人教高二数学变化率问题(2)-教学设计

课程基本信息课例编号2020QJ11SXRA066学科数学年级高二学期下课题变化率问题（2）教科书书名：普通高中教科书数学选择性必修第二册(A版)出版社：人民教育出版社出版日期：2019年4月教学人员姓名单位授课教师李翥北京市第五中学指导教师雷晓莉北京市东城区教师研修中心教学目标教学目标：（1）经历用割线位置“逼近”切线位置的过程，认识切线位置的本质是割线位置的极限，继续体会极限思想；（2）通过求抛物线在具体点的切线斜率，体会切线的一般定义即求切线斜率的一般方法.教学重点：切线斜率和极限思想.教学难点：在切线斜率的计算过程中体会极限思想.教学过程时间教学环节主要师生活动师生问答、共同探究问题1抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的斜率我们知道，如果一条直线与一个圆只有一个公共点，那么这条直线与这个圆相切．对于其它的曲线C，如抛物线f(x)＝x2，如何定义它在某一点，如P0(1，1)处的切线呢？追问1：如果一条直线与一条曲线只有一个公共点，那么这条直线与这条曲线一定相切吗？答案是不一定.例如，二次函数f(x)＝x2的图象和直线x＝1只有一个交点，但它们显然不相切.那么反过来，追问2：如果一条直线与一条曲线相切，那么它们一定只有一个公共点吗？答案也是不一定.例如，正弦函数f(x)＝sinx的图象和直线y＝1相切，但它们显然不止一个交点.因此不能再像在研究直线和圆的位置关系时那样，通过交点个数来定义相切.追问3：对于抛物线f(x)＝x2，应该如何定义它在点P0(1，1)处的切线的切线呢？从几何意义上看，表示函数图像上过点(1，h(1))和点(t1，h(t1))的直线斜率，这条直线我们称之为抛物线的一条割线.所以为了研究抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线，我们在点P0(1，1)的附近任取一点P(x，x2)，得到割线P0P.我们再把点P无限趋近于点P0，考察割线P0P的变化情况．我们可以借助几何画板工具来观察.通过演示可以看到，当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线.这样，我们得到抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线的含义.从几何上看，抛物线在点P0的切线，是由过这一点的割线P0P，当P无限接近P0时的极限位置确定的.我们知道，斜率是确定直线的一个要素.在已知切点的情况下，如果我们再能确定切线的斜率，就能确定切线的方程.追问4：如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率呢？从上述切线的定义可见，抛物线f(x)＝x2在点P0(1，1)处的切线P0T的斜率与割线P0P的斜率有内在联系．既然切线是割线的极限位置确定的，那么切线的斜率也就应该是割线斜率当P无限接近P0时的极限值.和上节课类似，我们记点P的横坐标x＝1＋Δx，则点P的坐标为(x，(1＋Δx)2).于是割线P0P的斜率我们可以通过割线P0P的斜率近似地表示切线的斜率，并且通过不断缩短横坐标间隔|△x|来提高近似表示的精确度.和上节课一样，我们可以借助电脑的excel计算，来观察当P无限接近P0时，割线P0P的斜率变化情况.和上节课的结论一样，当Δx无限趋近于0时，无论x从小于1的一边还是大于1的一边无限趋近于1，割线斜率都无限趋近于2.同样的，通过计算的方式验证是有限的，我们能从更理性的角度，对这一结论加以说明吗？事实上，由可以直接看出，当Δx无限趋近于0时，Δx＋2无限趋近于2.我们把2叫做“当Δx无限趋近于0时，的极限”，记做问题2你能用上述方法，求抛物线f(x)＝x2在点P0(2，4)处的切线P0T的斜率吗？我们还是取点P0附近的一点P，记点P的横坐标x＝2＋Δx，则点P的坐标为(x，(2＋Δx)2).于是割线P0P的斜率接着，我们让P无限趋近于点P0，即让横坐标间隔△x趋近于0.于是有，即抛物线f(x)＝x2在点P0(2，4)处的切线P0T的斜率为4.问题3如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(x0，x02)处的切线P0T的斜率呢？追问1：我们应该怎样定义抛物线f(x)＝x2在点P0(x0，x02)处的切线呢？还是用和刚才类似的方法.在函数图象上取点P0附近的一点P，构造割线P0P.当点P无限趋近于点P0时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为抛物线f(x)＝x2在点P0(x0，x02)处的切线.实际上，这也是一般曲线在某一点处的切线定义.追问2：如何求抛物线f(x)＝x2在点P0(x0，x02)处的切线斜率呢？取点P0附近的一点P，记点P的横坐标x＝x0＋Δx，则点P的坐标为(x，(x0＋Δx)2).于是割线P0P的斜率接着，我们让P无限趋近于点P0，即让横坐标间隔△x趋近于0.于是有，即抛物线f(x)＝x2在点P0(x0，x02)处的切线P0T的斜率为2x0.追问3：观察函数h(t)＝－4.9t2＋4.8t＋11的图象，平均速度的几何意义是什么？瞬时速度呢？问题4回顾本节课的探究过程，你学到了什么？从知识角度，我们以抛物线为例，研究了函数图像的切线斜率问题.我们先探讨了一般曲线在某点处的切线的定义，我们知道了函数图象上某点P0处的切线，是由在这点的割线P0P，当P不断靠近P0时的极限位置确定的.我们再分别通过计算和求极限的方法，求得了切线斜率，并由此得到了函数图象上任一点的切线斜率表达式.最后，我们还认识到，上节课我们研究的运动员在某时刻的瞬时速度的几何意义，就是相应的函数图象在这一点的切线斜率.从研究方法上看，我们类比上节课的研究过程，仍然是用无限逼近的方法，通过割线斜率求得了切线