余弦定理正弦定理（第1课时）课件-高一下学期数学人教A版

6.4.3余弦定理、正弦定理（第1课时）第6章平面向量及其应用人教A版2019必修第二册一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系.例如：直角三角形中，勾股定理、锐角三角函数.一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了SSS、SAS、ASA、AAS等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题.我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示.那么，表示的公式是什么？1.余弦定理因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.探究：如图示，在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c，怎样用a,b和C表示c？在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c，已知a,b和C，求c.同理可得于是，我们就得到了三角形中边角关系的一个重要定理—余弦定理.三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即

利用余弦定理，可以由三角形的两边及其夹角直接求出第三边.余弦定理：思考你能用其他方法证明余弦定理吗？如图示，在△ABC中，三个角A,B,C所对的边分别是a,b,c，证明：余弦定理的推论：利用余弦定理的推论，可以由三角形的三边直接求出三角形的三个角.思考探索新知解三角形z例1.一个三角形的两边长分别为5和3，它们夹角的余弦值是－

，则该三角形的第三条边长为A.52 B.C.16 D.4√解析设第三条边长为x，题型一、已知两边夹角解三角形变形训练

已知在△ABC中，a＝1，b＝2，cosC＝

，则c＝

；sinA＝

.2解得c＝2.题型二、已知三边解三角形例2

在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求两个最小角之和.解∵a>c>b，∴A为最大角.由余弦定理的推论，又∵0°<A<180°，∴A＝120°，∴最大角A为120°.∴两个最小角之和为60°变形训练边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是A.90° B.120°C.135° D.150°√解析设△ABC三边分别为AB＝5，AC＝7，BC＝8，∴∠B＝60°，∵BC>AC>AB，∴A>B>C，∴最大角与最小角的和为A＋C＝180°－B＝120°.反思感悟已知三角形的三边解三角形的方法利用余弦定理求出三个角的余弦，进而求出三个角.题型三、利用余弦定理判断三角形的形状例3

在△ABC中，若acosB＋acosC＝b＋c，试判断该三角形的形状.解由acosB＋acosC＝b＋c并结合余弦定理，整理，得(b＋c)(a2－b2－c2)＝0.因为b＋c≠0，所以a2＝b2＋c2，故△ABC是直角三角形.变形训练1已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状是A.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.不确定√解析因为bcosC＋ccosB＝asinA，整理，得a＝asinA，所以sinA＝1.故△ABC为直角三角形.√课堂检测3在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c2＝bccosA＋cacosB＋abcosC，则△ABC是

三角形.(填“锐角”“直角”或“钝角”)直角即c2＝a2＋b2，∴△ABC为直