2024-2025学年湖南省邵阳市邵东四中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2024-2025学年湖南省邵阳市邵东四中高一（下）期中数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；

2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；

3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔)，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。一、选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．设、，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件2．位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（）A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里3．在正方体中，异面直线与所成角（）A． B． C． D．4．不重合的两条直线，和不重合的两个平面，，下面的几个命题：①若，且，则；②若，与平面成等角，则；③若，，且，则；④若，，则；⑤若，异面，且，均与平面和平行，则．在这5个命题中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．45．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知．底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（）A． B． C． D．6．在△中，，点在上，满足，则（）A． B． C． D．7．若非零向量与满足，△为（）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形8．平面直角坐标系中，，，若动点组成的区域面积为32，则等于（）A． B．3 C．2 D．二、多选题（共3小题，每题6分，各题有多个正确答案，全对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）（多选）9．（6分）已知复数满足，则A．的实部是3 B． C． D．（多选）10．（6分）已知，，分别是△三个内角，，的对边，则下列命题中错误的是（）A．若△是锐角三角形，则 B．若△是边长为1的正三角形，则 C．若，则△有二解 D．若，则△是等腰直角三角形（多选）11．（6分）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则下列结论正确的是A．直线平面 B． C．该棱台的高是 D．该棱台的表面积是三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为．13．已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为．14．已知圆的半径为2，为圆的弦，弦长，为圆上任意一动点，则的取值范围是．四、解答题（共5题，写出必要的文字说明和解题过程，共73分）15．用向量方法证明：（1）两角差的余弦公式：（2）柯西不等式：16．如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径．（1）计算球的表面积和体积；（2）若是截面小圆上一点，，、分别是线段和的中点，求异面直线与所成角的余弦值．17．已知，，分别为△三个内角，，的对边，．（1）求；（2）若，△的面积为，求，．18．已知长方体，，分别为和的中点，．（1）求三棱锥体积；（2）求证：平面平面．19．已知函数，其中（1）若，，求函数的单调递增区间和最小值；（2）在中，、、分别是角．．的对边，旦（A），求的值；（3）在第二问的条件下，若，求面积的最大值．

参考答案一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分.1．设、，则“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：若，，满足设“”，但“”不成立，若，则成立，故“”是“”的必要不充分条件，故选：．2．位于灯塔处正西方相距15海里的处有一艘甲船，需要海上加油，位于灯塔处北偏东方向有一与灯塔相距海里的处有一艘乙船，则乙船前往支援处甲船需要航行的距离是（）A．海里 B．海里 C．海里 D．20海里解：根据题意，作出示意图，在△中，，，，根据余弦定理，可得，所以，即乙船航行的距离为海里．故选：．3．在正方体中，异面直线与所成角（）A． B． C． D．解：，是异面直线与所成角，，，异面直线与所成角为．故选：．4．不重合的两条直线，和不重合的两个平面，，下面的几个命题：①若，且，则；②若，与平面成等角，则；③若，，且，则；④若，，则；⑤若，异面，且，均与平面和平行，则．在这5个命题中，真命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4解：对于①，若，且，则、位置关系不能确定，故错；对于②，若，与平面成等角，则、位置关系不能确定，故错；对于③，如图，直线平行于平面，直线平行于平面，平面、中可以找到一直线平行于直线，设在平面内，在平面内，则，，不在平面内，在平面内，，又，．故正确；对于④，若，，则或、相交，故错；对于⑤，我们可以过空间内任意一点作两异面直线、的平行线．确定一个平面，由条件得，，故为真命题；故选：．5．民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在山西夏县发现的新石器时代遗址．如图所示的是一个陀螺的立体结构图．已知．底面圆的直径，圆柱体部分的高，圆锥体部分的高，则这个陀螺的表面积是（）A． B． C． D．解：由题意可得圆锥体的母线长为，所以圆锥体的侧面积为，圆柱体的侧面积为，圆柱的底面面积为，所以此陀螺的表面积为，故选：．6．在△中，，点在上，满足，则（）A． B． C． D．解：根据点在上，可得共线，设，则，结合题意，可得，解得．故选：．7．若非零向量与满足，△为（）A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形解：由，可得△中，的平分线与边垂直，，又，则，又，则，则△为等边三角形．故选：．8．平面直角坐标系中，，，若动点组成的区域面积为32，则等于（）A． B．3 C．2 D．解：不妨设，，如图所示：延长到点，延长到点，使得，，作，，，，则四边形，，均为平行四边形．由题意可知：点组成的区域为图中的四边形及其内部．，，，，，，，，，则，则，若动点组成的区域面积为32，四边形的面积为其中的，，，满足条件的动点有四个相同的区域），即，则四边形的面积即，则，得，故选：．二、多选题（共3小题，每题6分，各题有多个正确答案，全对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分，共18分）（多选）9．（6分）已知复数满足，则A．的实部是3 B． C． D．解：因为，所以，所以，所以的实部是3，虚部为，，，故、、正确；，故错误．故选：．（多选）10．（6分）已知，，分别是△三个内角，，的对边，则下列命题中错误的是（）A．若△是锐角三角形，则 B．若△是边长为1的正三角形，则 C．若，则△有二解 D．若，则△是等腰直角三角形解：选项，由△是锐角三角形，可得，，则，其中，因为在上单调递增，所以，即，故正确；选项，若△是边长为1的正三角形，则，故错误；选项，由正弦定理得，即，解得，故或，经检验，均满足要求，故正确；选项，由及正弦定理，可得，即，所以或，故或，则△是等腰三角形或直角三角形，故错误．故选：．（多选）11．（6分）如图，在正三棱台中，，，分别是，的中点，则下列结论正确的是A．直线平面 B． C．该棱台的高是 D．该棱台的表面积是解：如图，将棱台补全为棱锥，依题意可得，取的中点，连接，设顶点在底面的射影为，则为的一个三等分点，则，，棱台的高是，故错误；取的中点，连接、，，平面，，平面，同理可证平面，，，平面，平面平面，平面，平面，故正确；取的中点，连接，，，则为异面直线与所成角（或补角），，，，，，故错误；如图，棱台的一个侧面中，，，，过点作，则，，，，棱台的表面积是，故正确．故选：．三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分）12．复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为．解：复数与分别对应向量与，．故答案为：．13．已知平面向量为单位向量，且，则在方向上的投影向量的坐标为．解：由题意可知，，因为，所以，解得，则在方向上的投影向量的坐标为．故答案为：．14．已知圆的半径为2，为圆的弦，弦长，为圆上任意一动点，则的取值范围是．解：取的中点，连接、，根据平面向量的加法法则可得，因为圆的半径为2，为圆的弦，弦长，所以根据勾股定理可得，所以，，即，所以，，故的取值范围为．故答案为：．四、解答题（共5题，写出必要的文字说明和解题过程，共73分）15．用向量方法证明：（1）两角差的余弦公式：（2）柯西不等式：【解答】证明：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，，它们的终边与单位圆的交点分别为，，则，设的夹角为，则，另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，，于是，；所以，也有，故对于任意角，，有；（2）设，所以，，则，又，所以．16．如图，用一平面去截球，所得截面面积为，球心到截面的距离为3，为截面小圆圆心，为截面小圆的直径．（1）计算球的表面积和体积；（2）若是截面小圆上一点，，、分别是线段和的中点，求异面直线与所成角的余弦值．解：（1）连接，由题意得，截面圆的半径为4，又，，所以，所以球的表面积为：；体积为；（2）连接，因为、分别为、的中点，所以，所以异面直线与所成的角为或其补角，在△中，，，则，连接，在△中，，所以，所以异面直线与所成角的余弦值为．17．已知，，分别为△三个内角，，的对边，．（1）求；（2）若，△的面积为，求，．解：（1）由正弦定理得：，即，即．；（2）若，△的面积，．①再利用余弦定理可得：，．②结合①②求得．18．已知长方体，，分别为和的中点，．（1）求三棱锥体积；（2）求证：平面平面．解：（1）由题意可知：平面，，为的中点，，，，．（2）证明：如图，取的中点，连接、．又点是的中点，且，四边形为