３=432,故

选C．

7.【答案】D

【解析】由题意可得tan解得tanθ=-3,显然sin2θ=2sinθcos

cos于是sinsin2θ+

cos,故选D．

8.【答案】A

【解析】注意到x∈[n-1,n)时,f(x)≤0,由周期性可知在定义域上f(x)≤0,而当x∈[n-1,n)时,若

n≥2,则f在[n-1,n)上单调递增,注意到f(n-1)＝－(n-1),可知f(x)在

[n-1,n)上的值域为[－(n-1),0),于是当k∈[-1,0)时,y＝kx与y＝f(x)在[n-1,n)上有交点,故在

(0,+∞)上必有无穷个交点,符合要求．当k<-1时,x＞0时有kx＜f(x),x<0时kx＞0>f(x),故交点

个数有限．当k=0时,注意到f(－n)＝f(－n+1)=…=f(0)=0,可知f(x)有无穷个零点,符合要求．当

【高三数学试题参考答案第1页(共5页)】

k＞0时,注意到x∈[0,1)时f＝x＞-1,故x时kx<-1<f故在(-∞,0)上的交点

个数有限,而x＞0时kx＞0>f(x),可得交点个数有限．综上,由题意知k∈[-1,0],故选A．

9.【答案】BC

【解析】对于A,f(x)的最小正周期T=π,可得A错误;对于B选项,显然f(x)在区间上有定义,显然其

在连续定义域上单调递增,故B正确;对于C,f＝tan＝tantan

-f(x),可得曲线y＝f(x)关于点中心对称,故C正确;对于D,由单调性和周期性可知f(x)=3在

(0,π]和(π,2π]上各只有一个解,矛盾,故D错误,故选BC．

10.【答案】AD

【解析′３x＋2３,′()３x23＞０,得－＜１,

由f′()３０,解得x1１,所f(x(－,)和

(1,+∞)上单调递减,在区间(-1,1)上单调递增,所以x=-1,x=1分别

为f(x)的极小值点和极大值点,则f(x)有两个极值点,故A正确;因为

0<x<1,所以0<x＜x<1,根据f(x)在区间(0,1)上单调递增,所以

f(x)＞f(x),故B错误;f(x)极小值＝f(-1)=-4<0,f(x)极大值＝f(1)

=0,f(-3)=16>0,结合f(x)的单调性,作出f(x)的大致图象,由右图可

知,f(x)有两个零点,故C错误;结合图象可知不等式f(x)<0的解集为

{xx＞-2,且x≠1},故D正确;故选AD．

11.【答案】AC

【解析】由双曲线定义及点P在右支上可知,|AP|－|PB|=2a,又已知|AP|=2|PB|,解得|PB|=2a,

|AP|=4a,由三角形三边关系得4a-2a<2c<4a+2a,化简得a＜c<3a,故双曲线离心率e∈(1,3),在

△APB中,由余弦定理得cos∠PBAcos∠APB

5a２c2

,对于选项A,若△APB为锐角三角形,则必须满足cos∠PBA＞0且cos∠APB＞0,解得3<e<

４2

5,故A正确;对于选项B,若△APB为钝角三角形,则满足cos∠PBA<0或cos∠APB<0,解得1<e<

3或5<e<3,故e＞5不一定成立,故B错误;对于选项C,cos∠PAB

,因为e∈(1,3),由基本不等式得当且仅当e=3时等号成立,此时cos∠PAB

取得最小值,即∠PAB取得最大值,将e=3代入得cos∠PBA=0,即∠PBA=90°,此时△APB为直角三

角形,故C正确;对于选项D,△APB的面积SAP||PB|sin∠APB=4a2sin∠APB,当∠APB=90°,

即e=5时面积取得最大值4a2,但当∠PBA=90°,即e=3时△APB也为直角三角形,此时面积为23a2

并非最大值,故D错误;故AC．

12.【答案】40

n3

【解析】由等差数列的定义可得=2n-1,故an＝(2n-1).2,故a3=5×2=40,故答案

为40.

【高三数学试题参考答案第2页(共5页)】

13.【答案】lg2

【解析】设材料乙的透射光光强为I,A甲＝lglglg2+lg,A乙＝lg,于是A甲－A乙＝lg2,故

2

答案为lg2.

80

14.【答案】

243

【解析】由题意知,可得,解得,故X~B,

k6-k

k

P(X＝k)＝C６．P(X=0),P(X=1),P(X=2),

P(X=3),P(X=4),P(X=5),P(X=6),可知P(X＝k)的最大值为P(X=4)=

8080

,故答案为．

243243

15.【解析】(1)平均每年的研发投入为…

…………………2分

平均每年的营业额为+60)=650.…4分

_

(－x．)y()

1

(2)将所给数据代入相关系数计算公式得r＝.………8分

i∑1(2i-)(y_)2i-

i

1６９.5

其中4.26×7250=30885≈176,所以r≈≈0.96.………………10分

１７6

(3)由题意知,回归直线过样本中心点(12,650),即650=12b+170,解得b=40.………11分

所以回归方程为=40x+170.将x=13.5代入回归方程,得=13.5×40+170=710,故预测该公司今年的

营业额为710亿元．…………………………13分

16.【解析】(1)此时………………1分

…………2分

于是,而A1E1不与CE2共面,可得CE2∥A1E1,…3分

由A1E1⊂平面A1C1E1,CE2⊄平面A1C1E1,可得CE2∥平面A1C1E1.……4分

→→→

(2)以A为坐标原点,AB的方向为x轴正方向,AD的方向为y轴正方向,AA1的方

向为z轴正方向,建立空间直角坐标系A－xyz,…………………5分

→

不妨设AB=1,AA1=λ>0,则A(0,0,0),C(1,1,0),E1(1,0,),A1(0,0,λ),C1(1,1,λ),AC＝A1=

7分

记平面ACE1的法向量为n1=(x1,y1,z,可取n1=(-λ,λ,2),……9分

【高三数学试题参考答案第3页(共5页)】

记平面A1C1E1的法向量为n2=(x2,y2,z可取n2=(λ,-λ,2),……

……………………………11分

记平面ACE1与平面A1C1E1夹角为θ,则cos…………12分

λ<2时,6-3λ2=2+λ2,λ=1,……………13分

λ>2时,3λ2-6=2+λ2,λ=2,……………14分

故λ=1或2.…………………………15分

17.【解析】(1)抛物线C:x2=2py(p＞0)的准线为y,由点T(t,-1)在C的准线上,得p=2……2分

所以抛物线C的方程为x2=4y．……………3分

2x２x２′6分

(2)由(1)知,抛物线C:yx,设A(1,x１),B(2,x２),求导得yx,……

8分

２２

直线TA的斜率kTA,整理得x１-2tx1-4=0,同理x２-2tx2-4=0…

x2

2x2x1.

因此x1,x2为方程x-2tx-4=0的两个根,x1x2=-4,而直线TB斜率kTB＝,则kTA.kTB＝

２２2

=-1,所以TA⊥TB．………………………11分

２２

(3)若点A(x1,y1),B(x2,y2),即x１=4y1,x２=4y2,则由(2)知,4y1-2tx1-4=0,4y2-2tx2-4=0,因此

点A,B的坐标满足方程4y-2tx-4=0,即2tx-4y+4=0……………13分

则直线AB的方程为2tx-4y+4=0,其斜率为k,所以当t=1时,直线AB的斜率为．………15分

18.【解析】(1)由题意可得f′(x)=3x2exsinx＋x3exsinx＋x3excosx＝x2ex(xsinx＋xcosx+3sinx),…3分

′

故曲线y＝f(x)在x=0处的切线斜率为f(0)=0.……………………4分

(2)(i)即极值点满足xn(sinxn＋cosxn)+3sinxn=0,……………………5分

显然sinxn≠7分

即<-1,可得-1<tanxn<0,…………8分

xn

(ii)注意到xn于是fesinxn=

…………………………11分

题中不等式等价于而(sinxn＋cosxn)3=cos3xn(tanxn+1)3,显然

xn

tanxn+1>0,可知不等式等价于(e－exn)cosxn<0,…………………13分

设g(x)＝ex－ex,g′(x)＝ex－e,x∈(-∞,1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;x∈(1,+∞)时,g′(x)＞0,

g(x)单调递增,………………15分

xn

于是g(x)≥g(1)=0,而xn≠1,可得e－exn＞0,故cosxn<0,………16分

结合-1<tanxn<0可得xn为第二象限角．………………17分

【高三数学试题参考答案第4页(共5页)】

19.【解析】(1)由题意可知,三角形OPnPn+1为直角三角形,且∠OPn+1Pn=90°.在Rt△OPnPn+1中,|OPn+1|

=|OPn|cosθ,又因为|OP1|=1,所以数列{|OPn|}是以1为首项,cosθ为公比的等比数列,则|OPn|=

(cosθ)n-1=cosn-1θ.…………………………2分

n-1

在Rt△OPnPn+1中,|PnPn+1|＝|OPn|sinθ=sinθ.cosθ,所以数列{|PnPn+1|}是以sinθ为首项,cosθ

为公比的等比数列,其前n项和Sn为Sn………………4分

→→→n-1

(2)存在这样的实数λ.设射线l1,l2,l3方向上的单位向量分别为e1,e2,e3,由(1)可知|OPn|＝cosθ.对

→→→→

于向量P1,有P1=O－O＝|OP2|e2-|OP1|e1=cosθe2-e1.………………6分

对于向量,由于点列Pn所在射线按l1,l2,l3顺序循环,故P4在l1上,P5在l2上,则

→→

O＝|OP5|e2-|OP4|e1.…………………8分

4→3→3→→

由(1),代入可得P4=cosθe2-cosθe1=cosθ(cosθe2-e1),对比可得P4=cos因此存在实

3

数λ=cosθ,使得P4=λP1.…………10分

→→→→

记a．由向量模长公式可得an＝|P1Pn|2=|OPn－O|2=|OPn|2+|2-2OPn.O,

n-12(n-1)→

|=1,且由(1)知cosθ,故an＝cosθ+1-2OPn.O．…12分

∗→→

当n=3k-2(k∈N)时,此时Pn位于射线l1上,OPn同向．OPn.O＝|OPn|.|OP1|.cos0°=

n-12(n-1)n-