2026年高考数学终极冲刺专项01 三角函数、三角恒等变换与解三角形9大题型（大题专练）（原卷版）

专项01三角函数、三角恒等变换与解三角形

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【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式

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根据近五年全国卷考情，三角函数、三角恒等变换与解三角形是必考主干，分值约13-22分．

命题趋势：

解答题：稳定考查解三角形（常为第15题或16题），核心是利用正余弦定理和面积公式解决边、角、

面积等综合问题．

2026年预测：解答题极可能仍为解三角形常规题．

备考核心：熟记定理与公式，解答题强化“边角互化”综合训练，小题提升图象分析与快速变形能力．

题型01三角恒等变形与三角函数图象问题

析典例·建模型

π

1．（2026·山东青岛·一模）函数fxAsinx（A0，0，）的部分图像如图所示.

2

ππ

(1)当x,时，求fx的单调递增区间；

22

π2

(2)已知0,，且f，求cos2的值.

25

研考点·通技法

此类题型考察恒等变形和三角函数函数性质，涉及到三角恒等变形的公式比较多.

1、首先要通过降幂公式降幂，二倍角公式化角：

2222

（1）二倍角公式：sin2α＝2sinαcosα(S2α)；cos2α＝cosα－sinα＝2cosα－1＝1－2sinα(C2α)

1＋cos2α1－cos2α

（2）降幂公式：cos2α＝，sin2α＝，

22

2、再通过辅助角公式“化一”，化为yAsin(x)B

b

3、辅助角公式：asinα＋bcosα＝a2＋b2sin(α＋φ)，其中tanφ＝.

a

4、最后利用三角函数图象和性质，求解计算：

一般将x看做一个整体，利用换元法和数形结合的思想解题.与三角函数相关的方程根的问题（零点问

题），通常通过函数与方程思想转化为图象交点问题，再借助图象进行分析.

破类题·提能力

π2

1．（25-26高三下·北京·开学考试）已知函数fx2sinπxsinx2cosx10，直线

2

y2与函数fx两个相邻交点之间的距离为；

(1)求fx在0,π上的单调递增区间；

(2)设函数gxfx0，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，

2

2π①②③

使函数gx存在且唯一，在区间0,上若mgx恒成立，求m的取值范围．

3

条件：gx的最大值为2；

①

条件：gx在区间，上单调递增；

44

②

条件：gx为偶函数．

③

11

2．（25-26高三上·山西临汾·期末）已知函数fxsinxsin2xsin3x.

23

ππ

(1)求fx的图象在,f处的切线方程；

22

π

(2)求fx在区间0,上的最大值；

2

(3)若gxfx2sinxax，x0,π有三个极值点，求实数a的范围.

题型02三角形中边长及周长问题

析典例·建模型

1．（2026·四川绵阳·模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosB3cb．

(1)求cosA；

(2)若2b3c，且ABC的周长为8，求a．

2．（25-26高三上·贵州黔西南·月考）已知ABC的内角A､B､C的对边分别为a､b､c，且满足

a

ccosBbcosC.

2cosA

(1)求A；

(2)若c2，求锐角ABC周长的取值范围.

研考点·通技法

利用正、余弦定理求解三角形的边长周长问题，对于求边长问题，主要是把未知边或者角度通过正弦余弦

定理用已知边或者是已知角度表示出来.

对于周长问题通常牵涉到两种题型，周长或者是周长范围问题，

类型一：一般来说如果求周长或者是边长的最值问题可采用基本不等式+余弦定理求解决.

类型二：常规三角形的周长范围问题也可采用余弦定理+基本不等式解决，或者是通过正弦定理把边装化成

角度，利用辅助角公式从而转化为三角函数问题

类型三：锐角三角形中周长或者是边长以及其他的范围问题，则一般采用边角转化，把边长转化成角度，

从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题

破类题·提能力

1．（25-26高三上·天津·期末）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c．已知

3acsinCabsinAsinB．

(1)求角B的大小；

(2)若c7,bsinA3，求b的值；

1

(3)若cosA，求sin2AB的值．

4

2．（25-26高三下·重庆·开学考试）已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且acosBbcosA4，

8sinAcosCasinC.

(1)求c及C；

(2)求ABC周长的最大值.

3．（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知

2a3ccosB3bcosC．

(1)求角B的大小；

(2)若c3，ab2，求ABC的面积；

(3)若a2，且ABC为锐角三角形，求ABC的周长的取值范围．

题型03三角形中面积问题

析典例·建模型

1．（2026·山东济宁·一模）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,BAC120,AD为BAC的

角平分线，且AD2.

(1)若sinB2sinC，求a的大小；

(2)当bc取得最小值时，求ABC的面积.

πbc

2．（25-26高三下·贵州贵阳·月考）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，cosB．

32a

(1)求角A的大小；

(2)若ABC是锐角三角形，c2，求ABC面积的取值范围．

研考点·通技法

利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，两种题型，一种十求面积：另外一种是求面积范围.一般思路是：

1、选定理.对于求面积问题，一般是余弦定理或者是正弦定理加上面积公式即可解决.

面积范围问题：第一为求面积最值，一般采用余弦定理加基本不等式.第二类为锐角三角形中的面积范围问

题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化成三角函数问题去解决，但是因

注意角度的取值范围问题

破类题·提能力

1．（2026·贵州贵阳·一模）在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cbcosAacosB．

(1)求A的大小；

(2)若sinBsinC3，b2，试判断ABC的形状，并求ABC的面积．

2．（2026·四川德阳·二模）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知该三角形的面积

1

Sa2c2b2sinB．△

2

(1)求角B的大小；

(2)若b＝4时，求ABC面积的最大值．

△

3．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）已知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满

sinAsin2Asin2C

足1，A¹C.

sinCsin2B

(1)求证：B2C；

1a

(2)求的取值范围；

cosCb

(3)若a2，求三角形ABC面积的取值范围．

题型04解三角形中三线问题

析典例·建模型

1．（2026·四川·模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知cos2A22cosBC2．

(1)求A；

5

(2)若b35，cosC，求AB边上中线的长.

5

2．（25-26高三上·安徽宣城·期末）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知2bcosC2a3c.

(1)求角B的大小；

(2)若a4,AC边上的中线BM长为13,BAC的角平分线AD交BC于点D，求线段AD的长.

研考点·通技法

三线问题指的是角平分线，中线，高线.

对于角平分线：一种是采用等面积法（面积分割），或者是角平分线定理去解决.

对于中线问题一般采用向量思想去解决.

高线问题，一般采用正弦定理或者是等面积法去解决.

破类题·提能力

a2sinAcosB

1．（25-26高三上·贵州铜仁·期末）在锐角ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，且．

b2sinBcosA

(1)证明：AB；

34

(2)若c3，且BC边上的中线的长度为，求a的值.

2

bcosC2acosA

2．（2026·山东威海·一模）记ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c．

cosB

(1)求A；

(2)若a43，求BC边上的高的最大值．

casinCsinB

3．（25-26高三上·宁夏·月考）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

bsinCsinA

(1)求角A的大小；

(2)若AD为BAC的角平分线，且AB8，AC6，求角平分线AD的长度；

(3)若ABC为锐角三角形，且b2，求ABC面积的取值范围.

题型05三角形中图形类边长及范围问题

析典例·建模型

1

1．（25-26高三上·安徽六安·期末）已知a、b、c分别为ABC三个内角A、B、C的对边，且acosCbc.

2

(1)求角A；

(2)已知a3，求bc的取值范围.

2．（25-26高三上·山东东营·期末）在锐角ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC

3

上一点，bc5，ABC的面积为25a22bc.

4

(1)求A；

πa1c

(2)若BD1，BAD，求的最小值.

6b

研考点·通技法

范围问题一般包含长度范围问题，周长范围问题，面积范围问题以及其他范围问题.主要是两类题.一类是无

限制三角形的对应的范围问题，一类是

第二类为锐角三角形中的范围问题.则一般采用边角转化，把边长转化成角度，从而利用辅助角公式，转化

成三角函数问题去解决，但是因注意角度的取值范围问题

破类题·提能力

1．（2026高三上·四川眉山·专题练习）已知ABC的面积记为S.ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，

c，3ABBC2S0.

(1)若b7，c5，求a；

(2)若ABC为锐角三角形，b2，求ac的取值范围.

2．（2026高三上·安徽合肥·专题练习）已知a，b，c分别为锐角ABC三个内角A，B，C的对边，且

a4csinAsinB2acosBC．

(1)求角A的大小;

c

(2)求的取值范围．

b

题型06三角形中证明类问题

析典例·建模型

1．（25-26高三上·广东·月考）ABC中、角A、B、C所对的边分别为a，b，c，已知

4asinAbsinCcosAcsinAcosB．

sinA

(1)求的值；

sinC

(2)B的角平分线BD交AC于D，

（i）证明：BD2BABCDADC；

（ii）若a1，求BDAC的最大值．

研考点·通技法

解三角形证明题求解策略:

1.边角互化核心：优先用正弦定理（a=2RsinA）边化角或角化边，统一形式后化简，是最常用突破口.

2.公式灵活套用：结合余弦定理、三角恒等变换（和差倍角、诱导公式），消元化简向结论靠拢.

3.目标导向变形：先明确结论结构（如证边相等、角为特殊值），逆向推导所需条件，减少无效运算.

4.隐含条件挖掘：利用三角形内角和A+B+C=π、大边对大角、边长为正等限制条件验证结果.

5.特殊值检验：用等边、直角三角形等特殊情形快速验证证明思路是否合理.

破类题·提能力

1．（2026·甘肃武威·模拟预测）记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2bcosCasin2B.

(1)证明：tanAtanB2；

bsin2A

(2)求的最大值.

asinC

题型07解三角形中内切圆、外接圆问题

析典例·建模型

1．（2026·浙江·模拟预测）在ABC中，角A,B,C对应边分别是a,b,c.已知a,b,c成等差数列，且3sinA2sinC.

(1)求cosA的值；

47

(2)若ABC的外接圆半径为，求ABC的面积.

7

2．（25-26高三下·福建泉州·开学考试）在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且

cos2Acos2C2sin2B2sinAsinB.

(1)求C；

(2)若ab1,c7，求ABC的内切圆的半径.

研考点·通技法

解三角形中的内切球与外接球问题，与外接球问题，对于内切圆圆心是三个角角平分线的交点，外接圆则

1

是三边中垂线的交点，对于内切圆的半径则采用等面积发，即sCr对于外接球半径问题一般采用

2ABC

abc

正弦定理2R解决.

sinAsinBsinC

破类题·提能力

1．（25-26高三上·河北沧州·期末）在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ABC的面

1

积，Sabc.

28

(1)求ABC的外接圆半径；

(2)若a33，b53，求ABC中AC边上的高h的值.

2．（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·月考）在ABC中，已知角A、B、C的对边分别为a、b、c，且

3222

SABCabc.

4

(1)求角C大小；

(2)求证：ab2c；

AB

(3)设I为ABC的内心，求的最小值.

CI

题型08解三角形中图形类问题

析典例·建模型

2π

1．（25-26高三上·重庆·月考）如图AC为平面四边形ABCD中BAD的角平分线，BAD，△ABC的

3

面积为83，AC8.

(1)求边BC的长度；

(2)若ACD的外接圆直径2R47，求ACD的周长.

△

π

2．（2026·河北沧州·一模）如图，四边形ABCD中，已知AC,BD交于点O，AOOC2,BD2,AOB．

4

1

(1)若OB，求ADBC的值；

2

π

(2)证明：当OAB时，D位于ABC外接圆的内部．

6

研考点·通技法

利用正、余弦定理求解三角形的图形类问题，此类题目比较难，这类题目的实质是实现边角的转化，解题

的思路是：利用角度的等量关系，将未知边长利用正弦定理转换成一直角度及已知边长的形式，最后变成

关于一个未知角度的三角函数关系，在利用三角函数的函数及性质，利用角度的范围，从而求出变成或者

是对应面范围问题.

破类题·提能力

3π

1．（25-26高三上·广东深圳·期末）如图，在平面四边形ABCD中，已知AB1，AC5，ABC．

4

(1)求ABC的面积；

π

(2)若CAD2BAC，且D，求AD的长．

4

2．（25-26高三上·江西·月考）已知平面四边形ABCD如图所示，其中ABBC，BC3，BADBCD60.

(1)若BD7，CD1，求△BCD的面积；

(2)求AB的取值范围.

题型09解三角形的实际应用

析典例·建模型

1．（2026·重庆·一模）如图所示，一艘海轮在海面上的C处发现两座小岛A，B，测得小岛A在C的北偏东

15的方向上，小岛B在C的北偏东60的方向上，海轮从C处向正东方向航行103海里后到达D处，

测得小岛A在D的北偏西45的方向上，小岛B在D的北偏东30的方向上.

(1)求C处与小岛A之间的距离；

(2)求A,B两座小岛之间的距离.

2．（25-26高三上·甘肃平凉·月考）目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平

原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，

已知基站高AB50m.该同学眼高1.5m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）

测得基站底部B的仰为37，测得基站顶端A的仰角为45.

(1)求出山高BE（结果保留一位小数）；

(2)如图（第二幅），当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼

睛所在位置）到基站AB所在直线的距离CDxm，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站

顶端A的仰角为.试问当x多大时，观测基站的视角ACB最大？

参考数据：sin80.14，sin370.6，sin450.7，sin1270.8.

研考点·通技法

解三角形实际应用核心是构建三角形模型，用正、余弦定理求解，分三类场景：

1.测量距离

先确定可测边与夹角，构造解三角形模型。两点不可达时，用基线结合两角构造三角形，通过正弦定

理求边长；两点可达时，直接用余弦定理计算间距，注意统一长度单位.

2.测量高度

区分底部可通达与不可通达。底部可达时，测仰角与水平距离，用直角三角形边角关系求解；底部不

可达时，在同一直线测两个仰角，设高列方程，结合正弦定理消元求解，排除视线遮挡误差.

3.测量角度

已知三角形三边或两边及夹角，用余弦定理求内角，结合方位角、俯角换算实际角度，注意方位角的

象限与方向标注，保证结果符合实际场景.

破类题·提能力

1．（25-26高三上·河北·月考）某勘测队在河岸的一侧隔河进行测绘工作，河岸一侧A,B两地相距50米，

10

河对岸有C,D两地，测得AC70米，DBADBC,cosDBA.

5

(1)求sinACB的值；

(2)若测量后发现DBDC，求A,D两地的距离.

2．（25-26高三上·山东聊城·期中）某市有一座重兴塔，它从北宋走来，历经宋、元、明、清，依旧屹立不

倒.如今，它是全国重点文物保护单位，也是研究北方古建筑与佛教遗迹的实物标本，如图1，测量重

兴塔高度AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，且在C，D两点测得塔顶

1

A的仰角分别为45°，30°.在水平面上测得cosBCD，C，D两地相距36米.

12

(1)求重兴塔高AB；

(2)如图2，塔顶为点A，距离塔顶A点竖直向下5米处有点E，若在离地面竖直高度为2米的点F处

用测角仪器测得AFE，求tan的最大值.

（建议用时：60分钟）

刷模拟

1．（25-26高三下·重庆·月考）已知函数fx2sinx0的最小正周期为π．

6

ππ6π

(1)若,，f，求cos的值；

123512

π

(2)将函数fx的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到的图象对应函数记为gx，求

12

ππ

函数ygx在,上的值域．

63

sinA2

2．（2026·河北邯郸·一模）ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知a,b,c成等差数列，且．

sinB3

(1)求cosB；

(2)记ABC外接圆的面积为S，若S64π，求b的取值范围．

3．（2026·山东烟台·一模）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，b2c2a212，且ABC的

面积为33．

(1)求A；

(2)若ABC为锐角三角形，b23，求ac的值．

4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）如图，在平面四边形ABCD中，ABCADC180,BACDAC．

(1)证明：BCCD；

(2)已知AC2，ABC的外接圆半径为1，求△ABD面积的最大值．

5．（2026·湖北襄阳·一模）在ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为边BC所在直线上一

点．∠∠∠

2

(1)若BAC，AM平分BAC，AM2，BC37，求ABC的周长；

3

2

3∠bc

(2)若AMBC，且AMa，求的最大值和最小值．

4bc

6．（25-26高三上·江苏南通·开学考试）在锐角三角形ABC中，记a，b，c分别为内角A，B，C的对边，

3

asinBc．

2

11

(1)求的值；

tanAtanB

(2)求角C的最大值．

sinAcosAtanB

7．（2026·广东·一模）设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且AB，记m.

sinCcosCtanB

(1)若A,B,C成等差数列，求m的最小值；

(2)若a,b,c成等比数列，求m的取值范围.

8．（2026·河北张家口·一模）在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，满足b2bcosAc．

(1)证明：A2B；

1

(2)若b2，c1，点D为边BC上一点，AD为BAC的平分线，求AD的值；

a

c

(3)若ABC为锐角三角形，求的取值范围．