第29讲相似形的应用

第二篇图形与几何第七章图形变换与解直角三角形第29讲相似形的应用1.

利用相似求图形的面积.2.

利用投影、平行线、标杆等构造相似三角形来测物体的高、河的宽等.3.

掌握三角形重心.

类型一

三角形的重心例1

如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝12，D，E分别是边AB，BC的中点，CD与AE交于点O，求OD的长.【答案】OD＝2.【解后感悟】三角形重心是两条中线的交点，它将一条中线分成1∶2两部分.类型二

利用相似解决物体的高（长）度例2

小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：方案一：如图1所示，测得C地与树AB相距10

m，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°.方案二：如图2所示，测得C地与树AB相距10

m，在C处放一面镜子，后退2

m到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A.

已知小明身高1.6

m，试选择一个方案求出树AB的高度（结果保留整数，tan

32°≈0.62）.【答案】方案一：作DE⊥AB，垂足为E，则四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝10

m，在Rt△ADE中，∠ADE＝32°，∴AE＝DE·tan32°≈10×0.62＝6.2

m，树AB的高度为6.2＋1.6≈8

m.

【解后感悟】此题是相似三角形在实际生活中的运用，通过实际问题构建相似三角形.

1.

周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时，他们选择了河对岸边的一棵大树，将其底部作为点A，在他们所在的岸边选择了点B，使得AB与河岸垂直，并在点B竖起标杆BC，再在AB的延长线上选择点D竖起标杆DE，使得点E与点C，A共线.已知CB⊥AD，ED⊥AD，测得BC＝1

m，DE＝1.5

m，BD＝8.5

m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息，求河宽AB.

类型三

利用相似求图形的面积、周长例3

一个等腰直角三角形和一个正方形按如图所示摆放，①②③这三块面积之比为1∶4∶41，那么④⑤这两块面积之比是

9∶14

.【解后感悟】本题考查了等腰三角形和矩形的面积公式，及相似三角形的面积之比等于相似比的平方.9∶14

2.

如图，正方形ABCD与△EBC中，AD

分别与EB，EC相交于点F，G，若△EBG的面积为6，正方形ABCD的面积为16，则FG与BC的长度比为（

C

）A.3∶5B.3∶6C.3∶7D.3∶8C

【实际应用题】有一块形状如图的五边形余料ABCDE，AB＝AE＝6，BC＝5，∠A＝∠B＝90°，∠C＝135°，∠E＞90°，要在这块余料中截取一块矩形材料，其中一条边在AE上，并使所截矩形材料的面积尽可能大.（1）若所截矩形材料的一条边是BC或AE，求矩形材料的面积.【答案】（1）①若所截矩形材料的一条边是BC，过点C作CF⊥AE于点F，如图1，得出S1＝AB·BC＝6×5＝30；②若所截矩形材料的一条边是AE，过点E作EF∥AB交CD于点F，过点F作FG⊥AB于点G，过点C作CH⊥FG于点H，如图2，则四边形AEFG为矩形，四边形BCHG为矩形，证出△CHF为等腰直角三角形，得出AE＝FG＝6，HG＝BC＝5，BG＝CH＝FH＝FG－HG＝1，AG＝AB－BG＝5，得出S2＝AE·AG＝6×5＝30.图1

图2（2）能否截出比第（1）题中更大面积的矩形材料？如果能，求出这个矩形材料面积的最大值；如果不能，请说明理由.【答案】（2）在CD上取点F，过点F作FM⊥AB于点M，FN⊥AE于点N，过点C作CG⊥FM于点G，如图3，则四边形ANFM为矩形，四边形BCGM为矩形，证出△CGF为等腰直角三角形，得出MG＝BC＝5，BM＝CG，FG＝CG，设AM＝x，则BM＝6－x，FM＝GM＋FG＝GM＋CG＝BC＋BM＝11－x，得出S＝AM×FM＝x（11－x）＝－x2＋11x＝－（x－5.5）2＋30.25，∴当x＝5.5时，S的最大值为30.25.∴能截