高中数学知识点总结(新课标大纲版)

高中数学考点总结

一,集合与简易逻辑

1.注意区分集合中元素的形式.如：口一函数的定义域；口一函数的值域；

{（x,y）Iy=1g%}-函数图象上的点集.

2.集合的性质：①任何一个集合□是它本身的子集，记为□.

②空集是任何集合的子集，记为A.

③空集是任何非空集合的真子集；注意：条件为Aq3,在讨论的时候不要遗忘了A=0的情况

如：口，如果口，求□的取值.（答：口）

®CL,（Ar\B）=CuA\JCuB,Cb.（AB）=CL,A\CcB;（AB）C=A\KBC）;

（AU8）UC=AU（4UC）.

⑤A「6=AoAl6=£oAJQA=ACIG6=0=QA|J6=??.

⑥□元素的个数：□.

⑦含〃个元素的集合的子集个数为2";真子集（非空子集）个数为2〃-1;非空真子集个数为2"-2.

3.补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。

如：已知函数□在区间□上至少存在一个实数口，使

□，求实数□的取值范围.（答：口）

4.原命题：p=q；逆命题：q=p；否命题：一pn—q；逆否命题：一p;互为送否的两

个命题是等价的.如：是“□”的条件.（答：充分非必要条件）

5.若〃=>q且9工〉〃，则〃是"的充分非必要条件（或夕是〃的必要非充分条件）.

6.注意命题〃=4的否定与它的否命题的区别：命题〃=>4的否定是〃=>r；否命题是

命题“〃或的否定是“^，且〜/"：“〃且q”的否定是“力或r”.

如：“若□和□都是偶数，则□是偶数”的否命题是“若口知口不都是偶数，则□是奇数”

否定是“若。和〃都是偶数，则。+匕是奇数”.

7.常见结论的否定形式

原结论否定原结论否定

是不是至少有一个一个也没有

都是不都是至多有一个至少有两个

大于不大于至少有〃个至多有〃一1个

小于不小于至多有r个至少有72+1个

对所有X,成立存在某X,不成立〃或q—p且f

对任何X,不成立存在某X,成立〃且夕T）或F

二.函数

1.①映射□:□是：⑴“一对一或多对一”的对应；⑵集合口中的元素必有象且口中不

同元素在口中可以有相同的象；集合□中的元素不一定有原象（即象集口）.

②一一映射□:□:（1）“一对一”的对应：⑵□中不同元素的象必不同，□中元素都有原象.

2.函数□:口是特殊的映射.特殊在定义域口和值域口都是非空数集！据此可知函数图像与口轴

的垂线至多有一个公共点，但与），轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.

3.函数的三要素：定义域,值域,对应法则.研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则.

4.求定义域：使函数解析式有意义（如：分母。0；偶次根式被开方数非负；对数其数>0,底数>0

且W1;零指数赛的底数00）;实际问题有意义；若/（幻定义域为加，复合函数/[g（x）l定义

域由a<g（x）-b解出;若f[g（x）]定义域为[a,b],则f（x）定义域相当于Xw出,用时g（x）的值域.

5.求值域常用方法：①配方法（二次函数类）；②逆求法（反函数法）；③换元法（特别注意新元的范围）.

④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；

⑤不等式法⑥单调性法；⑦数杉结合：根据函数的几何意义，利用数形结合的方法来求值域；

⑧判别式法（慎用）：⑨导数法（一般适用于高次多项式函数）.

6.求函数解析式的常用方法：（1）待定系数法（已知所求函数的类型）；（2）代换（配凑）法；

（3）方程的思想——对已知等式进行赋值，从而得到关于□及另外一个函数的方程组。

7.而教的奇偶性和单调性

（1）函数有奇偶性的必要条件是其定义域是关于原点对称的，确定奇偶性方法有定义法、图像法等；

⑵若f(x)是偶函数，那么f(x)=f(-x)=f(\x\):定义域含零的奇函数必过原点(/(0)=0)：

(3)判断函数奇偶性可用定义的等价形式：□或口；

(4)复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

注意：若判断较为复杂解析式函数的奇偶性，应先化简再判断；既奇又偶的函数有无数个

(如/(x)=0定义域关于原点对称即可).

(5)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；

(6)确定函数单调性的方法有定义法、导数法、图像法和特值法(用于小题)等.

(7)复合函数单调性由“同增异减”判定.(提醒：求单调区间时注意定义域)

如：函数□的单调递增区间是□.(答：口)

8.函数图象的几种常见变换⑴平移变换：左右平移--------“左加右减”(注意是针对□而言)；

匕下平移——“上加下减”(注意是针对口而言).⑵翻折变换：□:□.

⑶对称变换：①证明函数图像的对称性，即证图像上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在图像上.

②证明图像G与G的对称性，即证G上任意点关于对称中心(轴)的对称点仍在G上，反之亦然.

③函数y=/(X)与)，=/(-X)的图像关于直线X=0(y轴)对称：函数)，=f(x)与函数

),=/(-X)的图像关于直线y=0(1轴)对称：

④若函数口对□时，□或口恒成立，则□图像关

于直线x=a对称；

⑤若y=/(x)对xeR时，/(a+x)=/S-x)恒成立，则y=f(x)图像关于直线戈二上心对称：

2

⑥函数y=f(a+x),y=f(b-x)的图像关于直线x--~-短称(由a+x-A—x确定)；

2

⑦函数)，=与)，=fS—x)的图像关于直线式=巴心对称；

2

⑧函数y=/(x),y=A-/(二的图像关于直线)，=,对称(由)，=八")+4一"幻确定);

22

⑨函数y=/(x)与)，=-7(一x)的图像关于原点成中心对称；函数y=/(x),y=n-f(fn-x)

的图像关于点(巴，)对称；

22

⑩函数□与函数□的图像关于直线□对称；曲线□:□，关于

y=x+a,y=—x+a的对称曲姨G的方程为/()'—©x+a)=。(或/(—¥+《—”+々)=。；

曲线□:□关于点口的对祢曲线□方程为：口.

9.函数的周期性：⑴若口对口时□恒成立，则□的周期为口；

⑵若),=/(用是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则/(无)的周期为21al：

⑶若y=/(x)奇函数，其图像又关于直线工=。对称，则/。)的周期为41al;

⑷若y=/(x)关于点3,0),(6,0)对称，则/(%)的周期为21“一切；

⑸),=/(幻的图象关于直线x=〃，x=b(awb)对称,则函数y=/(x)的周期为2|〃一切；

(6)y=f(x)对工£/?时，/。+。)=一/(4)或/(x4-tz)=--,则y=f(x)的周期为2\a\;

f{x}

10.对数：⑴□□；⑵对数恒等式口；

(3)log(M-N)=logM+log“N;log“—=log“M一log”N;log〃M"=〃log“M;

wa/V

logrtX/A7=1k)g“M;⑷对数换底公式log“N='包(〃>0,aw1)：

〃log/,a

推论：口.

(以上M>0,N>0,。>0,。w1,方>0,bwI,C>0,CH1，4，生,…凡>0且知出,an均不等于1)

11.方程k=/。)有解o左£。(。为f(x)的值域)；a>f(x)恒成立。a2"(刈最大值，

a«/⑴恒成立u>a4"(x)]0小值.

12,恒成立问题的处理方法：⑴分寐参数法(最值法)；⑵转化为一元二次方程根的分布问题；

13,处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：

一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；

14,二次函数解析式的三种形式：①一般式：口；②顶点式：

□:③零点式：口.

15.一元二次方程实根分布：先画图再研究A,。、轴与区间关系、区间端点函数值符号；

16.复合函数：⑴复合函数定义域求法：若口的定义域为口，其复合函数□的定义域可由

不等式□□解出；若□的定义坂为□，求□的定义域，相当于□时，求

g（x）的值域；（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定.

17.对于反函数，应掌握以下一些结论：⑴定义域上的单调函数必有反函数；⑵奇函数的反函数

也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶图数不存在反函数；⑷周期函数不存在反函数；

⑸互为反函数的两个函数在各句的定义域具有相同的单调性；（6）），=f（x）与y=f~\x）互为

反函数，设的定义域为A,值域为B,则有/"T（x）］=xQe4）,f-］［f（x）］=x（xeA）.

18.依据单调性,利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题:

f(a)>0J/（Q）WO）

/(«)=g(x)u+h(x)>0(A<()){a<u</?)<=>'（或W）<0

f(h)>0

19.函数□的图像是双曲线：①两渐近线分别直线口（由分母为零确定）和

直线），=《（由分子、分母中X的系数确定）；②对称中心是点（-4二）；③反函数为），=~！；

ccccx-a

20,函数□:增区间为□，减区间为□.

如：已知函数口在区间口上为赠函数，则实数□的取值范围是□（答：口）.

三.数列

1.由S“求*注意脸证q是否包含在后面耳的公式中，若不符合要

S"-S"〃"2,〃eN）

单独列出.如：数列□满足口，求□（答：匚］）.

2.等差数列仅“｝=an-=d（d为常数）o2a“=an+l+41T（n>2,neN*）

<=>a=an+b（a=d,b=q-d）<=>S=An2+Bn（A=—

22

3.等差数列的性质：①口，口；

②〃7+〃=/+&=>a,”+an=at+4（反之不一定成立）；特另U地,当m+n=2p时，有am+。“=2%,；

③若伍"｝、｛"｝是等差数列，则｛妨“+也｝（左、/是非零常数）是等差数列；

④等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”即S^S2„.-Sltl1S.ni-S2nii仍是等差数列；

⑤等差数列｛为｝,当项数为2〃时，S佃一S奇=〃4,9=2;项数为2〃一1时，

s我a””

S例一S缶="=an（neN*）tS21=（2g，且三=」-；♦=〃〃）=>£=/（2〃-1）.

S钩n-\B.bn

⑥首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式

ci>0〃40

「一（或彳”一）.也可用5“=4〃2+8〃的二次函数关系来分析.

⑦若an=in,am=n(m±〃)，则&…=0;若S“=m,Sm=n(mw〃)，则S,„ln=-(tn+〃);

若Sm=Stl(ni*n),则Se,n=0;S3m=3(S2n,—S„)；Stn+n=Sm+Sn+mnd.

4.等比数列｛〃“｝==q（q工0）=a；=3%（〃>2,//eN*）o=每厂二

5.等比数列的性质

①□，匚I;②若口、口是等比数列，则口、口等也是等比数列；

叫(9=1)叫(。=1)

③S产a/1-g")_”「a"@m+n=l+k=>an)an=(反之不一定成

(#1)-2)'+&(#1)

\-q"q1-<7I-<?

立）；□.⑤等比数列中□（注：各项均不为0）

仍是等比数列.⑥等比数列口当项数为□时，口；项数为口时,□.

6.①如果数列｛qJ是等差数列，则数列｛A%｝（A%总有意义）是零比数列：如果数列｛q｝是等比数列.

则数列｛log.|an\］（a>0,a*1）是等差数列;

②若｛q｝既是等差数列又是等比数列，则｛q｝是非零常数数列；

③如果两个等差数列有公共项，那么由他们的公共项顺次组成的数列也是等差数列，且新数列的公差

是原两个等差数列公差的最小公倍数；如果一个等差数列和一个等比数列有公共项，那么由他们的

公共项顺次组成的数列是等比数列，由特殊到一般的方法探求其通项：

④三个数成等差的设法：口；四个数成等差的设法：口；

三个数成等比的设法：口；四个数成等比的错误设法：□（为什么？）

7.数列的通项的求法：⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式.

⑵已知□（即口）求□用作差法：□.

⑶已知□求□用作商法：□.

⑷若□求□用迭加法.（5）已知□，求□用迭来法.

⑹已知数列递推式求□，用构造法（构造等差、等比数列）：①形如□，匚I,

an=katlA+an+b（Z/为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，

再求%.②形如凡=—^—的递推数列都可以用“取倒数法”求通项.

h*+〃

8.数列求和的方法：①公式法：等差数列,等比数列求和公式；②分组求和法；③倒序相加；④错位

相减；⑤分裂通项法.公式：□:□:

r+23+3、…+〃3=［幺"3］2；1+3+5++n=n2;常见裂项公式一!一=---；

2«（/»+1）n〃+1

n(n+k)knn+kn(n-1)(/:+1)2n(n+1)(n+1)(+2)("+1)!"!(n+1)!

常见放缩公式：□.

9“分期付款”、“森林木材”型应用问题

（1）这类应用题一般可转化为等差数列或等比数列问题.但在求解过程中，务必“卡手指”，细心计算

“年限”.对于“森林木材”既增长又砍伐的问题，则常选用“统一法”统一到“最后”解决.

⑵利率问题：①单利问题：加零存整取储蓄（单利）本利和计算模型：若每期存入本金□元,每期利

率为口，则口期后本利和为：口（等差数列问

题）；②复利问题：按揭贷款的分期等额还款（复利）模型：若贷款（向根行借款）口元，采用分期等

额还款方式，从借款日弹起，一期（如一年）后为第一次还款日,如此下去，分n期还清.如果每期利

率为口（按复利），那么每期等额还款□元应满足：

〃（1+ry=Ml+=严+Ml+r）"2++x（\+r）+x（等比数列问题）.

四三角函数

1.a终边与。终边相同。a=6+2&;r（ZeZ）;a终边与。终边共线oa=6+4乃（AeZ）；a终边

与。终边关于工轴对称oa=-6+”乃（AeZ）;a终边与。终边关于），轴对称

<=>==乃一夕+2左乃（攵wZ）；a终边与0终边关于原点对称0==乃+。+2攵4（女£2）;

a终边与。终边关于角夕终边对称=a=2/?-e+2〃4（AwZ）.

2.弧长公式：口；扇形面积公式：口；口弧度（口）*口.

3.三角函数符号（“正号”）规律记忆口诀：“一全二正弦.三切四余弦”.

注意：匚I;匚I;

4.三角函数同角关系中（八块图）：注意“正、余弦三兄妹

sinx±cosx、sinxcosx”的关系.

如（sinx±cosx）2=1±2sinxcosx等.

5.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；

（注意：公式中始终视（为锐角）

6.角的变换：已知角与特殊角、已知角与目标角、已知角

与其倍角或半角、两角与其和差能等变换.

如：口；口；口；口；

□等：“匚］”的变换：□:

7.重要结论：口其中口）；重要公式口；口

1+cos2aa,(1-cosasina1-cosa/--\,3,.8、,,6,.0.

-------:tan—=±J-------=-------=-------:±sin0=./(cos—±sin—=|cos—±sin—|.

22V1+cosaI+cosasinaV2222

万能公式：口；口；□.

n

k兀+(p

8.正弦型曲线y=Asin(〃>+°)的对称轴式=--2——(keZ)；对称中心("),0)伏wZ);

coco

kn+——(p

余弦型曲线y=Acos(cox+(p)的对称轴x=”°(keZ);对称中心(-----——,0)(4GZ)；

coco

9.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正、余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三

内角和等于□，一般用“、余弦定理实施边角互化；上弦定理：□:

余弦定理：口；

正弦平方差公式：□；三角形的内切圆半径二|；

面积公式：口；射影定理：□.

10,口中,易得：□，①□，易口.

②口,③口

④锐角^ABC中，A+B>—,sinA>cos8,cosA<cosB,a~+b2>c2,类比得钝角AABC结论.

2

⑤tail+tan/?+tanC=tanAtan"tanC.

11.角的范围：异面直线所成角口；直线与平面所成角口；二面角和两向量的夹角口；直线

的倾斜角[0,1)：4到/、的角位4)；4与/,的夹角(0,勺.注意术语：坡度、仰角、俯角、方位角等.

'-2

五.平面向量

1.设□，口.⑴口；⑵口.

2.平面向量基本定理：如果□和口是同一平面内的两个不共线的向量,那么对该平面内的任一向

量a,有且只有一对实数4、%,使4=44+46.

3.设。=3,x),〃=32,%)，则a»=laI网cos。=x[x2+y1y2;其几何意义是。•/?等于a的长度

与力在。的方向上的投影的乘积；♦在/?的方向上的投影|。|(^6=巴士=华,)'斗

网好布

4.三点A、B、。共线0AB与AC共线；与AB共线的单位向量土丝.

1附

5.平面向量数量积性质：设口，口，则口；注意：

〈。,力为银角。a•。:>0,a,/?不同向；〈a,Z?〉为直角<=>。)=0；〈。,〃〉为钝角u>a"<0,a,〃不反向.

6.小同向或有0=|。+例=(4|+|。凶〃|一|"=|4一6；a•〃反向或有0

<^a-h\=\a\+\h\>^a\-\b^=\a+b\;ab不共线引〃|一闸<|a土/+

7.平面向・数■积的坐标表示：⑴若□，匚I,则口；

IAB\=-马)2+(y-%了:⑵若a=(x,y),则，=a•。=V+/.

8.熟记平移公式和定比分点公式.①当点口在线段口上时,□;当点口在线段口(或口)

延长线上时，□或□.②分点坐标公式：若口；且□，口匚I；

则口，中点坐标公式：□.

③R,P,鸟三点共线。存在实数力、〃使得OP=/lO4+〃。6且2+4=1.

9.三角形中向量性质：①口过□边的中点：口；

②尸G=l(尸A+P8+尸C)oGA+G8+GC=()oG为AA8C的重心；

3

③PAPB=PBPC=PAPC0P为A4BC的全心：@||PA+\CA|PB+\AB\PC=0^P为

口的内心；口所在直线过口内心.⑤设口，

⑥0为MBC内一点，则S^OA+SN℃OB+S"OC=0.

10.P（x,y）「纥"帖在-侈一>P'（f,），'），有《一（PP=4）；y=fM料我用上移->y-k=J{x-h）.

y=y+k

六.不等式

1.掌握课本上的几个不等式性质，注意使用条件，另外需要特别注意：

①若必>0,b>a,则即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改变.

ab

②如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论.

2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意

用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法.

3.掌握重要不等式，（1）均值不等式：若口，则□（当且仅当□时

取等号）使用条件：“一正二定三相等“常用的方法为：拆、凑、平方等；（2）匚］,

口（当且仅当口时，取等号）；（3）公式注意变形如：口，

ah<（—）2:⑷若。>〃>0,w>0,则-<竺"（真分数的性质）：

2a«+m

4.含绝对值不等式：□同号或有□口；口异号或有口

<^\a-b\=\a\+\b^a\-\b^=\a+b\.

5.证明不等式常用方法：⑴比较法：作差比较：口.注意：若两个正数作差比较有困

难，可以通过它们的平方差来比较大小：（2）综合法：由因导果：⑶分析法：执果索因.基本步骤：要证…

需证…，只需证…；⑷反证法：正难则反；⑸放缩法：将不等式一侧适当的放大或缩小以达证题目的.

放缩法的方法有：①添加或舍去一些项，如：□：□.②将分子或分母放大（或缩小）

③利用基本不等式，如：□.④利用常用结论：口口；

2°■!■—'=।।=_!___!■（程度大）;3°（程度小）；

kk+\（k+l）Ak-（k-l）kk-lkKk-12k-\k+\

⑹换元法：换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元

代数换元.如：知口，可设□:知□，可设口，口

2222

（0<r<l）;知=+'=1,可没x=acose,y=/?sine;已知=一==1,可设x=asec。,），=Z?lan〃.

If（fIf

⑺最值法，如：□,则□恒成立.□,则□恒成立.

七.直线和圆的方程

1.直线的倾斜角a的范围是［0,疝；

2.直线的倾斜角与斜率的变化关系口（如右图）:

3.直线方程五种形式：（1）点斜式：已知直线过点口斜率为口，则直线

方程为□，它不包括垂直于□轴的直线.（2）斜横式：已知直线在□轴上的极距为口

和斜率口，则直线方程为□，它不包括垂直于□轴的直线.（3）两点式：已知直线经过

《（％/）、8（占，%）两点，则直线方程为上二生二三;上，它不包括垂直于坐标轴的直线.

>2->1%2一芭

⑷截距式：已知直线在口轴和口轴上的截距为口，则直线方程为口，它不包括垂直于坐标

轴的直线和过原点的直线.（5）一般式：任何直线均可写成□（口不同时为0）的形式.

提醒：（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）

（2）直线在坐标轴上的横距可王、可负、也可为0.直线两微距相等O直线的斜率为-1或直线过

原点；直线两截距互为相反数。直线的斜率为I或直线过原点；直线两截距绝对值相等O

直线的斜率为±1或直线过原点.

⑶极距不是距离，截距相等时不要忘了过原点的特殊情形.

4.直线口与直线口的位置关系：

）平行o与一（斜率）且工（在），轴上截距）；

（1A=0BXC2-与GO

⑵相交04与一44¥0：⑶重合0A与-A2A=0且B。?_B2cl=0.

5.直线系方程：（1）过两直线口:口口.交点的直线系方程可设

为Ax+4），+G+A（A2x+B2y+C2）=O:②与直线/:AT+为+C=0平行的直线系方程可设为

Av+By+m=O(m^c):③与直线/:Av++C=0垂直的直线系方程可设为Bx-Ay+n=0.

6.到角和夹角公式：⑴口到口的角是指直线口绕着交点按逆时针方向转到和直线口重合所转的角口，

3w(0,乃)且tan0='w-1)；

1+y2'

⑵乙与/,的夹角是指不大于直角的角夕6e(0:］且tan6=|豆刍|伏总工一1).

■21+堆2

7.点尸(%,为)到直线AY+£y+C=()的距离公式“=.h"切。¥’|:

+/

两条平行线版+班+G=0与Ax+By+C.=0的距离是d='Y.

VA7+B、

8.设三角形A4BC三顶点A(%,y),B(x2,y2),C(后,%)，则重心G(*++二，)”；+为)；

9.有关对称的一些结论

⑴点(〃,/?)关于x轴、y轴、原点、直线y=x的对称点分别是(a,—b),(-a,b),(-«,-/?),(b,a).

⑵曲线□关于下列点和直线对称的曲线方程为：①点□:口；

②口轴：匚］;③口轴：口；④原点：口；⑤直线口:

□:⑥直线□:匚I;⑦直线□:口.

10,⑴圆的标准方程：口.⑵圆的一般方程：

口.特别提醒：只有当□时，方程

V+)尸+Dr+Ey+/=0才表示圆心为(_9,_£),半径为1^D2+E2-4F的圆(二元二次方程

222

62+8M，+。>2+瓜+与，+/=0表示圆04=。。0,且5=0,。2+后2-4人尸>0).

⑶圆的参数方程：□(口为参数)，其中圆心为□，半径为□.圆的参数方程主要应用是

三角换元：口；□.

⑷以A(N，y)、B(x2,y2)为直径的圆的方程(x-N)(x-X2)+［y-y)(y-)'2)=O；

11.点和圆的位直关系的判断通常用几何法(计算圆心到直线距离).点P(玉,无)及圆的方程

(x-a)2+(y-b)2=r2.①+(%—力)2>r<=>点一在圆外:

2222

②(x0-a)+(No-b)</<=>点。在圆内；③(x0-a)+(y0-b)=/o点2在圆上.

12.圆上一点的切线方程：点口在圆口上,则过点口的切线方程为：口；

222

过圆(x-a)?+(y-b)=r上一点P(x°,%)切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r.

13.过圆外一点作圆的切线，一定有两条，如果只求出了一条，那么另外一条就是与x轴垂直的直线.

14,直线与圆的位匏关系，通常转化为圆心距与半径的关系，或者利用垂径定理，构造直角三角形解

决弦长问题.①”>〃。相离②d=r<=>相切③d<ro相交

15,圆与圆的位置关系，经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系.设两圆的圆心距为d,

两圆的半径分别为□:口两圆相离；□两圆相外切；□两

圆相交；”=|R-r|u>两圆相内切；dVR-两圆内含：d=()<=>两圆同心.

16.过圆□:口，□:口交点的圆(相交弦)系方程

为(/4)，2+〃“+£■/，+K)+幺(丫2+。炉+石2)，+凡)=0.A=-1时为两圆相交弦所在直线方程.

17.解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成

直角三角形，切线长定理、割爱定理、弦切角定理等等).

18,求解线性规划问题的步骤是：⑴根据实际问题的约束条件列出不等式；(2)作出可行域，写出目标

函数(判断几何意义);(3)确定目标函数的最优位置，从而获得最优解.

八.圆锥曲线方程

1.桶圆焦半径公式：设口为椭圆口上任一点，焦点为口，口，

则归制=々+"0，归6|=1一处0(“左加右减”)；

2.双曲线焦半径：设□为双曲线□上任一点，焦点为口，口，

则：⑴当□点在右支上时，匚I;⑵当□点在左支上时，口,

□;(□为离心平).另：双曲线□的渐近线方程为□.

3.抛物线焦半径公式：设口为抛物线口上任意一点,□为焦点,则

匚I;□上任意一点，口为焦点，则□.

22

4.共渐近线>=±2l的双曲线标准方程为:一与=%（％为参数，2^0）.

aa~b~

5.两个常见的曲线系方程：⑴过曲线口，口的交点的曲线系方程是

22

工（x,），）+"（x,y）=0（4为参数）.⑵共焦点的有心圆锥曲线系方程二一十二一二1,其中

a~-kh~-k

k<max{6r2,/?2}.当2<min{fl2./?2}时，表示椭圆；当min{a2,b2}<A<max{/,Z?2}时，表示双曲线.

6.直线与圆锥曲线相交的弦长公式MM=J（x—w）2+（y—）J或|AB|=J1+J2|^一七|

="（1+k2）[（百+々）2-4芭.％]=，+}IX->2I（弦端点43,凶）,8（工2，%），由方程，y=hr+〃消去

F（x,y）=0

□得到口，口，□为斜率）.这里体现了解几中“设而不求”的思想；

7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为竺，焦准距为〃=.，抛物线的通径为2p,焦准距为p；

ac

双曲线二—占=1（〃>0力>0）的焦点到渐近线的距离为方；

a-b-

8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ar2+By2=1（对于椭圆A>0,8>0）;

9.抛物线口的焦点弦（过焦点的弦）为口，口、□，则有如下结论：

2[]2

2

（1）|AI3\=x.+/?；（2）rx,=—,y.y2=-p;（3）——-—.

*'4\AF\\BF\p

10,椭圆1+斗=1（。>/?>0）左焦点弦|A8|=2〃+式芭+x2）,右焦点弦143|=2。-6（%+x；）.

a~b~

11.对于），2=2/»（〃/0）抛物线上的点的坐标可设为（5，%），以简化计算.

12.圆锥曲线中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解.在椭圆口中，

力2vr2V2

以P*O,%）为中点的弦所在直浅斜率攵二一一外；在双曲线中，以「（七,先）为中点的弦所

Coa-b-

力2

在直线斜率攵:一•；在抛物浅丁=2〃%（〃>0）中，以P（.0,%）为中点的弦所在直线的斜率攵=二.

”-）b）b

13.求轨迹方程的常用方法：

（1）直接法：直接通过建立口、□之间的关系，构成□，是求轨迹的最基本的方法.

（2）待定系数法：可先根据条件设所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可.

（3）代入法（相关点法或转移法）.

⑷定义法：如果能够确定动点的就迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线的定义直接写出方程.

⑸交轨法（参数法）：当动点口坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑

将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程.

14.解析几何与向・综合的有关结论：

⑴给出直线的方向向量”=（1«）或〃=（"?,〃）.等于已知直线的斜率左或巳；

m

⑵给出苏+而与A3相交，等于已知苏+丽过A3的中点；

⑶给出丽+丽=6,等于已知尸是MN的中点；

⑷给出A0+AQ="8P+8Q）,等于已知P,Q与AB的中点三点共线；

⑸给出以下情形之一：①口；②存在实数□，使口；③若存在实数口,

且。+夕=1；使OC=aOA-608,等于已知A,8,C三点共线.

⑹给出02=经理，等于已知P是标的定比分点，4为定比，即而=4丽

1+2

⑺绐出苏•丽=0,等于已知A7A_LM/,即NAA7N是直肌给出苏•丽=机<0,等于已

知NAA/9是钝角或反向关线，给出历A-=利＞0,等于已知N/U"?是锐角或同向失然

⑻给出2（—+—）=MP,等于已知MP是NAMB的平分线.

IAM||MB|

（9）在平行四边形ABC力中，给出（而+瓦）♦（而一而）=0,等于已知ABC力是菱形.

（10）在平行四边形A8CO中，给出|A3+AO|=|AB—AO],等于已知A3CD是矩形.

（11）在口中，给出口，等于已知□是口的外心（三角形的外心是外接圆

的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点）.

（12）在口中，给出口，等于已知□是口的重心（三角形的重心是三角形

三条中线的交点）.

（13）在口中，给出口，等于已知□足口的垂心（三角形的垂心

是三角形三条高的交点）.

M在A4BC中，给出QP=QA+2（-+*）（2£R+）等于已知AP通过AABC的内心.

\AB\\AC\

（15）在AABC中，给出a・d+Z?•丽+c•沃1=加等于已知。是AMC的内心（三角形内切圆

的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）.

（16）在△A8C中，给出AO=』（A8+AC）,等于已知A。是AA3。中8c边的中线.

2

九.直线、平面、简单几何体

1.从一点。出发的三条射线。4、OR、OC.若NAOB=NAOC,则点A在平面"O