2025-2026学年浙江省衢州市高一（上）期末数学试卷（含解析）

2025-2026学年浙江省衢州市高一（上）期末数学试卷考试注意事项：

1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．3．作图可先使用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．一、单项选择题（共8个小题，每小题5分，共40分）.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．2．幂函数过点，则（）A． B． C．1 D．23．已知是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知，则（）A． B． C． D．5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．6．已知，，若，则的最大值为（）A． B．0 C． D．17．定义在，上的函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C．， D．8．已知，且，则的最小值为（）A． B．2 C． D．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（）A． B．是奇函数 C．是其图象的对称中心 D．是其图象的对称轴（多选）10．（6分）已知实数，满足：，则下列不等式可能成立的是（）A． B． C． D．（多选）11．（6分）已知函数，若方程有两个不相等的正实数根，，则下列关系正确的是（）A． B． C．，，都有 D．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则．13．碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米秒）与队内选手的平均划桨速度（次分钟）之间满足函数关系：（米秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行米．14．已知函数是定义在，上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，它的终边与单位圆相交于点，且，满足．（1）求；（2）求的值．16．（15分）已知函数，为任意实数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当，时，求函数的最小值．17．（15分）已知函数．（1）求函数的最大值及此时的取值集合；（2）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象．求的解析式；若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．18．（17分）已知函数，为实数），函数，若方程有三个不同的实数解，，，且满足．（1）求不等式的解集；（2）求实数的取值范围．19．（17分）设集合M（a，b）＝{f（x）|存在实数a，b，使得定义域内任意x都有f（2a﹣x）•f（x）＝b}．（1）当f（x）＝2x，证明：f（x）∈M（0，1）（2）若y＝f（x）的定义域为R，且f（x）∈M（0，1），当x≤0时，，方程f（x）＝2026是否存在整数解？若存在，求出该解；若不存在，说明理由；（3）已知函数g（x）定义在[2﹣e2，e2]上，g（x）∈M（1，4），且g（x）恒大于0，当x∈（1，e2]时，g（x）＝﹣（lnx）2+mlnx+2，若g（x）＞1在[2﹣e2，e2]上恒成立，求实数m的取值范围．

参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1．已知集合，，则（）A． B． C． D．解：，，．故选：．2．幂函数过点，则（）A． B． C．1 D．2解：过点，，解得．故选：．3．已知是实数，那么“”是“”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解：由，可得或，当时，成立，即充分性成立；当时，不一定成立，即必要性不成立．故选：．4．已知，则（）A． B． C． D．解：根据题意，，，，所以故选：．5．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．解：根据题意，函数在上单调递增，则，解得，即实数的取值范围为．故选：．6．已知，，若，则的最大值为（）A． B．0 C． D．1解：由，，，可得，解得，当且仅当时，即时，等号成立，又由，所以的最大值为．故选：．7．定义在，上的函数，若，则实数的取值范围为（）A． B． C．， D．解：因为的定义域为，，关于原点对称，，所以函数为奇函数，又由为递增函数，则，即，所以，解得，所以实数的取值范围为．故选：．8．已知，且，则的最小值为（）A． B．2 C． D．解：根据，可得，即，化简得，因为，，所以，，等式两边同时除以，可得，即，所以，根据，可得，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以时，取得最小值为．故选：．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。（多选）9．（6分）已知函数，则下列关于函数说法正确的是（）A． B．是奇函数 C．是其图象的对称中心 D．是其图象的对称轴解：根据题意，由二倍角公式，，依次分析选项：对于，，故正确；对于，，其定义域为，有，是奇函数，故正确；对于，，，则有，则点，是其图象的对称中心，故正确；对于，，所以不是图象的对称轴，故错误．故选：．（多选）10．（6分）已知实数，满足：，则下列不等式可能成立的是（）A． B． C． D．【解答】接：设函数，，作出函数图象如下，设，当时，直线与函数，的图象交点的横坐标为，，由函数图象可知，，则，，，所以，故，正确，，错误；当时，直线与函数，的图象交点的横坐标为，，由函数图象可知，，则，，，所以，故，，，错误；综上可得正确．故选：．（多选）11．（6分）已知函数，若方程有两个不相等的正实数根，，则下列关系正确的是（）A． B． C．，，都有 D．解：由题意可知函数定义域为，且，所以函数是奇函数，故错误；当时，，因为与单调递增，且单调递减，可得在，上单调递增，在上单调递减，又因为函数为奇函数，可得在，上单调递增，在，上单调递减，则函数在，上单调递增，所以，，都有，故正确；又因为，（2），且，当时，，所以函数，，所以，故正确；画出函数的图象，如图所示：不妨设，当时，；当时，有，所以，即，因为，所以，可得，又因为，在上单调递增，所以，所以，当且仅当，即时，等号成立，又因为，故不能取等号，所以以，所以正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知，则．解：根据，可得，所以，可得．故答案为：．13．碧波荡漾，鼓声震天．2025年，衢州市首届全民龙舟争霸赛在乌溪江上激情开赛．在比赛当天水流条件下，龙舟的平均行进速度（米秒）与队内选手的平均划桨速度（次分钟）之间满足函数关系：（米秒）．甲队平均划桨速度为，乙队平均划桨速度为，且．两队从乌溪江同一赛道起点同时出发，划桨频率均保持不变．开赛1分钟后，甲队比乙队多划行12米．解：设甲队龙舟的平均行进速度（米秒），乙队龙舟的平均行进速度（米秒），则，，又，则（米秒），所以开赛1分钟后，甲队比乙队多划行（米．故答案为：12．14．已知函数是定义在，上的单调函数，函数，且有，若恒成立，则实数的取值范围为．解：根据题意，函数是定义在，上的单调函数，函数，且有，则函数是常数函数，不妨设，则，则有，又由函数在，上递增，在，上递减，故在，上的单调递增，又由，即，易得是该方程唯一的解，故，易得（1），若恒成立，则，即的取值范围为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）在直角坐标系中，角以轴非负半轴为始边，它的终边与单位圆相交于点，且，满足．（1）求；（2）求的值．解：（1）根据角的终边与单位圆相交于点，结合三角函数定的义可得，，所以，化简得，可得；（2）由（1）知，所以．16．（15分）已知函数，为任意实数．（1）若恒成立，求实数的取值范围；（2）当，时，求函数的最小值．解：（1）由函数，恒成立，即，则满足△，解得，实数的取值范围为，．（2）由函数，可得其图像开口向上，且对称轴方程为，①当时，即时，在，单调递增，则；②当时，即时，在单调递减，在单调递增，；③当时，即时，在，单调递减，则（2），综上：函数的最小值．17．（15分）已知函数．（1）求函数的最大值及此时的取值集合；（2）把函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，得到函数的图象．求的解析式；若函数在上恰有一个零点，求实数的取值范围．解：（1）因为，所以函数的最大值，令，即，，解得，所以的取值集合为；（2）因为，将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再向左平移个单位，可得；因为函数在上恰有一个零点，即方程在上恰有一个解，即方程在上恰有一个解设，因为，可得，当时，即时，单调递增；当时，即时，单调递减，且，作出函数与直线的图象，如图所示：要使得在上恰有一个解，即函数与的图象在上恰有一个交点，结合图象，可得的取值范围为．18．（17分）已知函数，为实数），函数，若方程有三个不同的实数解，，，且满足．（1）求不等式的解集；（2）求实数的取值范围．解：（1）由题可得，当时，，即，，故时不等式恒成立；当时，，故．综上解集为；（2）当时，由，得，解得，则方程在上最多一个根，当时，由，得，即，则方程在，上最多两个根，由题可知，方程有三个不同的实数解，则方程在上有一个根，在，上有两个根，设方程在，上的两个根为，，由韦达定理可得，，设方程在上的根为，又因为，所以，所以，所以，，，得到△，所以，即，，解得，则，故实数的取值范围为．19．（17分）设集合M（a，b）＝{f（x）|存在实数a，b，使得定义域内任意x都有f（2a﹣x）•f（x）＝b}．（1）当f（x）＝2x，证明：f（x）∈M（0，1）（2）若y＝f（x）的定义域为R，且f（x）∈M（0，1），当x≤0时，，方程f（x）＝2026是否存在整数解？若存在，求出该解；若不存在，说明理由；（3）已知函数g（x）定义在[2﹣e2，e2]上，g（x）∈M（1，4），且g（x）恒大于0，当x∈（1，e2]时，g（x）＝﹣（lnx）2+mlnx+2，若g（x）＞1在[2﹣e2，e2]上恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）证明：当f（x）＝2x时，f（﹣x）•f（x）＝2﹣x•2x＝1，所以；（2）方程f（x）＝2026无整数解，理由如下：若f（x）∈M（0，1），则f（﹣x）•f（x）＝1，当x＞0时，﹣x＜0，则，故．当x≤0时，y＝2﹣x，y＝x2都是减函数，所以y＝2﹣x+x2在（﹣∞，0]上单调递减，且2﹣x+x2＞0，所以y＝f（x）在（﹣∞，0]上单调递增，所以f（x）≤f（0）＝1，且f（x）＞0，故0＜f（x）≤1；当x＞0时，y＝f（x）在（0，+∞）上单调递增，且f（x）＞f（0），由f（0）＝1，故f（x）＞1，所以函数y＝f（x）在R上单调递增．又因为f（10）＝210+102＝1124，f（11）＝211+112＝2169，所以方程f（x）＝2026无整数解．（3）由g（x）∈M（1，4）得，g（x）•g（2﹣x）＝4，①当x＝1时，g（1）•g（1）＝4，而g（x）恒大于0，则g（1）＝2，满足g（1）≥1；②当x∈（